Quantenmechanik/ Unschärferelation

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Klassische und Quantenstochastik

Die Quantenmechanik ist nicht in der Lage, deterministische Vorhersagen zu treffen. Ein Messvorgang oder eine Beobachtung wird in drei Schritten modelliert:

1. Am Eingang gibt es einen Zustand und eine Observable. Beide zusammen definieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Werte.
2. Die Natur würfelt willkürlich einen Messwert gemäß der Verteilung aus.
3. Am Ausgang werden geliefert die Messung (Eigenwert) und ein neuer Zustand (Eigenvektor).

Welcher Unterschied besteht nun zur gewöhnlichen Wahrscheinlickeitsrechnung? Kann durch geschickte Wahl von Variablen der Zufall auf die Methoden der Statistischen Mechanik zurückgeführt werden? Eine Theorie, die fundamentaler wäre, könnte das Würfeln der Natur genauer analysieren und dann im Grunde den Determinismus retten, oder? Leute wie Einstein sind an einem solchen Projekt gescheitert. Es geht nicht.

Die komplementären Variablen Ort und Impuls sind wie ein Klumpen Knetgummi. Drückt man in einer Richtung zusammen, geht es in der anderen auseinander. Heisenberg fand, dass sie bei Messungen nicht vertauscht werden können und dass deshalb mathematisch nicht-kommutative Objekte her müssen. Zuerst waren es Matrizen, dann verallgemeinert zu Operatoren. Der Fehler bei der Vertauschung, sprich der nicht verschwindende Kommutator [X,P]=XP-PX, bewirkt, dass beide keine gemeinsame Basis von Eigenvektoren haben. Sei der Eigenwert von X auf ein kleines Intervall festgenagelt. Die Eigenvektoren können entwickelt werden in der dazu schief liegenden Eigenbasis des anderen Operators P. Und dann verstreuen sich leider die angesprochenen P-Werte möglicherweise breit über das Eigenwert-Spektrum von P.

Heisenberg lieferte eine allgemeine Beziehung, was die Streubreiten solcher Spektralwerte bei Unvertauschbarkeit angeht.

Herleitung der Unschärfe

Die berühmte Ungleichung soll zuerst einigermaßen streng hergeleitet werden. Das geht mit reiner Operator-Gymnastik. Sowas wie Schrödingergleichungen hat Heisenberg nicht gebraucht. Die Eingabe ist nur eine Kommutator-Beziehung.

Das Skalarprodukt auf dem Raum ${\mathcal {H}}$ hat die Eigenschaft Hermitiziät : $\langle f|g\rangle =\langle g|f\rangle ^{*}$ Ein Operator $A$, der brav genug ist, hat einen hermitesch konjugierten Partner $A^{\dagger }$, der die Gleichung erfüllt:

$\langle f|A^{\dagger }|g\rangle =\langle g|A|f\rangle ^{*}\quad \forall f,g\in {\mathcal {H}}$.

Ein Operator $A$, der zu sich selbst konjugiert ist, heißt hermitesch.

$\langle f|A|g\rangle =\langle g|A|f\rangle ^{*}\quad \forall f,g\in {\mathcal {H}}$.

Hat er eine Matrix-Darstellung $A_{ik}$, dann gilt $A_{ik}=A_{ki}^{*}$.

Die Eigenwerte $a$ eines hermiteschen Operators $A$ sind reell. Seine Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

Ein hermitescher Operator hat ein vollständiges orthonormales System (oder auch orthonormale Basis) von Eigenvektoren. In dieser Basis ist seine Matrixdarstellung diagonal. Zwei hermitesche Operatoren haben eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren dann und nur dann, wenn sie vertauschen.

Ein Operator $A$ heißt positiv definit, wenn $\langle u|A|u\rangle >=0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}$.

Der Einheitsoperator $\mathbf {1} :|u\rangle \mapsto |\mathbf {1} |u\rangle =|u\rangle$ ist positiv-definit und hermitesch.

Seien $A,B$ hermitesche Operatoren. Sei $iC=[A,B]=AB-BA$ der Kommutator, $D=\{A,B\}=AB+BA$ der Antikommutator. Dann sind $C$ (nicht $iC$ !) und $D$ auch hermitesch.

Das Quadrat eines hermiteschen Operators ist positiv-definit hermitesch. Quadrat $A^{2}=AA$ heißt, einen Operator $A$ zweimal anzuwenden.

Ein Operatorprodukt kann auftreten als Kommutator plus Antikommutator: $AB={\tfrac {1}{2}}([A,B]+\{A,B\})$

Sei $F$ ein positiv-definiter hermitescher Operator und seien $|f\rangle ,|g\rangle$ zwei Hilbertvektoren mit positiven Werten $\langle f|F|f\rangle >0,\langle g|F|g\rangle >0,\;a,b$ zwei Zahlen.

