Varianten der klassischen Mechanik/ D'Alembert'sches Prinzip der virtuellen Arbeit

In den beiden vorangegangenen Kapiteln haben wir gesehen, dass sowohl Erhaltungssätze als auch Koordinatentransformationen die Lösungssuche bei Bewegungsgleichungen erleichtern können. Wenn wir also weiterhin z.B. vom sehr praktischen Energieansatz ausgehen wollen, um Bewegungsgleichungen herzuleiten, müssen wir uns jedoch im allgemeinen Fall, in dem nicht alle äußeren Kräfte Potentialkräfte sind, mit Folgendem begnügen:

${\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{2m}}={\dot {p}}{\dot {x}}={\dot {x}}F$.

Multipliziert man dies mit dt und führt die sog. "totale Ableitung" $dx={\dot {x}}dt$ ein, so wird daraus:

${\dot {p}}dx=F\,dx$.

Evtl. können aber die Bewegungsgleichungen durch eine geschickte Wahl des Koordinatensystems einfacher gelöst werden. Hierzu ist also eine Transformation notwendig, die die alten Koordinaten x auf die neuen Koordinaten q abbildet (und umgekehrt):

$x=x\left(q,t\right)\Longleftrightarrow q=q\left(x,t\right)$.

Das totale Differential dx nähme dann folgende Form an:

$dx\left(q,t\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q}}\,dq+{\dfrac {\partial x}{\partial t}}\,dt$.

Wir können letztere Gleichung auch dazu verwenden, um zu erfahren, wie sich die Koordinate x unter einer kleinen Veränderung der neuen Koordinate q (nämlich unter dq) und der Zeit t (nämlich unter dt) verhält: sie ändert sich dann ihrerseits um dx. Interessieren wir uns hingegen nicht für eine Veränderung von x unter einer Variation der Zeit, dann müssen wir dt gleich Null setzen. Aus der betrachteten Gleichung wird dann eine, die die Variation $\delta q$ der neuen Koordinate q mit jener der alten (nämlich $\delta x$) verknüpft:

$\delta x={\dfrac {\delta x}{\delta q}}\,dq$.

Die Variation der Zeit ist also hingegen gleich Null: $\delta t=0$. $\delta x$ wird auch "virtuelle Verschiebung" genannt, die auf folgende Gleichung für die sog. "virtuelle Arbeit" führt:

${\dot {p}}\,\delta x=F\,\delta x\Longleftrightarrow \left({\dot {p}}-F\right)\,\delta x=0$.

Der Name ergibt sich, weil beide Seiten der ersten Gleichung die Dimension einer Energie bzw. Arbeit besitzen und darin die virtuelle Verschiebung $\delta x$ erscheint. Das hier zitierte "d'Alembert'sche Prinzip der virtuellen Arbeit" erscheint zunächst eher trivial, da uns bereits nach Newton bekannt war, dass ${\dot {p}}=F$ gilt. Der Charme dieses Prinzips wird erst so richtig in mehreren Dimensionen deutlich (was in späteren Kapiteln aber noch gezeigt werden muss). Doch bereits im nächsten Kapitel wird es uns, wie hier bereits angedeutet, bei Koordinatentransformationen sehr gute Dienste leisten.