Statistik: Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung

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χ2-Verteilung

Beispiel

Wir haben 3 normalverteilte, paarweise stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X1, X2 und X3 gegeben mit den Erwartungswerten μ1, μ2 μ3 und den Varianzen σ12, σ2232. Wir standardisieren diese Variablen und erhalten 3 standardnormalverteilte Zufallsvariablen Z1, Z2 und Z3,



Dichtefunktion der χ2-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden

Nun werden die standardnormalverteilten Zufallsvariablen quadriert und aufsummiert. Wir erhalten eine neue Zufallsvariable

Y ist χ2-verteilt mit 3 Freiheitsgraden.

Allgemein

Es gilt: Die Summe von m quadrierten, stochastisch unabhängigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist χ2-verteilt mit m Freiheitsgraden.

Man sieht anhand der Grafik, dass sich die Dichtefunktion mit wachsenden Freiheitsgraden einer symmetrischen Kurve nähert.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(Ya) = fY(a|n). Das p-Quantil ist χ2(p;n).

Die Verteilungsfunktion der χ2-Verteilung kann nicht analytisch ermittelt werden. Numerische Berechnungen können beispielsweise aus Tabellenwerken, etwa Tabelle der χ2-Verteilung ersehen werden. Da Y für jeden Freiheitsgrad eine eigene Verteilung besitzt, sind in kleineren Tabellen wie oben nur Quantile nach Freiheitsgraden und ausgewählten Wahrscheinlichkeiten aufgeführt. Es ist z. B. das 95%-Quantil (Spalte) der χ2-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden (Zeile)

fY(0,95;3) = 7,81. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit P(y ≤ 7,81) = 0,95.

Gilt n > 30, ist

näherungsweise standardnormalverteilt.

Nähere Erläuterungen zur χ2-Verteilung, beispielsweise ihre Dichtefunktion, findet man bei Wikipedia. Da die Dichtefunktion jedoch nicht für die Berechnung der Verteilungswerte unmittelbar verwendet werden kann, wird sie hier nicht angeführt.


Beispiele:

Sei Y χ2-verteilt mit 10 Freiheitsgraden. Es ist

  • 10%-Quantil von Y :
  • 95%-Quantil von Y :


Sei Y χ2-verteilt mit 61 Freiheitsgraden. Gesucht ist . Hier ist die Zahl der Freiheitsgrade k > 30. Es wird eine neue Zufallsvariable gebildet. X ist näherungsweise normalverteilt wie . entspricht also

Es ist

Bemerkung

Die χ2-Verteilung ist reproduktiv, d. h. die Summe von zwei stochastisch unabhängigen χ2-verteilten Zufallsvariablen mit m und n Freiheitsgraden ist wieder χ2-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.

Die χ2-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung.


Übung

  1. Die Zufallsvariable X ist χ2-verteilt mit 12 Freiheitsgraden.
    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 6,30 ist.
    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 18,55 beträgt.
    3. Bestimmen Sie das 5%-Quantil der Verteilung.
  2. Die Zufallsvariable Y ist χ2-verteilt mit 40 Freiheitsgraden.
    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y kleiner als 40 ist.
    2. Bestimmen Sie das 95%-Quantil der Verteilung.
  3. Es sei U=X+Y.
    1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von U.
    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U kleiner als 40 ist.


F-Verteilung

Dichtefunktion der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden

Beispiel

Wir haben die drei standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben und vier weitere Z4, Z5, Z6 und Z7 gegeben. Alle Variablen sind wieder stochastisch unabhängig. Der Quotient

ist dann F-verteilt mit 3 und 4 Freiheitsgraden.


Allgemein

Der Quotient aus zwei χ2-verteilten Zufallsvariablen, jeweils geteilt durch ihre Freiheitsgrade, wobei die Zufallsvariable im Zähler m und die im Nenner n Freiheitsgrade hat, ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden. Einzelheiten dazu gibt es auch in der Wikipedia. Man schreibt

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(Fa) = fF(a|m;n). Das p-Quantil ist F(p;m;n).

Auch die F-Verteilung liegt tabelliert vor und ist meistens nach ausgewählten Freiheitsgraden und Quantilen tabelliert. Eine nützliche Beziehung ist dabei

Die F-verteilung ist ebenfalls eine Stichprobenverteilung. Sie ist aber nicht reproduktiv.

t-Verteilung

Beispiel

Gegeben sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben.

Der Quotient

ist t-verteilt mit 4 Freiheitsgraden.

Allgemein

Der Quotient aus einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen und der Wurzel einer χ2-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden, geteilt durch ihre Freiheitsgrade, ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(ta) = ft(a|n). Das p-Quantil ist t(p;n).

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist, ähnlich wie die der Standardnormalverteilung, symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes 0. Es gilt daher für die Berechnung der Verteilungswerte:

mit

aR.

Auch die t-Verteilung ist meistens nach Freiheitsgraden und ausgewählten Quantilen tabelliert: t-Verteilung

Für n > 30 kann man die Wahrscheinlichkeiten der t-Verteilung approximativ mit der Normalverteilung berechnen:

Bemerkungen:

  • Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen ist F-verteilt.
  • Die t-Verteilung ist eine Stichprobenverteilung
  • Weitere Eigenschaften können in der Wikipedia nachgelesen werden.


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