$\langle af+bg|F|af+bg\rangle =a^{*}a\langle f|F|f\rangle +a^{*}b\langle f|F|g\rangle +b^{*}a\langle g|F|f\rangle +b^{*}b\langle g|F|g\rangle >=0$

Einsetzen: $a:=\langle g|F|g\rangle ;b:=-\langle g|F|f\rangle$.

Wegen Hermitizität ist $a$ reell und $b^{*}=-\langle f|F|g\rangle$.

$\langle g|F|g\rangle ^{2}\langle f|F|f\rangle -\langle g|F|g\rangle \langle g|F|f\rangle \langle f|F|g\rangle -\langle f|F|g\rangle \langle g|F|g\rangle \langle g|F|f\rangle +$

$\langle f|F|g\rangle \langle g|F|f\rangle \langle g|F|g\rangle =\langle g|F|g\rangle \left(\langle f|F|f\rangle \langle g|F|g\rangle -\langle g|F|f\rangle \langle f|F|g\rangle \right)>=0$

Resultat: Für positiv definite Operatoren $F$ gilt

$\langle f|F|f\rangle \langle g|F|g\rangle >=|\langle f|F|g\rangle |^{2}.$

Mit $F=1$ folgt die Schwarzsche Ungleichung.

$\langle f|f\rangle \langle g|g\rangle >=|\langle f|g\rangle |^{2}$

Sei nun ein Hilbertvektor oder Quantenzustand $\langle f\rangle$ gegeben. Er verleiht den Operatoren $A$ und $B$ Erwartungswerte und Varianzen. Diese sind reell wegen der Hermitizität.

$E(A):=\langle f|A|f\rangle ;\;V(A)^{2}:=\langle f|(A-E(A))^{2}|f\rangle$

$E(B):=\langle f|B|f\rangle ;\;V(B)^{2}:=\langle f|(B-E(B))^{2}|f\rangle$

Physikalisch entsprechen sie den Statistiken, die sich ergeben, wenn Messreihen der Observablen $A$ und $B$ an immer gleichen Zuständen $\langle f\rangle$ vorgenommen werden. Zur Erinnerung, gemäß der Postulate würfelt die Natur im Hintergrund und unser Experiment hat nicht die volle Kontrolle. Von wegen wir können die Fehler beliebig drücken mit Eins-durch-Wurzel der Wiederholungen.

Die Kommutatoren $[A,B]$ und $[A-E(A),B-E(B)]$ sind gleich; einfache Verschiebung mit Zahlen-mal-Einheitsoperator.

$V(A)^{2}=\langle (A-E(A))f|(A-E(A))f\rangle =||A-E(A)|f\rangle |^{2}$ wegen Hermitizität.

Man wendet jetzt die Schwarzsche Ungleichung an auf $|f'\rangle :=|A-E(A)|f\rangle ;|g'\rangle :=|B-E(B)|f\rangle$.

$V(A)^{2}V(B)^{2}>=|\langle (A-E(A))f|(B-E(B))f\rangle |^{2}$

Der Antikommutator $D={\tfrac {1}{2}}\left((A-E(A))(B-E(B))+(B-E(B))(A-E(A))\right)$ ist hermitesch.

Operatorprodukt : $(A-E(A))(B-E(B))=D+{\tfrac {i}{2}}C$ mit $[A,B]=:iC$

Es folgt mit Einsetzen von $|f\rangle$ und mit Hermitizität, sowie $E(C)=\langle f|C|f\rangle$ und $E(D)=\langle f|D|f\rangle$, die beide reell sind:

$|\langle f|(A-E(A))(B-E(B)|f\rangle |^{2}=|\langle f|D|f\rangle +{\tfrac {i}{2}}\langle f|C|f\rangle |^{2}>=E(D)^{2}+{\tfrac {1}{4}}E(C)^{2}>={\tfrac {1}{4}}E(C)^{2}$

Die Größe $E(D)=E({\tfrac {1}{2}}\{A,B\}-\;E(A)E(B))$ ist die Quantenversion der Korrelation der beiden Zufallsvariablen $A$ und $B$. Es taucht der Antikommutator auf, $\{A,B\}=AB+BA$.

Folgerung: Für jeden Zustandsvektor $|f\rangle$ und jedes Paar $A,B$ von hermiteschen Operatoren gilt mit obigen Definitionen:

$V(A)^{2}V(B)^{2}>=({\frac {E(C)}{2}})^{2}\quad$ wobei $iC=[A,B]$.

