Vorbemerkung.
Die Dynamik der Zeitentwicklung in diesem Abschnitt modelliert isolierte,
ungestörte Systeme. Nach einer Reaktion mit der Umwelt, etwa mit einem
Detektor, welche die Theorie nur statistisch vorhersagen kann, hört die
Beschreibung mit einem vorgegebenen Zustand auf -- sei er veränderlich
(im Schrödinger-Bild) oder festgenagelt (im Heisenberg-Bild).
Jede Lösung der Schrödinger-Gleichung
![{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =H\psi ;\;H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}});\;{\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024f5badad68b276a64a4ddefafc2ca90a96c7e2)
definiert als Funktionen der Zeit die Erwartungswerte von Operatoren F.
![{\displaystyle \langle F\rangle (t):=\langle \psi ,t|F|\psi ,t\rangle =\int d^{3}{\vec {r}}\;\psi ^{*}({\vec {r}},t)(F\psi )({\vec {r}},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a1a0d9848bb617ee1e0e9a5d9689ab2cc38859)
Operatoren H und F sind hermitesch, also etwa in Dirac-Schreibweise:
Das ist der partiellen
Integration mit stark abfallenden Funktionen zu verdanken. Multiplikatoren
in den Operatoren sind reell bei Termen mit geradzahliger Ortsableitung
und imaginär bei denen mit ungeradzahliger Ableitung.
Gleich wird gezeigt:
Die Erwartungswerte von Ort und Impuls erfüllen die Gleichung von klassischen
Teilchenbahnen. Ein Indiz dafür, dass die Wellenmechanik im Grenzfall
in die klassische Mechanik übergeht. Aber kein Beweis, warum die
quantenmechanisch erlaubten Superpositionen, Verschränkungen, Schrödinger-
Katzen etc. makroskopisch nie auftauchen. Der Einfluss der Umgebung wird in
der Theorie der Dekohärenz dafür verantwortlich gemacht.
Allerdings zeigt diese nur, dass örtlich weit gestreute Zustände
in fluktuierenden Umgebungen unstabil sind -- streng im Rahmen der
Schrödinger-Gleichung. Der Kollaps auf einen ganz bestimmten Zustand sprengt
diesen Rahmen der unitären Zeitentwicklung. Die Standard-Theorie bleibt
eine Erklärung schuldig.
1. Kontinuitätsgleichung
Diese ist leicht hinzuschreiben für Paare von Lösungen derselben
Schrödinger-Gleichung. Ein reelles Potenzial
wird vorausgesetzt.
Als Spezialfall folgt die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit.
![{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\phi =-(\hbar ^{2}\nabla ^{2}/2m)\phi +V\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7181d34be28b7e497a3f34928bcd67271cf37d5)
![{\displaystyle A=-i\hbar \partial _{t}\phi ^{*}=-(\hbar ^{2}{\vec {\nabla }}^{2}/2m)\phi ^{*}+V\phi ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858479a037f3b9385f840821cc93514a1fbb520f)
![{\displaystyle B=i\hbar \partial _{t}\psi =-(\hbar ^{2}{\vec {\nabla }}^{2}/2m)\psi +V\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2be3eba3c3c599e7707f92cdab9282471eb22)
![{\displaystyle -A\psi +\phi ^{*}B=i\hbar \partial _{t}(\phi ^{*}\psi )={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[({\vec {\nabla }}^{2}\phi ^{*})\psi -\phi ^{*}({\vec {\nabla }}^{2}\psi )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dc454c2c0ad16954929e40c626abc2ad618627)
![{\displaystyle ={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}[\phi ^{*}({\vec {\nabla }}\psi )-({\vec {\nabla }}\phi ^{*})\psi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a201335b3984d47baff256a9d15042827e6d4)
mit Addition/Subtraction eines Terms ![{\displaystyle ({\vec {\nabla }}\phi ^{*})\cdot ({\vec {\nabla }}\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692a0e483ca178e5c03801c0a8e0764375767c8e)
Es folgt eine Kontinuitätsgleichung, Zeitableitung der Dichte = Divergenz:
![{\displaystyle \partial _{t}(\phi ^{*}\psi )=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}})={\frac {\hbar }{2im}}{\vec {\nabla }}[\phi ^{*}({\vec {\nabla }}\psi )-({\vec {\nabla }}\phi ^{*})\psi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a1fa464a777126ecf4165e4988596349570e0d)
2. Zeitableitung Orts-Operator
(mögliche Definition des Impuls-Operators)
Mit
![{\displaystyle -i\hbar \partial _{t}\psi ^{*}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\vec {\nabla }}^{2})\psi ^{*}+V\psi ^{*}+i\hbar \partial _{t}\psi ={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\vec {\nabla }}^{2})\psi +V\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6019761d57dd0a561d0d08b56fc5f1c498a4f2)
entfallen die Terme mit V und es verbleibt
![{\displaystyle =\int d{\vec {r}}\;r_{i}{\frac {\hbar }{2im}}[\psi ^{*}({\vec {\nabla }}^{2}\psi )-({\vec {\nabla }}^{2}\psi ^{*})\psi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c520c17f4bb0bd83dfb8010cd8490df66a15a90b)
Die eckige Klammer ist wie oben von der Form
und es
wird angenommen, dass alle Funktionen in allen Richtungen schnell abfallen.
