Varianten der klassischen Mechanik

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Nuvola apps bookcase 1.svg Band 15 des Werkes Einführung in die Theoretische Physik – Ein Lehrbuch in mehreren Bänden

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Varianten der klassischen Mechanik


Vorangegangene Kapitel haben bereits gezeigt, dass in der klassischen Mechanik (d.h. wenn noch nicht die Notwendigkeit besteht, relativistische oder quantenmechanische Systeme zu betrachten) Newtons Axiome völlig genügen, um Bewegungen von Körpern zu beschreiben. Dennoch zeigt ein Blick in Lehrbücher der theoretischen Mechanik, dass es neben Newtons Mechanik noch andere Varianten geben muss:

  • Das d'Alembert'sche Prinzip,
  • die Lagrange'sche Mechanik,
  • die Hamilton'sche Mechanik und
  • die Hamilton-Jacobi-Theorie.

In den folgenden Kapiteln möchten wir daher diskutieren, was es mit diesen Prinzipien, Mechaniken und Theorien auf sich hat. Und genau an dieser Stelle geraten wir in einen Zwiespalt: Denn einerseits muss erklärt werden, was darunter verstanden wird und andererseits, wozu sie dienen, d.h. warum man diese Anstrengung überhaupt unternimmt. Damit insbesondere in einem einführenden Werk das Verständnis dieser Konzepte nicht durch zu komplizierte mathematischen Formalismen verhindert wird, beschränken wir uns zunächst auf einen einzelnen punktförmigen "Körper" (den wir meist auch "Teilchen" nennen werden), der sich in einem (quasi) eindimensionalen Raum bewegt. Als durchgängiges Beispiel verwenden wir den sog. eindimensionalen "Oszillator", den man sich z.B. als Federpendel realisiert denken kann. Die hieraus gewonnenen Erkenntnisse übertragen wir dann auf eindimensionale Vielteilchensysteme. Durch das Beschränken auf eine Dimension umgehen wir an vielen Stellen die Schwierigkeit, an die betrachteten mechanischen Systeme stellbare Zwangsbedingungen berücksichtigen zu müssen. Dies holen wir aber in einem eigenen Kapitel nach, da die Vorzüge jener Mechanik-Varianten z.T. erst bei Systemen in mehreren Raumdimensionen deutlich werden, wenn Zwangsbedingungen vorhanden sind.

Die Bedeutung dieser theoretischen Konzepte ragt übrigens bis in die moderne Physik hinein: In den sog. quantenfeldtheoretischen Beschreibungen z.B. der Festkörper- oder der Elementarteilchenphysik wird hierauf gerne zurückgegriffen.

Der eindimensionale harmonische Oszillator in der Newton'schen Mechanik[Bearbeiten]

Koordinatentransformationen[Bearbeiten]

D'Alembert'sches Prinzip der virtuellen Arbeit[Bearbeiten]

Lagrange'sche Mechanik[Bearbeiten]

Hamilton'sche Bewegungsgleichungen[Bearbeiten]

Hamilton-Jacobi-Theorie[Bearbeiten]

Erweiterung auf Vielteilchensysteme[Bearbeiten]

Erweiterung auf mehrdimensionale Systeme[Bearbeiten]

Extremalprinzip für die Hamiltonfunktion; kanonische Transformationen[Bearbeiten]

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

Bisher wurden nur die einfachsten Beispiele besprochen: harmonische und anharmonische Oszillatoren, Rutschbewegungen entlang schiefer Ebenen und eine von vielen denkbare Realisierung eines physikalischen Pendels. Es gibt viele »Klassiker«, d.h. Beispiele, die sehr häufig in der Literatur beschrieben werden, z.B. weitere Pendeltypen (mathematische, Doppel-, sphärische, Foucault'sche Pendel, ...), hiermit verwandt: Rutsch- und Rollbewegungen entlang unterschiedlichster Bahntypen (beispielsweise entlang einer Zykloide), Gyroskope (freie Kreisel; symmetrische und asymmetrische Kreisel im Schwerefeld der Erde; ...), schwingende Saiten/ Wellenbewegungen (und in diesem Kontext der Zusammenhang zwischen Hamilton-Jacobi'scher Mechanik, der Quantenmechanik und der Eikonal-Näherung aus der Optik), Newtons Gravitationsgesetz usw. Der Wunschzettel ist an dieser Stelle beliebig lang. Beispiele, die bereits in den Kapiteln über die Newton'sche Mechanik diskutiert wurden, können hier mittels der übrigen Mechanik-Varianten nochmals betrachtet werden.

Ein echter Klassiker, an den man in Sachen »Mechanik« zunächst überhaupt nicht denken mag, stammte aus dem Gebiet des Elektromagnetismus: Die Lorentzkraft.

Lorentzkraft[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. F. Scheck, Theoretische Physik 1: Mechanik. Von den Newton'schen Gesetzen zum deterministischen Chaos (Springer, 2007).
  2. A. Sommerfeld, Band 1: Mechanik. (Harri Deutsch, 1977).
  3. M.R. Spiegel, Allgemeine Mechanik, Schaum's Outline (McGraw-Hill, 1985).
  4. M.R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Schaum's Outline (McGraw-Hill, 1983).
  5. A. Lindner, Grundkurs Theoretische Physik (Teubner, 1997).