Nun kommt endlich die Anwendung auf die Operatoren $X,P$ von Ort und Impuls.

$A=X,B=P,[X,P]=i\hbar \mathbf {1}$, folglich $C=\hbar \mathbf {1}$ mit dem Identitätsoperator.

• Konsequenz: $V(X)V(P)>={\tfrac {\hbar }{2}}$.

Dies ist die Heisenberg-Unschärferelation.

• Konventionelle Schreibart: $(\Delta x)\;(\Delta p)>={\tfrac {\hbar }{2}}$.

In Worten: Will man wiederholt am gleichen Quantensystem die Orte und die Impulse messen, dann hat die Genauigkeit eine untere Schranke. Das Unterfangen endet immer mit einem Produkt der Streubreiten von der Grö«enordung des Planck-Quantums. Dies gilt für alle Paare von Observablen, die derartige kanonische "Vertauschungsfehler" haben.

Wie gesagt, am gleichen, nicht am selben Quantensystem. Denn bei einer Messung vernichtet der vielbeschworene Kollaps der Wellenfunktion den Eingangszustand $|f\rangle$. Das Experiment muss also noch als Werkzeug einen Vorbereitungs-Operator haben, der wiederholt gleichartige Zustände $|f\rangle$ aus dem Vorrat seiner Eigenvektoren zur Verfügung stellt.

Wenn am selben System zuerst $X$ genau gemessen wird, dann ist $P$ maximal unbestimmt. Wird jetzt $P$ gemessen, ist wiederum jede Information zum vorigen $X$ völlig zerstört. Es gibt keine passiven Beobachtungen, die nichts am System verändern. Außer wenn das System schon im bekannten Eigenzustand des Operators ist -- dann bringt die Messung keinen Informationsgewinn.

Minimale Unschärfe

Die Schwarzsche Ungleichung wird zur Gleichung, genau wenn beide Vektoren darin proportional sind. Suchen wir also nach minimaler Unschärfe im obigen System $A,B,C,D$.

Mit einer Konstanten z soll zuerst gelten: $|B-E(B)|f\rangle =z|A-E(A)|f\rangle$ Es folgt für die zwei Varianzen:

$zV(A)^{2}=\langle f|(A-E(A))(B-E(B))|f\rangle$

$(1/z)V(B)^{2}=\langle f|(B-E(B))(A-E(A))|f\rangle$

Außerdem soll der Wert $E(D)$ verschwinden. Der ist gerade die halbe Summe der beiden vorigen Zeilen. Es folgt, $zV(A)^{2}+{\tfrac {1}{z}}V(B)^{2}=0$. Die Differenz derselben zwei Zeilen ergibt $iE(C)=zV(A)^{2}-{\tfrac {1}{z}}V(B)^{2}$.

Daher: $z=i{\frac {E(C)}{2V(A)^{2}}}$.

Anwendung auf $A=X,B=P,E(C)=\hbar$ und die Schrödinger-Wellenfunktion.

$|(P-E(P))|f\rangle ={\frac {i\hbar }{2V(X)^{2}}}|(X-E(X))|f\rangle$

Seien die drei Werte $E(P)=:p0,E(X)=:x_{0},V(X)=:s$ vorgegeben. Es folgt die lineare Differenzialgleichung

$\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}-p_{0}\right)f(x)={\frac {i\hbar }{2s^{2}}}(x-x_{0})f(x)$.

Sie hat Terme proportional zu f, f' und xf. Mit dem Ansatz exp(Q(x)), worin Q ein quadratisches Polynom ist, findet man eine Lösung. Es ist eine Welle $\exp({\frac {ip_{0}x}{\hbar }})$, multipliziert mit einer Gaussglocke $\exp(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4s^{2}}})$. Für dieses minimal-unscharfe Wellenpaket gilt die Gleichung: $(\Delta x)(\Delta p)={\tfrac {\hbar }{2}}$. Die Gauss-modulierten Wellenpakete haben das kleinstmögliche Produkt der Varianzen. Man kann durch Fouriertransformation prüfen, dass auch im Impulsraum die Gauss-Form auftritt, mit genau der komplementären Breite.

Es ist interessant zu sehen, wie diese Pakete sich unter der potenzialfreien Schrödingergleichung und unter der des harmonischen Oszillators verhalten. Mit dem imaginären $z={\frac {i\hbar }{2s^{2}}}$ ist die definierende Differentialgleichung eine Eigenwertgleichung des nicht-hermitischen Operators $P-zX$. Der Grundzustand des Oszillators ist eine Eigenfunktion desselben, zum Eigenwert 0.