In den Termen mit
Index
ergibt das Integral über
schon Null. Für Index i kann partiell integriert werden
![{\displaystyle \int dr_{i}\;r_{i}\partial _{i}j_{i}=-\int dr_{i}j_{i};\;j_{i}\propto \psi ^{*}(\partial _{i}\psi )-(\partial _{i}\psi ^{*})\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160b9cc7bdcc9bf761579babf93cd63efa9bf053)
Wird der zweite Term partiell integriert,
kommt als Integrand
Insgesamt folgt wie behauptet
![{\displaystyle (d/dt)\langle r_{i}\rangle =\int d{\vec {r}}\;{\frac {\hbar }{im}}\psi ^{*}(\partial _{i}\psi )=(1/m)\int d{\vec {r}}\;\psi ^{*}(p_{i}\psi )=\langle p_{i}\rangle /m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52649c7a436b39206a517df4cee2d3a470735c01)
3. Zeitableitung Impuls-Operator
(Satz von Ehrenfest)
![{\displaystyle (d/dt)\langle p_{i}\rangle =(-i\hbar )\int d{\vec {r}}\;((\partial _{t}\psi ^{*})(\partial _{i}\psi )+\psi ^{*}(\partial _{t}\partial _{i}\psi ))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555b7888dd2084001d45f5aac7b93954875d5091)
![{\displaystyle \int d{\vec {r}}\;{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}[({\vec {\nabla }}^{2}\psi ^{*})\partial _{i}\psi -\psi ^{*}({\vec {\nabla }}^{2}\partial _{i}\psi )]+[V\psi ^{*}\partial _{i}\psi -\psi ^{*}\partial _{i}(V\psi )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdbfa2a9da16d837c785fb4c11e7d511560a516)
Die erste eckige Klammer hat die Form
![{\displaystyle (\nabla ^{2}a)b-a(\nabla ^{2}b)=\nabla \cdot ((\nabla a)b-a(\nabla b))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d8b6de3f506b5848be9c966755c60b8e75b952)
und hat als Divergenz ein verschwindendes
Integral, nach allen Voraussetzungen. Die zweite eckige Klammer schrumpft
zu
und damit folgt die Formel von Ehrenfest, also
das Gesetz von Newton für Erwartungswerte.:
![{\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle {\vec {r}}\rangle =-\langle {\vec {\nabla }}V({\vec {r}})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6648657011e18d2c78377ad5825f9a5ebe5ec7)
Der Unterschied zur klassischen Mechanik ist, dass der Erwartungswert
des Potenzial-Gradienten,
und nicht der Gradient am Erwartungswert der Position, zu nehmen ist.
4. Zeitableitung allgemeiner Operator F
![{\displaystyle i\hbar (d/dt)\langle F\rangle =\langle [F,H]\rangle +i\hbar \langle \partial _{t}F\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0de36e7ef2f52fe85b12e7f40e70e218c9443f8)
Mit
und wegen der Hermitizität von Operator H wird
![{\displaystyle i\hbar (d/dt)\langle F\rangle =(i\hbar )\int d{\vec {r}}\;[\psi ^{*}F\partial _{t}\psi +\psi ^{*}(\partial _{t}F)\psi +(\partial _{t}\psi ^{*})F\psi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673736a510c434f1a225e622507efeef4dccdeae)
In ersten Term kommt
heraus, im letzten
Die zweiten Ableitungen in H werden mit partieller Integration von
auf
herübergeschaufelt.
Damit folgt
also die Behauptung.
Wenn ein Operator F nicht explizit von der Zeit abhängt und wenn er
mit dem Operator H vertauscht, dann sind seine Erwartungswerte konstant.
Vertauschbarkeit mit dem Hamilton-Operator bedeutet: die Werte des Operators
sind Erhaltungsgrößen oder Konstanten der Bewegung.
Lemma zu Operator-Funktionen.
Seien A,B nicht-vertauschbare Operatoren, doch es gelte [B,[A,B]]=0.
Sei f() ein Polynom oder eine Taylor-Reihe mit reellen oder komplexen
Koeffizienten. Dann kann man die Kommutatoren [A,f(B)] so berechnen:
die Ableitung von f bezeichnet.
Zum Beweis beschränkt man sich auf Monome und zeigt:
![{\displaystyle [A,B^{n}]=nB^{n-1}[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4486e17311cbd13f25381bc08bb87f1440ad36)
Induktionsanfang:
![{\displaystyle [A,B^{2}]=ABB-BBA=ABB-BAB+BAB-BBA=[A,B]B+B[A,B]=2B[A,B]{\text{ weil }}[A,B]B=B[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18d3f03647d46b0bf0f177ed60f26633425bfe4)
Induktion: Es gelte
![{\displaystyle [A,B^{n-1}]=(n-1)B^{n-2}[A,B]\;\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3908c84982e129bd8c159f071f66b30126bbd36d)
![{\displaystyle AB^{n-1}=B^{n-1}A+(n-1)B^{n-2}[A,B][A,B^{n}]=AB^{n}-B^{n}A={\big (}B^{n-1}A+(n-1)B^{n-2}[A,B]{\big )}B-B^{n-1}BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab25bbd6a3c0954f2f2beab64bcb782cd70c9756)
![{\displaystyle =B^{n-1}(AB-BA)+(n-1)B^{n-2}(ABB-BAB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55dc316622f656d6bac03949b119933d8f4a3a4)
Die letzte Klammer ist
und damit folgt insgesamt
Berechnen wir die Zeitentwicklung des Operators
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle {\vec {r}}\cdot {\vec {p}}\rangle =\langle [({\vec {r}}\cdot {\vec {p}}),H]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13e279091534aa973e1420f10742258b42e302b)
Zunächst rechnet man eindimensionale Teile:
![{\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x);\;xp-px=[x,p]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec000262d24b2a6192ec15a308b3d9da91cdb8dd)
![{\displaystyle [xp,H]=[xp,{\frac {p^{2}}{2m}}]+[xp,V(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47eeda6b336c5a9fac5ead5a09e4c2d7cbf3477)
weil x und V(x) kommutieren, ![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
mit dem Lemma ![{\displaystyle ([p,f(x)]=-i\hbar f'(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9737230ad12a79e6139cf27366a126520d475351)
![{\displaystyle [xp,p^{2}]=xppp-ppxp=(xpp-ppx)p=(xpp-pxp+pxp-ppx)p=([x,p]p+p[x,p])p=2i\hbar p^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c131e00a8ee25d411f8b27f818814be248fed756)
![{\displaystyle [xp,H]=i\hbar ({\frac {p^{2}}{m}}-xV'(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bebe9ed0bd2365b698d5c05b30c523833a7324c)
Damit jetzt dreidimensional weiter:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\vec {r}}\cdot {\vec {p}}\rangle =\langle {\frac {{\vec {p}}^{2}}{m}}-\int d^{3}{\vec {r}}\;\psi ^{*}(r)({\vec {r}}\cdot {\vec {\nabla }}V)\psi (r)=\langle 2T\rangle -\langle {\vec {r}}\cdot {\vec {\nabla }}V\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d43b6700900df0cf64edb7f1127ea72549fca97)
Hier bezeichnet T die kinetische Energie. Die Zeitabhängigkeit steckt in
![{\displaystyle \psi ({\vec {r}})\equiv \psi ({\vec {r}},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3afab96b256c2d62c4b9f46bf8a94a0647007b)
Ist
stationär, ist die Zeitableitung von
Null. Daraus folgt der
- Virialsatz für stationäre Zustände:
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =\langle {\vec {r}}\cdot {\vec {\nabla }}V\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7463f36dde8aa9cf67d7d9bc77711b614577dd1)
Unter Ausnutzung des Zeitentwicklungsoperators
ergibt sich die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung:
![{\displaystyle \vert \psi {,}t\rangle _{S}=\mathbf {\hat {U}} \left(t{,}t_{0}\right)\vert \psi {,}t_{0}\rangle _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42245155439eec29cddbc23bf6ac549e5ac49aaf)
eingesetzt wird daraus die zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {U}} \left(t{,}t_{0}\right)=\mathbf {{\hat {H}}(t)} \mathbf {\hat {U}} \left(t{,}t_{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275a1be995b1c8946a7447fd4cc50384f1a293b2)
Die Entwicklung des Zeitentwicklungsoperators
um
bei einer infinitesimalen Änderung der Zeit
ergibt:
![{\displaystyle \mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{+}\Delta t{,}t_{0}\right)=\mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{,}t_{0}\right){+}{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{+}\Delta t{,}t_{0}\right)\vert _{t_{0}}\cdot \left(t_{0}{+}\Delta t{-}t_{0}\right){+}{\mathcal {O}}\left(2\right)=\mathbf {\hat {1}} {-}{\frac {i}{\hbar }}\Delta t\mathbf {{\hat {H}}(t)} {+}{\mathcal {O}}\left(2\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117bd980bf69d87e90ebd0bd6d79791119f33df4)
Die Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden.
