Varianten der klassischen Mechanik/ Erweiterung auf mehrdimensionale Systeme

Die Erkenntnisse bei der Verallgemeinerung auf eindimensionale Vielteilchensysteme können wir beinahe unmittelbar auf mehrdimensionale Systeme übertragen. Beim d'Alembert'schen Prinzip der virtuellen Arbeit finden wir z.B.

${\underset {i=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\,\delta x_{i}=0$.

wieder. Hier bezeichne D die Anzahl der Komponenten, die Orts-, Geschwindigkeits- oder Kraftvektoren besitzen mögen (in der dreidimensionlen Welt der Mechanik ist in der Regel D=3). Jede dieser Komponenten trägt im Allg. zur gesamten virtuellen Arbeit bei. Betrachten wir z.B. dreidimensionale Vielteilchensysteme, dann haben wir bei N Teilchen $D\cdot N=3N$ Beiträge zur virtuellen Arbeit. D.h. auch hier werden die Beiträge zur gesamten virtuellen Arbeit einfach addiert. Bei der Einführung verallgemeinerter Koordinaten, $x_{i}=x_{i}\left(q_{1},...,q_{M},t\right)\,\left(i=1,...,D\cdot N\right)$, ist es möglich, dass deren Anzahl M kleiner ist als $D\cdot N$: $M\leq D\cdot N$. Denn evtl. gibt es $\nu$ sog. »Nebenbedingungen«, die die Anzahl der sog. »Freiheitsgrade« auf $f=D\cdot N-\nu$ reduzieren. Beim quasi-zweidimensionalen Problem eines Körpers, der eine schiefe Ebene herunter rutscht (d.h. D=2 und N=1), benötigt man zwei Komponenten zur Beschreibung der vektoriellen Größen wie z.B. der Kräfte, d.h. $D\cdot N=2$. Der Körper kann sich jedoch nur entlang der schiefen Ebene bewegen (was die Nebenbedingung darstellt), also entlang einer Dimension, d.h. es gibt nur einen Freiheitsgrad: f=1. Die Anzahl der Nebenbedingungen $D\cdot N-f$ beträgt also gleichermaßen Eins. Die Anzahl M der gewählten verallgemeinerten Koordinaten kann aber immer noch größer sein als die wirkliche Anzahl f der Freiheitsgrade des betrachteten Systems: $M\geq f$, wie z.B. $M=D\cdot N$, im betrachteten Beispiel also 2. Bei M>f, d.h. wenn wir mehr (nämlich M) Komponenten der virtuelle Verrückung $\delta q_{i}$ als Systemfreiheitsgrade f haben, hat dies zur Folge, dass wir in

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}\left[{\underset {j=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)\right]\delta q_{i}$.

nicht mehr darauf schließen können, dass die Koeffizienten der virtuellen Verrückungen $\delta q_{i}$ alle einzeln verschwinden. Die virtuellen Verrückungen sind dann nämlich nicht mehr alle voneinander linear unabhängig. In der Regel können aber z.B. mit Hilfe der Methode der sog. »Lagrange'schen Multiplikatoren« auch diese Schwierigkeiten überwunden, d.h. die Nebenbedingungen berücksichtigt werden. Bei M=f, also einer optimalen Koordinatenwahl (was aber evtl. nicht immer gelingen wird), treten diese Probleme hingegen nicht auf, d.h. wir können dann ganz analog zum Kapitel über die (eindimensionalen) Vielteilchensystemen vorgehen.

D'Alembert'sches Prinzip, Nebenbedingungen und Zwangskräfte

Bleiben wir bei einem Körper, der im Schwerefeld der Erde reibungslos eine schiefen Ebene herab gleitet. Der Versuchsaufbau ist in der Fig. 1 skizziert.

Fig. 1: Körper, der sich im Gravitationsfeld entlang einer schiefen Ebene bewegt.

