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Statistik: Konzentration

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Die Konzentration befasst sich mit der Intensität, mit der sich ein Objekt auf eine vorgegebene Menge verteilt. Eine typische Aussage der Konzentrationsmessung wäre etwa: 20% der Menschen eines bestimmten Staates besitzen 90% des Vermögens. Demnach teilen sich die anderen 80% die restlichen 10%. Hier kann man von einer starken Konzentration sprechen.

Kino-Beispiel

Im Rahmen einer Controllinganalyse eines Kinos wurden die Besucherzahlen (Merkmal x) für die 5 angebotenen Spielfilme an einem Tag erfasst. Man erhielt die Tabelle

Filmtitel Zahl der Besucher x
Rotkäppchen 25
Verliebt ins Abendrot 75
Leif Erikson 125
Söhne der Alhambra 250
Galaxy-Fighter 525

Definitionen

Es gibt verschiedene Verfahren zur Konzentrationsmessung. Man kann die Konzentration grafisch darstellen oder Kennwerte berechnen. Die Merkmalsbeträge x müssen aufsteigend geordnet vorliegen, also .

Für die Konzentrationsmessung werden neben der relativen Summenfunktion Si* folgende Definitionen benötigt:

  • Merkmalssumme
  • Kumulierte Merkmalsbeträge
  • Relative kumulierte Merkmalsbeträge

Grafik

Die Lorenzkurve ist eine grafische Darstellung der Konzentration:

Die Wertepaare (Si*;qi*) werden in einem Diagramm abgetragen. Das erste Wertepaar ist (0;0), das letzte (1;1). Es wird zwischen diesen beiden Wertepaaren die Winkelhalbierende des Koordinatensystems eingetragen. Alle Wertepaare (0;0), (S1*;q1*), ... , (1;1) werden geradlinig verbunden.

Tabelle

Die für die Lorenzkurve benötigten Zwischenwerte werde in der folgenden Tabelle aufgeführt. So ergibt sich beispielsweise für die kumulierten Merkmalsbeträge qi

, , usw.

Die relativen oder anteiligen Merkmalsbeträge errechnen sich durch Teilen des Gesamtmerkmalbetrags 1000, also

usw.

Ebenso ermitteln wir die absolute Summenhäufigkeiten als Zahl der Filme, also

, , ...

und wiederum die relative Summenhäufigkeit mit

, , ...

Es wurde außerdem noch als Platzhalter die Zeile für i = 0 eingefügt.

i

Filmtitel

xi

qi

qi*

Si

Si*

0

 

0

0

0

0

0

1

Rotkäppchen

25

25

0,025

1

0,2

2

Verliebt ins Abendrot

75

100

0,100

2

0,4

3

Leif Erikson

125

225

0,225

3

0,6

4

Söhne der Alhambra

250

475

0,475

4

0,8

5

Galaxy-Fighter

525

1000

1,000

5

1

Summe

 

1000

 

 

 

 


So wurden beispielsweise 40% (S2*) der Filme von nur 10% (q2*) der Besucher angesehen.


Die Lorenzkurve ist eine grafisches Maß für das Ausmaß einer Konzentration. Je weiter die Kurve „durchhängt“, desto größer ist die Konzentration. Unten sind die beiden extremen Situationen dargestellt, die gleichmäßge Aufteilung der Objekte auf die gesamte Menge und die vollständige Konzentration, bei der ein Element alle Objekte auf sich vereint und alle anderen Elemente leer ausgehen.

Lorenzkurve bei gleichmäßiger Aufteilung
Lorenzkurve bei vollständiger Konzentration

Werden mehrere gleichartige Gesamtheiten gegenüberstellt, bieten die verschiedenen Lorenzkurven eine schnelle optische Vergleichsmöglichkeit. Siehe dazu auch das weiter unten folgende Beispiel mit den Agrarflächen in Bayern.

Ginikoeffizient

Als Ginikoeffizient G wird bezeichnet der Anteil der Fläche, die durch die Winkelhalbierende und die Lorenzkurve gebildet wird, an der Gesamtfläche unter der Winkelhalbierenden. Wenn vollkommene Konzentration besteht, ist die Fläche über der Lorenzkurve deckungsgleich mit dem Dreieck unter der Winkelhalbierenden. G ist dann 1. Bei fehlender Konzentration ist dann G=0.