kann nun als Produkt dieser infinitesimalen unitären Operatoren dargestellt werden, das heißt Operatoren der Form "Eins plus
i mal Hermitesch":
![{\displaystyle \mathbf {\hat {U}} \left(t{,}t_{0}\right)=\mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{,}t_{0}{-}\Delta t\right)\mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{-}\Delta t{,}t_{0}{-}2\Delta t\right)\ldots \mathbf {\hat {U}} \left(t_{0}{+}\Delta t{,}t_{0}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1256c99aa4e06b330e7dac82e33f57b8d8216080)
Daraus folgt dann die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators.
Das Schrödinger-Bild zeichnet sich dadurch aus, dass in ihm quantenmechanische Zustände zeitabhängig sind, während die Operatoren nur explizit von der Zeit abhängen können. Ist der Zustand eines Quantensystems zu einem Zeitpunkt bekannt, so ergibt sich die dynamische Entwicklung des Systems eindeutig durch Lösen der Schrödinger-Gleichung:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \psi {,}t\rangle _{S}=\mathbf {{\hat {H}}(t)} \vert \psi {,}t\rangle _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79fb91323cbabfb3a9363586545170fa12358d75)
Es gilt also:
Sei
gegeben. Nun ergibt sich die Wahrscheinlichkeit X zu finden:
![{\displaystyle \vert \langle X\vert \psi _{S}(t)\rangle \vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3fe65701b8c55b186d6814cb3c839ad1bd9018)
Wenden wir nun den Zeitentwicklungsoperator
auf den Zustand an:
![{\displaystyle \vert \psi _{S}(t_{1})\rangle =U(t,t_{0})\vert \psi _{S}(t_{0})\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d37dcf520d0481c63c980a91cc888dbf8391a7)
Damit ergibt sich für unsere Wahrscheinlichkeit:
![{\displaystyle \vert \langle X\vert \psi _{S}(t_{1})\rangle \vert ^{2}=\vert \langle X\vert U(t,t_{0})\vert \psi _{S}\rangle \vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f10547583d9dfb2562385fc1f9d2c9802f3157)
Energie-Zeit-Unschärfe, Drift von Zustand und Observablen
[Bearbeiten]
Ausgehend von der Zeitentwicklung, hängt
die Energie-Streuung eines Zustands zusammen mit
der Zeitspanne, in der seine Messwerte stark genug korreliert bleiben.
Gegeben sei ein Zustand
und Operatoren
Definiert wurde die Streuung oder Standardabweichung von Erwartungswerten:
![{\displaystyle E(A)=\langle \phi A\phi \rangle ;\;\Delta A=[\langle \phi A^{2}\phi \rangle -E(A)^{2}]^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2528b5d8f6a3eb580a3164691186945dd4f5b5b6)
Die allgemeine Operator-Unschärferelation lautet dann
![{\displaystyle (\Delta A)(\Delta B)\geq {\frac {1}{2}}|\langle \phi [A,B]\phi \rangle |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c2c9941d0fed103a4a91ad973f703989b6cbd4)
Der Zustand soll sich nach einer Schrödinger-Gleichung
ungestört entwickeln. Es folgt für Operator-Erwartungswerte
hermitesch,
im einfachen Fall wo weder B noch H explizit von der Zeit abhängen sollen.
Man setze A=H und
die Energie-Unschärfe
oder Energie-Streuung des Zustands.
![{\displaystyle (\Delta E)(\Delta B)\geq {\frac {1}{2}}|\langle \phi [H,B]\phi \rangle |={\frac {\hbar }{2}}|{\frac {d}{dt}}\langle \phi B\phi \rangle |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecfa38129938b8508720024b6d5d72cb4dcb45a)
Nun definiert man ein charakteristisches Zeitintervall
durch:
![{\displaystyle \Delta B=(\Delta t)\cdot |{\frac {d}{dt}}\langle \phi B\phi \rangle |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4d5dd172761f33984a74ad5b5bc5220e32c6bc)
ist die Zeit, in der sich die Observable B im Zustand
um eine Standardabweichung ändern kann. Damit folgt leicht von B unabhängig:
![{\displaystyle (\Delta E)(\Delta t)\geq {\frac {\hbar }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f85aecd7efd480811dc135f9b60dee96f9f815)
Ein Argument ohne Operatoren: Die zeitliche Korrelation C(t)
des Zustands
kann definiert werden als
![{\displaystyle C(t)=\langle \phi ,0|\phi ,t\rangle =\langle \phi ,0|U(t,0)|\phi ,0\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5804142c8d338cdbb439ac5c2eb8c740bf69dc)
Für einen Energie-Eigenzustand hat sie den konstanten Betrag 1, aber
![{\displaystyle |\phi ,t\rangle =\sum _{k}c_{k}\exp(-iE_{k}t/\hbar )\cdot |E_{k}\rangle \quad \Rightarrow \;C(t)=\sum \nolimits _{k}|c_{k}|^{2}\exp(-iE_{k}t/\hbar ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3deb13f3961f14bf25859b2a559aa7bcf9329d3)
Man nimmt nun an, dass
um den Energie-Erwartungswert
herum die Koeffizienten
innerhalb der Streubreite
dominieren. Der Phasenfaktor
wird ausgeklammert. Es bleibt eine Reihe
Allgemeine Argumente der Fourier-Analyse
besagen dann, dass für Zeiten
der Betrag der
Korrelation C(t) stark abfällt. Also ergibt
![{\displaystyle (\Delta E)(\Delta t)\simeq \hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa1ef88c554efb4fcf10dfaff3983a9d29c4386)
die Zeitspanne, in der ein nichtstationärer Zustand seine Form beibehält.