Um es vorweg zu nehmen. Die freie Schrödingerwelle läuft unweigerlich auseinander! Die Aufenthalts-Verteilung eines freifliegenden Teilchens wird mit der Zeit immer diffuser; keinerlei Bahnkurve kann eingegrenzt werden. Dagegen gibt es beim Oszillator formstabile Gauss-Pakete, die genau nach der Bahngleichung des klassischen Oszillators hin und her pendeln. Es sind also quasiklassische Lösungen möglich, die beinahe zu gut sind um wahr zu sein.

Frequenz-Zeit-Unschärfe

Zunächst kommt eine völlig klassische Signalanalyse. Es wird eine endlich ausgedehnte Wellenform $w(t)$ auf der Zeit-Achse angenommen, $w:\mathbb {R} \to \mathbb {C} .$
In Folgenden bezeichnen $s,t$ Variablen für die Zeit, $f,g$ reelle Variablen vom Typ (Kreis-)Frequenz, $u(t),v(t),w(t),{\hat {u}}(f),{\hat {v}}(f),{\hat {w}}(f)$ sind Transformationen der Welle $w(t).$
Die Wellenform sei normiert: $\int dt\;w^{*}(t)w(t)=1$
Mit der Fourier-Analyse hat $w(\cdot )$ eine Frequenz-Darstellung:

$w(t)=(2\pi )^{-1/2}\int df\;{\hat {w}}(f)e^{-ift};\qquad {\hat {w}}(f)=(2\pi )^{-1/2}\int dt\;w(t)e^{ift}.$

Sei vorausgesetzt, dass $w,{\hat {w}}$ für $t,f\to \pm \infty$ schnell abfallen. Nun soll eine Beziehung zwischen der Streuung oder Ausdehnung im Zeitbereich und derjenigen im Frequenzbereich gefunden werden.

Definition der Mittelwerte und Streuungen:

$T=\int dt\;t\;w^{*}(t)w(t);\quad S_{t}=\int dt\;(t-T)^{2}w^{*}(t)w(t)$

$F=\int df\;f\;{\hat {w}}^{*}(f){\hat {w}}(f);\quad S_{f}=\int df\;(f-F)^{2}{\hat {w}}^{*}(f){\hat {w}}(f)$

Neue Variablen: $v(s)=w(s+T);\quad s=t-T;\quad t=s+T$

$S_{t}=\int ds\;s^{2}v^{*}(s)v(s);\quad {\hat {v}}(f)=(2\pi )^{-1/2}\int ds\;e^{ifs}w(s+T)=e^{-ifT}{\hat {w}}(f)$

Die Translation wird eine Phasendrehung, und es gilt

$S_{f}=\int df\;(f-F)^{2}{\hat {v}}^{*}(f){\hat {v}}(f)$

Neue Variablen: ${\hat {u}}(g)={\hat {v}}(g+F);\quad g=f-F;\quad f=g+F$

$S_{f}=\int dg\;g^{2}{\hat {u}}^{*}(g){\hat {u}}(g);\quad u(s)=(2\pi )^{-1/2}\int dg\;e^{-igs}{\hat {v}}(g+F)=e^{isF}v(s).$

Damit: $S_{t}=\int ds\;s^{2}\;u^{*}(s)u(s)$

Zwischenergebnis 1: in den Variablen $s,g,u,{\hat {u}}$ sind die Streuungen einfache quadratische Momente, die Mittelwerte verschwinden durch Translation.

Nun kommt die Fourier-Transformation der Ableitung ins Spiel.

$u'(s):=(d/ds)u(s)=(2\pi )^{-1/2}\int dg\;{\hat {u}}(g)(d/ds)e^{-igs}=(2\pi )^{-1/2}\int dg\;(-ig){\hat {u}}(g)e^{-igs}$

Die Fourier-Transformierte von $u'(s)$ ist $(-ig){\hat {u}}(g).$
Die Fourier-Transformation ist ein unitärer Operator: $\int dt\;w^{*}(t)w(t)=\int df\;{\hat {w}}^{*}(f){\hat {w}}(f).$
Anwendung:

$S_{f}=\int dg\;g^{2}\;{\hat {u}}^{*}(g){\hat {u}}(g)=\int dg\;(-ig{\hat {u}}(g))^{*}(-ig{\hat {u}}(g))=\int ds\;(u'(s))^{*}u'(s).$

Die Transformationen vom ursprünglichen $w(f)$ nach $u(g)$ sind auch unitär.
Zwischenergebnis 2:

$S_{t}=\int ds\;(su(s))^{*}(su(s));\quad S_{f}=\int ds\;(u'(s))^{*}u'(s);\quad 1=\int ds\;u^{*}(s)u(s).$