Ermittlung des Ginikoeffizienten

Verbindet man die Punkte auf der Lorenzkurve mit den entsprechenden Punkten auf der Winkelhalbierenden, wird klar, dass wir es mit n vielen Trapezen zu tun haben, deren Flächen wir einzeln bestimmen und dann aufsummieren. Die Fläche eines Trapezes, wie in der Grafik angegeben, ermittelt man als

.


Wir wollen die Fläche F3 des Trapezes zwischen den Abszissenwerten (x-Achse) 0,4 und 0,6 ermitteln. Man sieht, dass das Trapez im Vergleich zur obigen Grafik gekippt vorliegt. Die Höhe h ist also die Differenz

.

Wir fassen a als linke Senkrechte von F3 als a auf: Dann ist

.

Entsprechend beträgt die rechte Seite c

und wir erhalten als Fläche

.

Allgemein: Die obige Fläche ergibt sich dann als

Ginikoeffizient: Ermittlung einer Trapezfläche für i=3

Es folgt beispielhaft die Berechnung des Gini in der Tabelle. Mit Tabellenkalkulation kann der Ginikoeffizient leicht ermittelt werden. Wir erhalten schließlich für den Ginikoeffizienten


i

q*i

S*i

h*i
=Si-S*i-1

ai
=S*i-q*i

ci
=S*i-1-q*i-1

0,5 · (ai+ci)

0,5 · (ai+ci) · hi

--

0

0

-

-

-

-

-

1

0,025

0,2

0,2

0,175

0

0,0875

0,0175

2

0,1

0,4

0,2

0,3

0,175

0,2375

0,0475

3

0,225

0,6

0,2

0,375

0,3

0,3375

0,0675

4

0,475

0,8

0,2

0,325

0,375

0,35

0,07

5

1

1

0,2

0

0,325

0,1625

0,0325

Summe

 

 

 

 

 

 

0,235

Ginikoeffizient

Metrisches Merkmal mit wenig möglichen Ausprägungen

Beispiel

Das interessierende Merkmal ist die Zahl der Autos in einem Haushalt. Es wurden 50 Haushalte befragt.

Lorenzkurve für die Verteilung der PKWs auf Haushalte

j

xj

nj

Sj

Sj*

xjnj

qj

qj*

1

0

10

10

0,2

0

0

0,00

2

1

20

30

0,6

20

20

0,27

3

2

10

40

0,8

20

40

0,53

4

3

5

45

0,9

15

55

0,73

5

4

5

50

1

20

75

1

Summe

 

50

 

 

75

 

 




Lorenzkurve und der Ginikoeffizient berechnen sich im Prinzip wie oben, statt i wird hier der Index j verwendet. Der Merkmalsbetrag xi wird durch xj*nj ersetzt.

Klassiertes Merkmal

Hier wird die Klassenmitte x'j als Ersatz für den Merkmalswert xj verwendet.


Beispiel

Landwirtschaftliche
Nutzfläche

Zahl der Betriebe
(1000)

von ... bis ... unter

1980

2003

2 - 10

112

43

10 - 20

78

34

20 - 30

34

18

30 oder mehr

20

36


Lorenzkurve der Nutzfläche eines bayerischen Landwirtschaftsbetriebes im Jahr 1980
Lorenzkurve der Nutzfläche eines bayerischen Landwirtschaftsbetriebes im Jahr 2003

Klasse j
von ... bis unter ...

Klassen-
mitte
xj

nj

xj*nj

Sj

Sj*

qj

qj*

2 - 10

6

112

672

112

0,4590

672

0,1683

10 - 20

15

78

1170

190

0,7787

1842

0,4614

20 - 30

25

34

850

224

0,9180

2692

0,6743

30 - 100

65

20

1300

244

1,0000

3992

1,0000

Summe

 

244

3992

 

 

 

 

Wir erhalten als Ginikoeffizient für das Jahr 1980 den Wert 0,43 und für das Jahr 2003 den Wert 0,46.