Mögliche Deutung dieser Energie-Zeit-Unschärfe: Für jedes Paar
von Zustand und Observablen ist die Streuung des Energie-Erwartungswerts, mal
Zeitdauer eines gültigen Observablen-Erwartungswerts, mindestens
Alle Observablen des veränderlichen Zustands
haben diese charakteristische Verfallszeit.
Ist der Zustand nicht stationär, also kein Energie-Eigenzustand, kann dennoch
seine Energie umso genauer bestimmt werden, je länger die Korrelationen
dauern, je beständiger alle messbaren Größen ihre Werte beibehalten.
Wenn zum Beispiel der Zustand durch spontante Emission
oder radioaktiv zerfällt, bedeutet eine kurze Lebensdauer eine
weite Streuung der beteiligten Energien. Etwa, unscharfe Spetrallinie,
große Zerfallsbreite oder Massen-Unschärfe eines Elementarteilchens.
Nicht gerechtfertigt scheint die Behauptung, ein Prozess könne für kurze Zeit
die Energieerhaltung verletzen,
nach dem Motto Gratis-Energie-mal-Zeit gleich Planck-Quantum.
Nur rein rechnerisch erscheinen in Störungs-Algorithmen virtuelle (nicht zu
beobachtende) Zwischenzustände mit allen möglichen Energie-Eigenwerten.
Zur Integration einer Schrödinger-Gleichung
kann man
die Approximation in kleinen Schritten probieren.
Das Zeitintervall [0,t] sei in n Stücke geteilt. Im Teilstück k geht es
nach folgendem Schema vorwärts:
![{\displaystyle \phi ({\frac {(k+1)t}{n}})=\phi ({\frac {kt}{n}})+{\frac {t}{n}}{\frac {(-i)}{\hbar }}H\phi ({\frac {kt}{n}})={\Big [}\mathbf {1} +{\frac {t}{n}}{\frac {(-i)}{\hbar }}H{\Big ]}\phi ({\frac {kt}{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75214e6146b69e8e6bc1dd18f0bf9823cd010385)
![{\displaystyle \phi (t)={\Big (}1+{\frac {t}{n}}{\frac {(-i)}{\hbar }}H{\Big )}^{n}\;\phi (0)=:U(t,0)\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c40f4acacfa9823b29ea1d149eebd1a06ced20)
Der Zeitentwicklungs-Operator als Grenzwert dieser Folge
ist eine Operator-Exponentialfunktion:
![{\displaystyle U(t,0)=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {-i\hbar t}{n}}H{\Big )}^{n}=\exp(-i\hbar tH)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debe97a8b4c1aa886ca2fd31d791a7ef47895003)
Das Rechnen mit Funktionen auf einer Algebra von Operatoren oder
Matrizen erbt viel vom Rechnen mit Zahlen.
Wenn ein Operator F eine Spektraldarstellung hat, gibt es ein vollständiges
Orthonormalsystem aus Eigenvektoren, als (unendliche) Folge oder vielleicht als
kontinuierliche Familie von uneigentlichen Vektoren. Dann ist klar, wie
eine Funktion wie
oder irgendeine andere Operatorfunktion G(F) von F
ausgerechnet wird. Man wende die Funktion auf die Eigenwerte an. Ein beliebiger
Vektor u wird in der Eigenbasis entwickelt, die Operator-Funktionsbilder der
Eigenwerte werden mit den Koeffizienten von u malgenommen, der Ergebnis-Vektor
wird daraus aufaddiert.
![{\displaystyle u=\sum c_{i}\,f_{i};\;F(f_{i})=z_{i}f_{i};\;G(F)(f_{i})=G(z_{i})f_{i};\;G(F)(u)=\sum c_{i}\,G(z_{i})\,f_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d675ee97ca441f091bac6729cf4e31c7f20439e5)
Wenn H ein hermitescher Operator ist,
dann ist
ein unitärer Operator,
und umgekehrt.
Die Familie
ist eine Halbgruppe und sie ist kommutativ.
Zum Nachrechnen darf man konventionelle Differenzialrechnung anwenden:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}|_{t=0}U(t)=(-iH)U(t)|_{t=0}=-iH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ed6a5aead92e4461a87ec0486e052a7b0bef5b)
![{\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}(U^{\dagger }(t)U(t))=({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)U(t)+U^{\dagger }(t){\frac {d}{dt}}U(t))=(-iH)^{\dagger }+(-iH)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1124740abadc8739ad7c4bb9c38e21bcb75a573)
Ausgewertet bei
ergibt dies
also ist H hermitesch.
Allgemein hat eine Differenzialgleichung
mit dem
linearen, beschränkten Operator A auf dem Vektorraum der
die Lösung
![{\displaystyle u(t)=(\exp(tA))u(0)={\big [}1+tA+{\frac {t^{2}A^{2}}{2}}+{\frac {t^{3}A^{3}}{3!}}+\cdots {\big ]}u(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02d450e205d1fc41cc458300be61649db737271)
Bei einer Ähnlichkeitstransformation operiert A linear auf anderen Operatoren B:
und es gibt die Operator-Differenzialgleichung
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}B(t)=AB(t)-B(t)A=[A,B(t)]=:{\bar {A}}B(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac90000dbb8214c7fbe49054a669a1b0988f122)
Hier ist
ein linearer Operator auf einem Raum der Operatoren.
Folglich ergibt B(t), als Exponentialreihe in
eine Kommutator-Reihe:
![{\displaystyle B(t)=\exp(t{\bar {A}})B=B+[tA,B]+{\tfrac {1}{2}}[tA,[tA,B]]+{\tfrac {1}{3!}}[tA,[tA,[tA,B]]]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfe244a2bb486f3263b64f5ac7f550269fc5d0a)
Speziell t=1:
![{\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\tfrac {1}{2}}[A,[A,B]]+{\tfrac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bed416119cd1d2e0be5af94d937dfcd5be3cd69)
Im allgemeinen Fall ist H nicht konstant und die formale Integration
zum Zeitentwicklungs-Operator
etwas komplizierter.
Gegeben ist die Differenzialgleichung: ![{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\phi (t)=H(t)\phi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401dba7e79a2fc3dc8f849b66443262ac01a2169)
Das hermitesche
sei nun eine zeitabhängige Operator-Funktion. Die
Operatoren
zu verschiedenen Zeiten kommutieren nicht.