Fürs abschließende Argument vergessen wir momentan die komplexen Zahlen und schreiben zweidimensional-reelle Skalarprodukte $a^{*}a=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}.$ Mit den gutartigen Wellen ist folgende partielle Integration erlaubt:

$1=\int ds\;u^{*}(s)u(s)=\int ds\;1\cdot (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})=-\int ds\;s\cdot ((u_{1}^{2})'+(u_{2}^{2})')=-2\int ds\;[(su_{1})u_{1}'+(su_{2})u_{2}']$

Alles ist bereit, um folgende reelle Cauchy-Schwarz-Ungleichung anzuwenden:

$[\int ds\;\sum _{i}(a_{i}(s)b_{i}(s))]^{2}\leq [\int ds\;\sum _{i}a_{i}(s)^{2}]\cdot [\int ds\;\sum _{i}b_{i}(s)^{2}]$

Setze $a_{i}(s)=su_{i}(s);\;b_{i}(s)=-2u_{i}'(s)$ und es folgt fürs normierte $u(s)$:

$1\leq 4\cdot S_{t}\cdot S_{f}.$

Anders geschrieben, hier das Resultat für das Produkt der Varianzen:

$(\Delta f)={\sqrt {S_{f}}};\quad (\Delta t)={\sqrt {S_{t}}};\quad (\Delta f)(\Delta t)\geq {\frac {1}{2}}.$

Die gleiche Berechnung gilt für Wellen im Raum; man ersetzt die Zeit durch Ortskoordinaten und die Kreisfrequenz durch Wellenvektor-Komponenten. Die Operator-orientierten Unschärferelationen sind abstrakter und allgemeiner als diese Fourier-Version.

Energie-Zeit-Unschärfe

Die Schrödingerwellen sind in der Zeit-Koordinate die Superpositionen von gewöhnlichen Schwingungen $e^{-i\omega t},$ wo die Kreisfrequenz nach de Broglie mit der Energie von Teilchen zu tun hat, $E=\hbar \omega .$ In obiger klassischer Berechnung war die Variable $\omega$ mit f oder g bezeichnet worden. De Broglie führt unmittelbar auf die Energie-Zeit-Unschärfe:

$(\Delta E)(\Delta t)\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Zum Beispiel können Photonen, die von angeregten Zuständen mit kurzer Halbwertszeit abgeschickt werden, keine scharf definierte Frequenz oder Energie haben. Die Emissionslinie ist verbreitert, so wie es die Unschärferelation vorschreibt. Elementarteilchen, die nur extrem kurz überleben, wie das Tauon oder gar die W-, Z- und Higgs-Bosonen, haben wegen $E=mc^{2}$ eine sehr verwaschene Definition ihrer Masse, weil $\Delta E$ sich als $\Delta m$ manifestiert.

Die angeregten Atome, die sichtbares Licht aussenden, können Lebensdauern von 10 Nanosekunden haben. Die Photonen hätten dann kohärente Wellenpakete, die meterlang sind. In der Tat kann man Interferenzversuche machen, wo makroskopische Köhärenzlängen herauskommen. Andererseits kann man die Photonen mit Detektoren auffangen bei einer Zeitauflösung weit unter der Nanosekunde. Der Dualismus Welle-Korpuskel zeigt sich darin, dass beides im selben Experiment nicht geht: kurze Zeitauflösung und lange Interferenzen.

Im Schrödinger-Modell der Quantenmechanik ist die Zeit ein unabhängiger Parameter in den Gleichungen $i\hbar (d/dt)\Psi (t)=H\Psi (t).\;H$ ist ein Operator, der aus Operatoren für Ort, Impuls, Spin und anderen aufgebaut ist. Die Lösungen $\Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=\exp(-iH/\hbar )\Psi (t_{0})$ bewegen sich mit einer Ein-Parameter-Gruppe von unitären Operatoren $U(t,t_{0})=U(t-t_{0})$ -- angenommen dass H nicht explizit von der Zeit abhängt. Obwohl die Zeit kein Operator ist, gibt es eine Unschärfebeziehung $(\Delta E)(\Delta t)\simeq \hbar$ als Zugabe zu der Unbestimmtheit der Paare Ort und Impuls, $(\Delta x)(\Delta p)\geq \hbar /2.$

Naiv war das aus der Eigenschaft der Fourier-Transformationen abzulesen. Hier noch ein physikalisch einsichtigeres Argument zu dieser Unschärfe. Man definiert für einen Schrödinger-Zustand $|\psi (t)\rangle$ die Korrelations- Funktion $C(t)=\langle \psi (0)|\psi (t)\rangle$ und möchte wissen, wie sie mit wachsendem Zeitabstand abfällt. Der Zustand wird nach Energie-Eigenvektoren entwickelt,