Die Bewegung vollziehe sich dabei in der xy-Ebene, wobei $x_{1}=x$ und $x_{2}=y$ seien. Das kartesiche Koordinatensystem werde durch die Einheitsvektoren ${\hat {e}}_{1}={\hat {e}}_{x}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)$ und ${\hat {e}}_{2}={\hat {e}}_{y}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$ aufgespannt, d.h. ${\hat {e}}_{i}^{2}=1,\,i=1,2$ und ${\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2}=0$. Man erkennt in der Fig. 1 sofort, dass die Bewegung am einfachsten in einem Koordinatensystem beschrieben werden kann, dessen 1-Achse entlang der schiefen Ebene (in der xy-Ebene) verläuft. Ein solches Koordinatensystem geht aus dem ursprünglichen durch eine Drehung um den Winkel $\varphi$ hervor und ist gleichermaßen kartesisch. Es werde von den Einheitsvektoren ${\hat {e}}_{q_{1}}$ und ${\hat {e}}_{q_{2}}$ aufgespannt: ${\hat {e}}_{q_{i}}^{2}=1,\,i=1,2$ und ${\hat {e}}_{q_{1}}\cdot {\hat {e}}_{q_{2}}=0$. Bei Drehungen ist der Zusammenhang zwischen den Basisvektoren ${\hat {e}}_{q_{1}}$, ${\hat {e}}_{q_{2}}$ und ${\hat {e}}_{1}$, ${\hat {e}}_{2}$ der folgende:

${\hat {e}}_{q_{1}}=\left({\hat {e}}_{q_{1}}\cdot {\hat {e}}_{1}\right){\hat {e}}_{1}+\left({\hat {e}}_{q_{1}}\cdot {\hat {e}}_{2}\right){\hat {e}}_{2}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left({\hat {e}}_{q_{1}}\cdot {\hat {e}}_{i}\right){\hat {e}}_{i}=\cos \varphi {\hat {e}}_{1}+\sin \varphi {\hat {e}}_{2}$, ${\hat {e}}_{q_{2}}=\left({\hat {e}}_{q_{2}}\cdot {\hat {e}}_{1}\right){\hat {e}}_{1}+\left({\hat {e}}_{q_{2}}\cdot {\hat {e}}_{2}\right){\hat {e}}_{2}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left({\hat {e}}_{q_{2}}\cdot {\hat {e}}_{i}\right){\hat {e}}_{i}=-\sin \varphi {\hat {e}}_{1}+\cos \varphi {\hat {e}}_{2}$,

was man wegen der Skalarprodukt-Eigenschaft ${\hat {e}}_{q_{i}}\cdot {\hat {e}}_{j}=\cos \left({\hat {e}}_{q_{i}},{\hat {e}}_{j}\right)$ für Einheitsvektoren durch Ablesen der Winkel $\left({\hat {e}}_{q_{i}},{\hat {e}}_{j}\right)$ zwischen den jeweiligen Vektoren ${\hat {e}}_{q_{i}}$ und ${\hat {e}}_{j}$ aus der Fig. 1 (und z.B. durch Anwenden der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus) erhält. Wenn ein Punkt $\left(x_{1},\,x_{2}\right)$ im Koordinatensystem der ${\hat {e}}_{i}$ durch einen Punkt $\left(q_{1},\,q_{2}\right)$ im Koordinatensystem der ${\hat {e}}_{q_{i}}$ beschrieben werde, dann gilt also folgender Zusammenhang zwischen den beiden Koordinaten-Paaren bzw. den zugehörigen Ortsvektoren ${\vec {x}}$ und ${\vec {q}}$:

${\vec {q}}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}q_{i}{\hat {e}}_{q_{i}}=\left(q_{1}\cos \varphi -q_{2}\sin \varphi \right){\hat {e}}_{1}+\left(q_{1}\sin \varphi +q_{2}\cos \varphi \right){\hat {e}}_{2}=$ $\left({\begin{array}{c}q_{1}\cos \varphi -q_{2}\sin \varphi \\q_{1}\sin \varphi +q_{2}\cos \varphi \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}q_{1}\\q_{2}\end{array}}\right)$,

wobei dieser Vektor gleich

${\vec {x}}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}x_{i}{\hat {e}}_{i}=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)$,

sein muss, da beide Ortsvektoren ja denselben Punkt beschreiben (s. Fig. 1), d.h. es gilt