Mit Anfangswert
bei der Zeit
ist folgende Integralgleichung
eine anders verpackte Version derselben Differenzialgleichung:
![{\displaystyle \phi (t)=\phi (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}{\frac {H(t_{1})}{i\hbar }}\phi (t_{1})\;dt_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d8ff6333e75f244fb728d4317da0f143f9de0f)
Für
setzt man nun genau diesen Ausdruck noch einmal ein und
startet so eine Iteration, oder soll man sie Rekursion nennen?
![{\displaystyle \phi (t)=\phi (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}{\frac {H(t_{1})}{i\hbar }}\phi (t_{0})\;dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {H(t_{1})}{i\hbar }}{\frac {H(t_{2})}{i\hbar }}\phi (t_{2})\;dt_{2}\;dt_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984d9a94005b9d3449df02ccb776e4cdaf79948f)
Mit der Abkürzung
bleiben in einer unendlichen Reihe
nur noch die Operatoren und der Anfangswert von
:
![{\displaystyle \phi (t)={\Big [}\mathbf {1} +\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\;G(t_{1})+\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(t_{1})G(t_{2})\;dt_{2}\;dt_{1}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7205521b4557536f2ab08e5164b7cc7466b6ba91)
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\int _{t_{0}}^{t_{2}}G(t_{1})G(t_{2})G(t_{3})\;dt_{3}\;dt_{2}\;dt_{1}+\cdots {\Big ]}\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f30aa20dc879a30f021a066c6c9a6ca9bd6e610)
Die Reihe über Operatorprodukte in der eckigen Klammer entwickelt den unitären
Zeitentwicklungs-Operator
Von der Frage nach Konvergenz einmal
abgesehen, sind in jedem Term die G-Faktoren nach absteigender Zeit geordnet.
Im typischen Term von der Ordnung n:
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}G(t_{1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(t_{2})\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}G(t_{n})\;dt_{n}\;dt_{n-1}\cdots dt_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7a010c1f1b2e23fb748d2edaff52088bcc596e)
kommen als Operator-Argumente alle Mengen
von n Zeiten
zwischen
und
vor. Aber sie sind geordnet in einem Simplex ('Tetraeder' der
Dimension n). Ein künstlerischer Trick ist nun dieser: Man dehnt den
Integrationsbereich auf den ganzen Hyperwürfel aus, n mal das Intervall,
Und man sagt dem Integranden, er solle sich gefälligst nach
absteigender Zeit ordnen. Man definiert das zeitgeordnete Produkt
von n Operatoren
![{\displaystyle T[A_{1}(t_{1})\cdots A_{n}(t_{n})]=A_{p1}(t_{p1})\cdots A_{pn}(t_{pn}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116d4133b29b4a675cb689daeabf26d55b5e98a3)
wo
diejenige Permutation ist, für die die Zeitpunkte
absteigend geordnet sind.
Werden alle Permutationen der Zeiten, das T-Produkt und das Vielfachintegral
über
benutzt, dann zählt man den Integranden n! mal.
Diese Redundanz wird wegdividiert und der Term der Ordnung n lautet so:
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}{\frac {1}{(i\hbar )^{n}}}\int _{t_{0}}^{t}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\;dt_{2}\cdots dt_{n}\;T[H(t_{1})H(t_{2})\cdots H(t_{n})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb03f0dfaede7afdcd70950771df832655338810)
Wegen der Ähnlichkeit dieses Konstrukts mit dem Glied einer Reihenentwicklung
der Exponentialfunktion hat man die ganze Dyson-Reihe auch das T-exp-Integral
einer Operatorfunktion getauft. Suggestive Schreibweise:
![{\displaystyle U(t,t_{0})={\text{T-exp}}\int _{t_{0}}^{t}dt'\;{\frac {H(t')}{i\hbar }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8db2a2c54d5b8c30a16fff6b122dc172afa6c8)
Die Zeitentwicklung mit einem konstanten Hamilton-Operators ist
im Vergleich dazu einfach
![{\displaystyle U(t,t_{0})=\exp((t-t_{0}){\frac {H}{i\hbar }}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f44ecb3775bcac7eafe6de2512aad2b6b821091)
Wenn eine Operator- oder Matrixfamilie sich statt über die Zeitachse
über einen anderen Typ von Pfad entwickelt, wird in ganz ähnicher Manier ein
Pfadintegral 'P-exp
' definiert, das die Operatorfolge in infinitesimalen
Schritten aufmultipliziert. Während normale Integrale additive Sachen in
kleinen Portionen summieren, erzeugen P-exp-Integrale das geordnete Produkt
von multiplikativen, nicht unbedingt vertauschbaren Dingen, ebenfalls im
Grenzfall der Schrittweite gegen Null.
Heisenberg-Bild und Heisenberg-Gleichung
[Bearbeiten]
Man erhält das Heisenberg-Bild aus dem Schrödinger-Bild durch eine
unitäre Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator
![{\displaystyle \vert \psi _{H}\rangle =U^{\dagger }(t,t_{0})\vert \psi _{S}(t)\rangle =\vert \psi _{S}(t_{0})\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce474b4dc0c1765cbf48eff4f5f81a760de1ade1)
Für eine Observable A ergibt sich als definierende Transformation:
![{\displaystyle A_{H}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0})A_{S}U(t,t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01a2010d56bb1cd1e3f7466b2f56a9193a043cf)
Der Hamilton-Operator
darf explizit von der Zeit abhängen
und erfüllt
vertauscht
nicht unbedingt mit
. Daher auch die Definition
![{\displaystyle H_{H}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0})H_{S}(t)U(t,t_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49af9575016397a0851fff42cafeefbb6fb33623)
Nun gilt die Äquivalenz
![{\displaystyle \vert \phi _{H}\rangle =A_{H}\vert \psi _{H}\rangle \quad \Leftrightarrow \quad \vert \phi _{S}\rangle =A_{S}\vert \psi _{S}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6e2aba1e1d2cf6d2a84f73dd9f597a0f850bab)
Die Zeitableitung der Zustände ist Null im Heisenbergbild:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \phi _{H}\rangle =0\quad \Leftrightarrow \quad i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \phi _{S}\rangle =H_{S}\vert \phi _{S}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d36c806ad799c0d17e7c56e89f742c39407158)
Herleitung für die Zeitentwicklung der Heisenberg-Operatoren:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {dA_{H}}{dt}}=i\hbar {\frac {d}{dt}}(U^{\dagger }A_{S}U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028572636b4223044ddfd8ed8087cde17765e3e4)
![{\displaystyle =i\hbar ({\frac {\partial U^{\dagger }}{\partial t}}A_{S}U+U^{\dagger }{\frac {\partial A_{S}}{\partial t}}U+U^{\dagger }A_{S}{\frac {\partial U}{\partial t}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962f326ea6753287d1fea51d1c82e8ea6e4311c7)
Mit
und
folgt:
![{\displaystyle =i\hbar U^{\dagger }{\frac {\partial A_{S}}{\partial t}}U+U^{\dagger }A_{S}H_{S}U-U^{\dagger }H_{S}A_{S}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a59e02bb31198ea49a0f56e4a0aad5ef9a8c65)
- (mit
)
![{\displaystyle =U^{\dagger }(A_{S}UU^{\dagger }H_{S}-H_{S}UU^{\dagger }A_{S})U+i\hbar U^{\dagger }{\frac {\partial A_{S}}{\partial t}}U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95318a58e906be16181fc2340c959cc10c5d9c3e)
Mit
folgt daraus die Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Gleichung genannt,
also das Quantenpostulat der Zeitentwicklung im Heisenberg-Bild:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {dA_{H}}{dt}}=\left[A_{H},H_{H}\right]+i\hbar {\frac {\partial A_{H}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0380b8709ca3da97d83fa2bcef7009ba23f471)
- Die Zustände sind konstant, zeitliche Änderungen betreffen die Operatoren.