$|\psi (t)\rangle =\int dE\;c(E)\exp(-iEt/\hbar )|E,0\rangle .$

$\int dE'\;\langle E,0|E',0\rangle =\delta (E-E');\quad \int dE\;|c(E)|^{2}=1$

$C(t)=\int dE\;|c(E)|^{2}\exp(-iEt/\hbar ).$

Die Amplitude $c(E)$ soll nun eine Spitze um den Wert $E_{0}$ herum haben,

$C(t)=\exp(-iE_{0}t/\hbar )\int dE\;|c(E)|^{2}\exp \left[{\frac {-i(E-E_{0})t}{\hbar }}\right].$

Der Phasenfaktor im Integranden oszilliert stark, wenn die Energiedifferenz mal die Zeit größer als $\hbar$ sind. Dadurch wird das Integral $C(t)$ in die Knie gezwungen. Die Korrelation verblasst, sobald die Spreizung der Energien $(\Delta E)$ mal Zeitabstand $(\Delta t)$ den Wert $\hbar$ übersteigt. Nach einer Zeitspanne $(\Delta E)/\hbar$ verliert ein Zustand seine ursprüngliche Form.

Bemerkung. In der relativistischen Physik können Zeit und Raum nicht mehr unsymmetrisch behandelt werden. Da werden sowohl Ort wie Zeit zu einfachen Parametern. Die dynamischen Größen, also Operatoren, sind Teilchenzahlen und diverse Felder, die aus Erzeugern und Vernichtern für die Vielfalt der Teilchen zusammengesetzt sind. Die Zustände haben auch keine Eigenbewegung mehr; die Quantenfeldtheorie verallgemeinert vielmehr das Heisenberg-Bild. Relativistische Wellenfunktionen sind überhaupt keine Zustände, sondern sie werden interpretiert als Felder von Operatoren.

Zerfließende Wellenpakete

Es wurde schon erwähnt, dass freie Wellenpakete nicht ihre Form bewahren, sondern mit der Zeit auseinander fließen. Wie dramatisch ist dieser Effekt? Immerhin wird am Ende ein so gut wie punktförmiges Teilchen detektiert. Das war der Anlass für die Wahrscheinlichkeits-Interpretation der Wellen und die Freiheit, sie nach dem Kollaps wegzuwerfen.

Eine Funktion $g(x,t)=f(x-vt)$ beschreibt eine Startwelle $g(x,0)=f(x),$ die sich unverändert mit Geschwindigkeit v bewegt. Schrödingerwellen sind aber Summen von Anteilen $\exp(ikx-i\omega (k)t),$ wo jedes k einer freien Welle zum Beispiel eine andere Geschwindigkeit hat, denn $\omega (k)=\hbar k^{2}/(2m).$ Es besteht eine Dispersion. So eine Welle kann nicht formstabil wandern. Eine nichtlineare Funktion $\omega (k)$ ist eine Dispersionsbeziehung.
Man nennt $v_{p}=\omega (k)/k$ die Phasengeschwindigkeit und $v_{g}=(d\omega (k))/(dk)$ die Gruppengeschwindigkeit. Bei der ebenen Welle des freien Teilchens entspricht die Gruppengeschwindigkeit der klassischen Geschwindigkeit $\hbar k/m;$ die Phasengeschwindigkeit ist halb so groß.

Wiederholt wird folgende Integralrechnung gebraucht:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-x^{2})\;dx={\sqrt {\pi }}\quad$ gilt stark verallgemeinert:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-u(x-v)^{2})\;dx={\sqrt {\pi /u}};\quad u,v\in \mathbb {C} ;\;{\text{Re}}(u)>0.$

Die Quadratwurzel von $(1/u)$ hierin ist die mit positivem Realteil.

Die Zeitentwicklung eines Gauss-Pakets wird mit Fourieranalysis verfolgt. Die freie Wellengleichung $i\hbar \partial _{t}\phi =-(\hbar ^{2}/(2m))\partial _{x}^{2}\phi$ wird provisorisch vereinfacht:

$\phi (x,t)=f({\bar {x}},t);\quad {\bar {x}}=x{\sqrt {m/\hbar }};\quad i\partial _{t}f=-\partial _{\bar {x}}^{2}f/2$

und der Balken der neuen x-Variablen wird unterdrückt.

