Statistik: Lineare Funktionen der Normalverteilung
Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen
Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen Xi (i = 1, ... , n), mit Xi ∼ N(μi;σi2). Die Linearkombination (lineare Funktion)
ist ebenfalls normalverteilt (Reproduktivität der Normalverteilung), und zwar mit dem Erwartungswert
und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz
- .
Da die Varianz jedoch echt größer Null sein muss, muss zudem für mindestens ein gefordert werden.
Verteilung des Stichprobendurchschnitts
Sind speziell die n Zufallsvariablen Xi (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt mit gleichem μ und gleichem σ2, ist die Linearkombination X mit a0 = 0, a1 = a2 = ... = an = 1/n, also
normalverteilt dem Erwartungswert
und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz
- .
Beispiel
Die Firma Ziemlich&Unbekannt produziert die Güter Ix und Ypsi. Die monatliche Produktionsmenge schwankt zufällig, so dass für die produzierten Mengen die Zufallsvariablen definiert werden: X und Y [ME]. Man weiß:
- X ∼ N(20;5) und Y ∼ N(100;10).
Es wird vermutet, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.
Wir interessieren uns für die monatlichen Gesamtkosten K in Crœtos (C):
Die monatlichen Fixkosten betragen a = 10.000 C, die variablen Kosten für X: b = 500 C und für Y: c = 200 C.
Die monatlichen Gesamtkosten können also dargestellt werden als
- K = a + bX + cY = 10000 + 500X + 200Y.
Wie ist also K verteilt? Wegen der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung müsste K wieder normalverteilt sein. Seine Parameter sind
- EK = a + b EX + c EY = 10.000 + 500·20 + 200·100 = 40.000
und
- varK = b2varX + c2varY = 5002·5 + 2002·10 = 1.650.000.
Also ist K ∼ N(40.000; 1.650.000).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstehen der Firma Gesamtkosten von mindestens 42.000 C?
Es ergibt sich