Heisenberg konstruierte seine Version der Mechanik so, dass die Operatoren
(alias Matrizen) die gleichen Bewegungsgleichungen erfüllen wie normale
zahlenwertige Funktionen der klassischen Mechanik. Was sind diese
klassischen Variablen, und wie werden daraus die Heisenberg-Operatoren?
Newtons Gleichung für Massenpunkte hat zweite Zeitableitungen, nämlich die
Beschleunigungen. Hamilton ging zu einer viel eleganteren Version über mit
doppelt soviel Variablen, aber nur ersten Zeitableitungen. Jeder mechanische
Freiheitsgrad hat ein kanonisches Paar von Variablen (q,p) für Ort und
Impuls. Die Mannigfaltigkeit mit Koordinaten
ist der Phasenraum
des mechanischen Systems. Auf dem Phasenraum existiert eine Hamiltonfunktion
Diese definiert die Hamiltonschen Bewegungsgleichung für Bahnkurven
so:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}};\quad {\frac {d}{dt}}p_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0819ea2e2890d7fa6de64eba9954e233b29311ee)
Die Hamiltonfunktion ist physikalisch die totale Energie des Systems,
kinetische plus potenzielle,
ausgedrückt als Funktion der kanonischen Koordinaten.
Mit der Einteilchen-Energie
zum Beispiel
![{\displaystyle {\dot {r}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\frac {p_{i}}{m}};\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial r_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da1d84f009fe93060a991996dd6da9c8fc29998)
Eine beliebige Funktion
hat folgende zeitliche Entwicklung,
wenn sie von der Strömung auf Bahnkurven mitgerissen wird:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}F({\bar {q}}(t),{\bar {p}}(t))=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fab0ac7bcfc65cb0fc0beecf23c5bac3ca007f)
![{\displaystyle \sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right]=:[F,H]_{P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a5fd8ada3d12f37f82e280e1522aa36bc14ce2)
Der Klammerausdruck mit Index P heißt die Poisson-Klammer. Mathematisch
ist diese neue Phasenraum-Funktion eine
symplektische Bilinearform der Gradienten zweier Phasenraum-Funktionen.
Der Hamilton-Operator hat algebraisch den selben Ausdruck wie die klassische
Hamilton-Funktion. Nur dass die kanonischen Variablen zu Operatoren geworden
sind an Stelle von vertauschbaren Zahlen. Die Quantenmechanik im
Heisenberg-Bild ersetzt die Poisson-Klammer durch die Kommutator-Klammer!
- Dieses Rezept ist als kanonische Quantisierung bekannt:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A=[A,H]_{P}\quad \to \quad i\hbar {\frac {d}{dt}}A=[A,H].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04029034f9d1ed8ec5932479eb26ce76a33f6569)
Die Poisson-Klammer der kanonischen Koordinaten selbst ist offenbar
Das kanonische Rezept macht daraus die Formel
für Operatoren. Hurra, es stimmt!
In der Ortsdarstellung für ein Teilchen
![{\displaystyle Q_{i}=r_{i},\;P_{k}={\frac {\hbar }{i}}\partial _{k};\quad \Rightarrow \;(\hbar /i)[r_{i}\partial _{k}-\partial _{k}r_{i}]\phi ({\vec {r}})=i\hbar \,\delta _{ik}\phi ({\vec {r}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb900b32661757abb305b73e784614597a83d54)
Man kann die kanonische Quantisierung auch definieren als Heisenberg-Gleichung
plus kanonische Kommutatoren für konjugierte Paare.
Die kanonischen Bewegungsgleichungen nach Hamilton
![{\displaystyle (dq_{k}/dt)=[q_{k},H]_{P};\quad (dp_{k}/dt)=[p_{k},H]_{P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafb5ae864b4d79b4b36803745f0cf562917e8b7)
ergeben auch die richtigen Operator-Gleichungen im Heisenberg-Bild
![{\displaystyle i\hbar (dQ_{k}/dt)=[Q_{k},H];\quad i\hbar (dP_{k}/dt)=[P_{k},H],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dc2036b7861c7e2d0c702b63a32c62d1bc73f4)
weil die Operatoren
im Schrödinger-Bild keine eingebaute
Abhängigkeit von der Zeit haben.
Angenommen, H sei ein Polynom oder eine Taylorreihe in den Variablen
typisch etwa eine Summe aus potenzieller und kinetischer Energie
Dann können die Kommutatoren mit der Operator-Formel
berechnet werden, wie sie beim Virialsatz
erklärt wurde.
Man benutzt die kanonischen Kommutatoren
![{\displaystyle [Q_{i},P_{k}]=i\hbar \delta _{ik};\;[Q_{i},Q_{k}]=[P_{i},P_{k}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d50b51da15a0177679f5d03a5335ef75ed700ad)
auch die Bilinearität des Kommutators und Rechenregeln der Sorte
[A,BCD]=A[B,C]D falls A mit B und D vertauscht.