Fourier-Transformation für ein Gauss-Paket, das bei t=0 mit Wellenvektor c startet, dessen Maximum bei b liegt und dessen Ausdehnung gleich a ist:

$f(x)=\exp(-((x-b)/a)^{2})\exp(icx)$

Parameter a,b haben die gleiche Dimension wie x (Balken hinzudenken). Parameter c hat auch einen gedachten Balken und die inverse Dimension von x.

$f(x)=(2\pi )^{-1/2}\int dk\;{\hat {f}}(k)\exp(ikx);\quad {\hat {f}}(k)=(2\pi )^{-1/2}\int dx\;\exp(-ikx)f(x)$

Der negative Exponent im letzten Integranden voll ausgeschrieben:

$((x-b)/a)^{2}+ikx-icx=[(x-b)/a+ia(k-c)/2]^{2}+(a(k-c)/2)^{2}+ib(k-c),$

Daher ${\hat {f}}(k)=\exp \left(-(a(k-c)/2)^{2}-ib(k-c)\right)\;a{\sqrt {\pi /(2\pi )}}$

Eine Fourierkomponente $g(x)=\exp(ikx)$ hat folgende Zeitentwicklung:

$i\partial _{t}g=k^{2}g/2\;\Rightarrow g(x,t)=\exp(ikx-ik^{2}t/2)$

Damit kann ausgerechnet werden, wie f sich entwickelt.

$f(x,t)=(2\pi )^{-1/2}\int dk\;{\hat {f}}(k)\exp(-ik^{2}t/2)\exp(ikx)$

Der Exponent insgesamt: $Z:=ikx-ik^{2}t/2-ib(k-c)-(a(k-c)/2)^{2}$
In Z muss ein Term $pk^{2};\;p=(-a^{2}/4-it/2)$ quadratisch ergänzt werden. Das p gibt dem k-Integral den komplexen Faktor ${\sqrt {1/p}},$ der kein x enthält und zunächst hier vergessen wird. Denn im Eiltempo sollen die Normierung der Welle und ihre Phasen-Entwicklung beiseite gelassen werden. Im Exponenten Z können also Terme, die nicht von k oder x abhängen, unter den Teppich gefegt bzw. beliebig neu erfunden werden. Aus $pk^{2}+qk=p(k+(q/(2p))^{2}-q^{2}/(4p)$ ist ersichtlich, dass nach der k-Integration alle x-Abhängigkeit in $-q^{2}/(4p)$ steckt. $q=i(x-b)+a^{2}c/2$ ist linear in x. Also wird die Form der Welle wieder vom Typ Gauss sein. Der Nenner $4p=-(a^{2}+2it)$ wird die Welle mit der Zeit ausdehnen. Nur das Betragsquadrat der Wellenform interessiert. Im Exponenten bedeutet das, man berechne die Summe

$(Y+Y^{*}),{\text{ wo }}Y=-q^{2}/(4p)={\frac {(a^{2}c/2+i(x-b))^{2}}{(a^{2}+2it)}}.$

Ergebnis: $-2\cdot {\frac {((x-b-ct)/a)^{2}}{1+(2t/a^{2})^{2}}}+const.\;\Rightarrow$

$|f|^{2}\propto \exp \left(-2\cdot {\frac {((x-b-ct)/a)^{2}}{1+(2t/a^{2})^{2}}}\right)$

Das Amplitudenquadrat beschreibt eine Gausskurve, deren Zentrum bei $(b+ct)$ liegt und deren Ausdehnung wie folgt wächst:

${\tilde {a}}(t)=a{\sqrt {1+(2t/a^{2})^{2}}}.$

Das Zentrum folgt der klassischen Bahn. Für großes t verbreitert die Kurve sich linear mit dem Faktor $2t/a.$ Denn $(1/a)$ ist nach der Unschärfe- Relation die Breite im Impulsraum, also auch die Dispersion der Geschwindigkeit.

Zurück zu physikalischen Einheiten. Die Parameter $x,a,b$ der Schnellberechnung sind eigentlich Balken-Gößen $({\bar {x}},{\bar {a}},{\bar {b}})={\sqrt {m/\hbar }}\cdot (x,a,b).$ c dortselbst ist eine reziproke Länge ${\bar {c}}={\sqrt {m/\hbar }}\cdot c,$ wo c die wirklich physikalische Wellenzahl ist.
Einsetzen der Physik-Parameter liefert dann die Wellenform:

$|\phi (x,t)|^{2}\propto \exp \left(-2\cdot {\frac {((x-b-\hbar ct/m)/a)^{2}}{1+(2\hbar t/(ma^{2}))^{2}}}\right)$

Die physikalische Gruppengeschwindigkeit ist richtig: $p/m=\hbar c/m.$

Beispiel für Größenordnungen. Angenommen, man habe eine Kanone für Elektronen von 1000 eV bei einer Energie-Genauigkeit von einem Millionstel. Dann bekommt nach $(\Delta p)(\Delta x)\simeq \hbar$ das minimale Wellenpaket die Ausdehnung von etwa 12 µm. Nach 1 m Wegstrecke bleibt diese kaum verändert, nach 1 km Weg 250 µm, verursacht von der Geschwindigkeits-Streuung. Für ein Proton mit 100 keV Energie, selbe fiktive Energie-Genauigkeit: Startpaket 30 nm, nach 1 m Weg 250 nm, nach 1 km Weg 250 µm.