$\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)={\underline {D}}\left(\varphi \right)\left({\begin{array}{c}q_{1}\\q_{2}\end{array}}\right)$

mit der Matrix ${\underline {D}}\left(\varphi \right)=\left({\begin{array}{cc}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{array}}\right)$ für eine Drehung um die z- bzw. 3-Achse ${\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{z}$ (die auf der xy-Ebene senkrecht stehe; der Vektor zeige in Fig. 1 dabei in Richtung des Betrachters) mit dem Winkel $\varphi$ (im Gegenuhrzeigersinn). Die Koordinaten von ${\vec {q}}$ lassen sich auch umgekehrt durch jene von ${\vec {x}}$ ausdrücken:

$\left({\begin{array}{c}q_{1}\\q_{2}\end{array}}\right)={\underline {D}}^{-1}\left(\varphi \right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\;x_{1}\cos \varphi +x_{2}\sin \varphi \\-x_{1}\sin \varphi +x_{2}\cos \varphi \end{array}}\right)$,

wobei das Inverse ${\underline {D}}^{-1}\left(\varphi \right)$ von ${\underline {D}}\left(\varphi \right)$ aus letzterer Matrix durch Vorzeichenumkehr beim Drehwinkel hervorgeht, da ja einfach nur um den gleichen Winkel »zurückgedreht« werden muss (sodass also diesmal die Drehung im Uhrzeigersinn, d.h. mit $-\varphi$ erfolgt): ${\underline {D}}^{-1}\left(\varphi \right)={\underline {D}}\left(-\varphi \right)$. Man überzeuge sich leicht, dass dann tatsächlich ${\underline {D}}^{-1}\left(\varphi \right){\underline {D}}\left(\varphi \right)={\underline {D}}\left(\varphi \right){\underline {D}}^{-1}\left(\varphi \right)={\underline {1}}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)$ gilt.

Ob wir jetzt das D'Alembert'sche Prinzip mit Hilfe der alten Koordinaten ${\vec {x}}$ oder der neuen Koordinaten ${\vec {q}}$ beschreiben, darf aber am Resultat dieser Betrachtungen, d.h. den Bewegungsgleichungen für den Körper auf der schiefen Ebene, nichts ändern. Das eine Koordinatensystem (nämlich jenes von ${\vec {q}}$) ist aber der Problemstellung angepasster als das andere. Die Nebenbedingung für die Bewegung entlang der schiefen Ebene lässt sich nämlich im System von ${\vec {q}}$ leicht beschreiben: $q_{2}=0$ , während im System von ${\vec {x}}$ die gleiche Bedingung folgendermaßen lautet: $0=q_{2}=-x_{1}\sin \varphi +x_{2}\cos \varphi$. Die Zeitableitung des Impulses kann in beiden Koordinatensystemen dargestellt werden:

${\dot {\vec {p}}}=m{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}{\ddot {x}}_{i}{\hat {e}}_{i}=m{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}{\ddot {q}}_{i}{\hat {e}}_{q_{i}}$.

Weil die Basisvektoren ${\hat {e}}_{q_{i}}$ wie die Vektoren ${\hat {e}}_{i}$ zeitlich konstant sind (denn der Winkel $\varphi$, der die Schräge der schiefen Ebene angibt, verändert sich ja nicht mit der Zeit), haben wir keine zusätzlichen Terme durch Differenziation der Basisvektoren nach der Zeit erhalten.

Auf die Masse m wirke eine Gravitationskraft ${\vec {F}}_{G}=-mg{\hat {e}}_{2}$ mit der konstanten Beschleunigung g anti-parallel zur 2-Achse, d.h. Letzterer entgegen gerichtet.

Das D'Alembert'sche Prinzip ergibt im System der neuen Koordinaten ${\vec {q}}$ unter der Nebenbedingung $q_{2}=0$ und somit auch $\delta q_{2}=0$ bzw. $\delta {\vec {q}}=\delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}$ (statt $\delta {\vec {q}}=\delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+\delta q_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}$) folgende Gleichung:

$0=\left({\dot {\vec {p}}}-{\vec {F}}_{G}\right)\cdot \delta {\vec {q}}=\left(m{\ddot {q}}_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+m{\ddot {q}}_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}+mg{\hat {e}}_{2}\right)\cdot \delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}=\left(m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi \right)\delta q_{1}$.

Unter der sinnvollen Forderung, dass $\delta q_{1}$ im Allg. nicht gleich Null ist, schließen wir hieraus:

$0=m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi$.