![{\displaystyle [Q_{k},H]={\frac {\partial H}{\partial P_{k}}}[Q_{k},P_{k}]=i\hbar {\frac {\partial H}{\partial P_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ff3231d64cf39fc462cf9083c3b294ced83354)
![{\displaystyle [P_{k},H]={\frac {\partial H}{\partial Q_{k}}}[P_{k},Q_{k}]=-i\hbar {\frac {\partial H}{\partial P_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022ccff8010b39e989b9bdec9b688b51cca0ae01)
Vergleich mit den Heisenberg-Gleichungen liefert:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{k}={\frac {\partial H}{\partial P_{k}}};\quad {\frac {d}{dt}}P_{k}=-{\frac {\partial H}{\partial Q_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371a7940c4689e372e68cd01fa3fdb55845282bf)
Fazit: Im Heisenberg-Bild folgen die kanonischen Operatoren
auch den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wenn sie die kanonischen
Kommutator-Relationen und die Heisenberg-Gleichung erfüllen.
Es gibt mehrere äquivalente Ansätze zur Quantisierung klassischer Systeme:
- kanonischer Formalismus (Heisenberg)
- lineare Wellengleichungen (Schrödinger)
- Funktionalintegral (Feynmansches Pfadintegral, wird später behandelt)
Der abstrakteste Weg ist der von Heisenberg. Historisch der älteste,
aber noch der Sieger bei mathematischer Eleganz. Anekdote:
Der Doktorand Heisenberg erfand
dafür die Matrixrechnung ganz neu. Born machte ihn darauf aufmerksam, dass
seine Dinger Matrizen heißen und schon lange die Mathematik bevölkern.
Das Wechselwirkungs- oder Dirac-Bild findet Anklang, wenn der
Hamilton-Operator
aus zwei Teilen besteht, einem zeitunabhängigen
und einem Stör-Operator, der zeitlich variiert. Der Plan besteht darin,
die Zustandsvektoren unitär mit der Zeitentwicklung des konstanten
Teils zu transformieren und darauf aufzusetzen, um die Wirkung des
zeitabhängigen Operators leichter auszurechnen.
Definiere
In diesem Vektor ist die
Entwicklung unter dem ersten Teil
neutralisiert, wegtransformiert.
In Schrödinger-Bild gelte
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)_{I}=-H_{0}\;\exp(itH_{0}/\hbar )\psi (t)+\exp(itH_{0}/\hbar )\left(i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)\right)=-H_{0}\psi (t)_{I}+\exp(itH_{0}/\hbar )(H_{0}+H_{1}(t))\psi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a65b7700ae6edeebcf04099455aea1ab5b8280)
Man definiert den Stör-Operator im Dirac-Bild als
und hat damit
Also
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)_{I}=-H_{0}\psi (t)_{I}+H_{0}\exp(itH_{0}/\hbar )\psi (t)+H_{I}(t)\exp(itH_{0}/\hbar )\psi (t)=H_{I}(t)\psi (t)_{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7562964610c38d7a151b42a86cb68ab2ca1f23e9)
Für den Zustand im Dirac-Bild gilt also die Schrödinger-Gleichung allein
mit dem zeitvariablen Operator
Der Formalismus der Dyson-Reihe kann hier angewendet werden, so dass
![{\displaystyle \psi (t)_{I}=\left[{\text{T-exp}}\int _{0}^{t}dt'\;{\frac {H_{I}(t')}{i\hbar }}\right]\psi (0)_{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ca016798eb3000590b5eec91f49a6d0aca4b99)
als Ausgangspunkt für Störungsrechnungen dient.
Ein allgemeiner Operator A, der nicht explizit von der Zeit abhängt,
hat im Dirac-Bild folgende Form und Bewegungsgleichung:
![{\displaystyle A_{I}(t)=\exp(itH_{0}/\hbar )A\exp(-itH_{0}/\hbar )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c308eb3db122a98e209de51138d71417f2e45154)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)={\frac {1}{i\hbar }}[A_{I}(t),H_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6d00a618cba7cf911dee817ddb88d41192ac12)
Sowohl die Zustände wie die Operatoren sind zeitveränderlich im
Dirac-Bild. Im Vergleich dazu sind
im Heisenberg-Bild die Zustände eingefroren und im Schrödinger-Bild
sind es die meisten Operatoren.
Letzter Abschnitt zur Zeitentwicklung; es geht zurück zum Schrödinger-Bild.
Die Greenschen Funktionen sind eine allgemein verbreitete Technik bei
Differenzialgleichungen und sollen am Beispiel vorgeführt werden.
Die extreme Anfangsbedingungung einer Deltafunktion fûhrt zu einer
Greenschen Funktion der Wellengleichung.
Die Anfangswertaufgabe der Schrödinger-Gleichung -- finde die
Wellenfunktion
wenn
gegeben ist --
hat eine eindeutige Lösung, weil die Gleichung linear-homogen und von
erster Ordnung in der Zeitableitung ist. Gewünscht wird dazu ein
Integralkern, der beliebige Wellenfunktionen von
linear fortsetzt:
![{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\Psi ({\vec {x}},t)=H({\vec {p}},{\vec {x}})\Psi ({\vec {x}},t)\quad \Rightarrow \Psi ({\vec {x}},t)=\int K({\vec {x}},t;{\vec {x}}',0)\Psi ({\vec {x}}',0)\;d^{3}{\vec {x}}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc126ee126a78428d580ebbd72d37f37c9dfab5)
Formal kann K gebaut werden aus einem vollständigen Orthonormalsysten der
Eigenfunktionen zum Hamilton-Operator H, also der stationären Lösungen:
![{\displaystyle (H\phi _{k})({\vec {x}})=E_{k}\phi _{k}({\vec {x}});\;E_{k}=\hbar \omega _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd65d87b1c632465dfebd307741aaea0d691d6e)
![{\displaystyle \Psi ({\vec {x}},0)=\sum _{k}c_{k}\phi _{k}({\vec {x}});\;c_{k}=\int d^{3}{\vec {x}}'\;\phi _{k}^{*}({\vec {x}}')\Psi ({\vec {x}}',0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d487430ba7c944ffde4342ab39befd3da3befe42)
![{\displaystyle \Psi ({\vec {x}},t)=\sum _{k}c_{k}\phi _{k}({\vec {x}})\exp(-i\omega _{k}t)=\int d^{3}{\vec {x}}'\left(\sum _{k}\exp(-i\omega _{k}t)\phi _{k}({\vec {x}})\phi _{k}^{*}({\vec {x}}')\right)\Psi ({\vec {x}}',0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dace2dde8a04dd104dc794295f62d1cb651ee182)
Statt der Anfangszeit 0 kann auch eine allgemeine Startzeit
da stehen.