Gauss-Wellen des Harmonischen Oszillators

Dieses System wird später gründlich mit Operator-Methoden behandelt. Hier im Vorgriff ein paar Lösungen mit Gauss-Paketen drin.

$i\hbar \partial _{t}\phi ={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}\phi +{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\phi$

Man geht besser schleunigst zu einer dimensionslosen Form über:

${\bar {t}}=\omega t;\quad {\bar {x}}={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x$

$f({\bar {x}},{\bar {t}})=\phi (x,t);\quad i\partial _{\bar {t}}f=(1/2)(-{\partial _{\bar {x}}}^{2}+{\bar {x}}^{2})f$

Im weiteren Verlauf werden die Balken unterdrückt. Es ist ein dimensionsloser Oszillator mit der Kreisrequenz 1, der Masse 1, der Planckzahl 1.

Ansatz: $f(x,t)=\exp(g(x,t));\;2i{\dot {g}}=(-g'^{2}-g''+x^{2})$
$g(x,t)=ax^{2}-ibt;\;-4a^{2}x^{2}-2a+x^{2}=2b;\;(1-4a^{2})=0;\;a=-(1/2);\;b=(1/2)\;\Rightarrow$

$f(x,t)=\exp(-x^{2}/2)\exp(-it/2)\quad$ (Normierung unterschlagen)

Eine Gausskurve konstanter Amplitude, deren Phase mit Frequenz (1/2) rotiert. $g(x,t)=-(1/2)x^{2}-(i/2)t$ bringt die stehende Welle für den Grundzustand.

Eine animierte Lösung, die sich auf einer Bahnkurve $y(t)$ bewegt, aber dieselbe Form beibehält, wird man nach Herumprobieren wie folgt anrühren:

$g(x,t)=-(1/2)(x-y(t))^{2}+ix\;z(t)-ikt$

Ansatz mit zwei reellen Funktionen $(y(t),z(t)),$ falls solche existieren. Der Imaginärteil von g bestimmt die Phase, der Realteil die Amplitude der Wellenfunkton $f=\exp(g).$

Es muss die Gleichung $2i{\dot {g}}=x^{2}-g''-g'^{2}$ ausgewertet werden. So wie der Ansatz gebaut ist, wird $x^{2}$ rausfliegen und es gibt Koeffizientenvergleiche für die 4 Terme $\{1,i,x,ix\},$ um die Gleichungen für $(y,z)$ zu erhalten. Ausrechnung:
${\dot {g}}=-ik+ix{\dot {z}}+(x-y){\dot {y}};\;g'=-(x-y)+iz;\;g''=-1$
$2i{\dot {g}}=2k-2x{\dot {z}}+2i(x-y){\dot {y}}=x^{2}+1-[iz-(x-y)]^{2}=1-(y+iz)^{2}+2x(y+iz)$
Die Koeffizienten von $1,i,x,ix$ beider Seiten werden gleichgesetzt:
$2k=1-(y^{2}+z^{2})$
$-2iy{\dot {y}}=-2izy\;\Rightarrow {\dot {y}}=z$
$-2x{\dot {z}}=2xy\;\Rightarrow {\dot {z}}=-y$
$2ix{\dot {y}}=2xiz\;\Rightarrow {\dot {y}}=z\quad$ (redundant)

Es folgt ${\ddot {y}}=-y,$ was bekanntlich alle klassischen Lösungen des Oszillators auswirft: $y(t)=a\sin(t+\phi ).$ Funktion $z(t)$ ist die Geschwindigkeit und k ist durch die Amplitude der Schwingung bestimmt.

Ergebnis: Die Schrödinger-Gleichung des Oszillators hat als spezielle Lösungen Gauss-Pakete, die auf den klassischen Bahnkurven hin und her pendeln. Sie werden als kohärente Zustände bezeichnet. Natürlich sind es keine Eigenzustände zur Energie, weil der Zeitverlauf der Phasen einen seltsamen Term $(x\;z(t))$ mit sich schleppt.

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