Der Ausdruck in den großen Klammern ist der gesuchte
Integralkern
er ist eine Distribution mit den
Eigenschaften
![{\displaystyle (i\hbar \partial _{t}-H([\partial /\partial {\vec {x}}],{\vec {x}}))K({\vec {x}},t,{\vec {x}}',t')=0;\quad K({\vec {x}},t;{\vec {x}}',t)=\delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc2064a6a10cc144b5e6fa0877892a856793eee)
Aus einem Integralkern für Anfangswerte lassen sich in diesem Fall auch
Greensche Funktionen oder Propagatoren gewinnen. Sei D ein linearer
Operator, im Schrödinger-Fall
dann ist eine Green-Funktion
G ein Integralkern in z.B 3+1 Dimensionen, der inhomogene Gleichungen löst:
![{\displaystyle Df=g\quad \Rightarrow f({\vec {x}},{\vec {t}})=\int d^{3}{\vec {x}}'\,dt'\;G({\vec {x}},t;{\vec {x}}',t')\,g({\vec {x}}',t').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c05e5b2a0697694d03554cff286ad5554f894b1)
Die Distribution G hat die definierende Eigenschaft
![{\displaystyle D[{\vec {x}},t]G({\vec {x}},t,{\vec {x}}',t')=\delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d90443c5008e6cf40cc221a0aab67710d37e1f)
Behauptung: Für den Schrödinger-Operator hat eine retardierte Green-Funktion
die Form
![{\displaystyle G_{r}({\vec {x}},t,{\vec {x}}',t')\simeq K({\vec {x}},t;{\vec {x}}',t')\cdot \theta (t-t').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e44e925ee37de36ce6bdc0c1082f48a28499706)
Hier ist
die Stufenfunktion
![{\displaystyle \theta (z)=0\;\forall z<0;\;\theta (z)=1\;\forall z\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006a808a52456d3a7c9e4d8e3e1b092b29959a5e)
Eine retardierte Funktion G bewirkt, dass die inhomogene
Quelle
nur Auswirkungen in der Zukunft hat.
Ausrechnung. Der Operator hat die Form
wo H nicht von der
Zeit abhängen soll. Die Zeitableitung von
ist die Deltafunktion.
Es folgt mit abgekürzter Notation:
![{\displaystyle DG=D(K\theta )=(DK)\theta +K\cdot (\alpha \delta (t-t'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8750f5131fd515409ad309b9a73c47d17d0102ef)
Wegen der Definition von K verschwindet (DK). K als Faktor der zeitlichen
Deltafunktion schrumpft zum Anfangswert
Daher ![{\displaystyle DG=\alpha \delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a18b3f1ca2c2ba19defe098a232f29e7c604bd8)
Es gibt im Allgemeinen einen Haufen Greensche Funktionen zum selben Operator D,
retardierte, avancierte,... weil schon die homogene Gleichung
einen
großen Vektorraum von Lösungen hat.
Berechnung: Integralkern für die potenzialfreie Schrödinger-Gleichung.
Wegen der Translationsinvarianz wird gelten: ![{\displaystyle K(x,t;x',t')={\bar {K}}(x-x',t-t').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17da9e2fa4f946400579dffc3ae42ef6d115414e)
Man berechnet die Zeitentwicklung einer Deltafunktion vom Punkt
ausgehend. Besser, die Anfangsbedingung ist ein als Gausskurve regularisiertes
Delta; der Grenzübergang erfolgt erst am Ende der Rechnerei:
als Distribution
Fourier-Transformation:
![{\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-1/2}\int e^{ikx}{\hat {f}}(k)\;dk;\quad {\hat {f}}(k)=(2\pi )^{-1/2}\int e^{-ikx}f(x)\;dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f5f1afe63bcc44c371b4b150cf954847569241)
Integral-Rechenregel:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-u(x-v)^{2})\;dx={\sqrt {\pi /u}};\quad u,v\in \mathbb {C} ;\;{\text{Re}}(u)>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dcd14a63d398a89f37188370074d735c1c0f7a)
Quadratische Ergänzung:
![{\displaystyle \exp(-[pz^{2}+qz])=\exp(-p(z+q/(2p))^{2})\exp(+q^{2}/(4p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6552e636ce27bae2413d9e954f07a3a201bbd3ad)
Mit diesen Regeln wird erst einmal
hergestellt, Ergebnis:
![{\displaystyle {\hat {f}}(k)=(2\pi )^{-1/2}\exp(-(ak/2)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2fe78a40b779ccc4fec48badd70305a52bb141)
Dann muss die Zeitentwicklung des Wellenterms
in der Entwicklung
von f(x) eingesetzt werden, um f(x,t) zu bekommen.
![{\displaystyle g(x,0)=e^{ikx};\;i\hbar \partial _{t}g={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}g(x,t)\quad \Rightarrow g(x,t)=\exp[ikx-i{\frac {\hbar k^{2}t}{2m}}]=:\exp[ikx-ibk^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f8f33787f09f5d5346d8a25cd99d7ae254d34f)
![{\displaystyle f(x,t)=(2\pi )^{-1/2}\int dk\;{\hat {f}}(k)\exp[ikx-ibk^{2}]=(2\pi )^{-1}\int dk\exp(-[a^{2}k^{2}/4+ibk^{2}-ikx])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1344f6b6908b9100e7865185bf2873fc0f9b42f5)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2\pi {\sqrt {a^{2}/4+ib}}}}\exp {\big [}{\frac {-x^{2}}{a^{2}+4ib}}{\big ]}={\frac {1}{\sqrt {\pi (a^{2}+4ib)}}}\exp {\big [}{\frac {-x^{2}}{a^{2}+4ib}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e5f6d327082e345be56965913b34cd35b535ef)
Hier wurde
gesetzt und obige Regeln wurden benutzt.
Im Grenzfall
bekommt man offenbar die Funktion f(x) zurück.
Im Grenzfall
kommt der gesuchte "Propagator" heraus:
![{\displaystyle f(x,t)={\bar {K}}(x,t)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\big [}{\frac {-mx^{2}}{2i\hbar t}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3a35092030e549dd41f64001079ba0207ba389)
Für a=t=0 ist das Ding nicht als Funktion definiert, sondern als Distribution.
Zeitentwicklung der freien Welle:
![{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\phi (x,t)=-\hbar ^{2}/(2m)\;\partial _{x}^{2}\phi (x,t)\quad \Rightarrow |\phi (t)\rangle =U(t,t')|\phi (t')\rangle ;\quad \phi (x,t)=\int dx'\;{\bar {K}}(x-x',t-t')\phi (x',t')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8883a75d66927e429d2653cfe5e2659fd6948e2)