Die Bewegungsgleichung sieht übrigens auf dem ersten Blick so aus, als hätten wir darin einen Vorzeichenfehler: Man beachte aber, dass im Gegensatz zu der in der übrigen Literatur oft gewählten Koordinate unsere q₁-Achse die schiefe Ebene hinauf, d.h. sozusagen entgegen der Fahrtrichtung, zeigt.

Das D'Alembert'sche Prinzip, formuliert im System der alten Koordinaten ${\vec {x}}$, führt unter der Nebenbedingung $0=-\delta x_{1}\sin \varphi +\delta x_{2}\cos \varphi$ auf:

$0=\left({\dot {\vec {p}}}-{\vec {F}}_{G}\right)\cdot \delta {\vec {x}}=m{\ddot {x}}_{1}\delta x_{1}+\left(m{\ddot {x}}_{2}+mg\right)\delta x_{2}=\left[m{\ddot {x}}_{1}+\left(m{\ddot {x}}_{2}+mg\right){\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]\delta x_{1}$,

woraus wir

$0=m{\ddot {x}}_{1}\cos \varphi +\left(m{\ddot {x}}_{2}+mg\right)\sin \varphi =m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi$

erhalten, wobei wir darin $q_{1}=x_{1}\cos \varphi +x_{2}\sin \varphi$ ausgenutzt haben.

Als Alternative hierzu hätten wir auch die Nebenbedingung mit Hilfe sog. »Lagrange'scher Multiplikatoren« berücksichtigen können. Hierzu wird jede Nebenbedingung mit einem beliebigen Multiplikator versehen und von der D'Alembert'schen Gleichung abgezogen. In diesem Falle heiße dieser $\lambda$:

$0=\left({\dot {\vec {p}}}-{\vec {F}}_{G}\right)\cdot \delta {\vec {q}}-\lambda \delta q_{2}=\left(m{\ddot {q}}_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+m{\ddot {q}}_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}+mg{\hat {e}}_{2}\right)\cdot \left(\delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+\delta q_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}\right)-\lambda \delta q_{2}$. $=\left(m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi \right)\delta q_{1}+\left(m{\ddot {q}}_{2}+mg\,\cos \varphi -\lambda \right)\delta q_{2}$.

An der Gültigkeit dieser Gleichung ändert der zusätzliche Summand nichts, da er ja gleich Null ist. Weil $\lambda$ zunächst als beliebig angenommen wurde, können wir ihn auch so wählen, dass der Koeffizient von $\delta q_{2}$ verschwindet. Somit muss auch der Summand mit $\delta q_{1}$ gleich Null sein. Zudem wissen wir ja bereits, dass aufgrund der Nebenbedingung zwar $\delta q_{2}$ verschwindet, aber auch, dass dies im Allg. für $\delta q_{1}$ nicht gilt. Daher muss der Koeffizient von $\delta q_{1}$ gleich Null sein: $0=m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi$. Nicht immer sind die Verhältnisse so einfach wie hier: Der frei wählbare Parameter $\lambda$ trat nur in einem der beiden Summanden der Gleichung auf, was die Schlussfolgerung enorm erleichtert hat. Aber selbst dann, wenn dies nicht der Fall gewesen wäre, hätten wir durch das Einführen des zusätzlichen Parameters $\lambda$ sowieso davon ausgehen dürfen, dass aus $0=\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)\,\delta q_{1}+\left(a_{2}-\lambda A_{2}\right)\,\delta q_{2}$ $a_{1}-\lambda =a_{2}-\lambda =0$ folgt, wenn allgemein formuliert $0=a_{1}\,\delta q_{1}+a_{2}\,\delta q_{2}$ die D'Alembert'sche Gleichung und $0=A_{1}\,\delta q_{1}+A_{2}\,\delta q_{2}$ die Nebenbedingung darstellen. Denn wir können die letzteren beiden Gleichungen als ein lineares Gleichungssystem in Matrixform darstellen:

$0={\underline {A}}\cdot \delta {\vec {x}}=\left({\begin{array}{cc}a_{1}&a_{2}\\A_{1}&A_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\delta q_{1}\\\delta q_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\A_{1}\end{array}}\right)\delta q_{1}+\left({\begin{array}{c}a_{2}\\A_{2}\end{array}}\right)\delta q_{2}={\vec {A}}_{1}\delta q_{1}+{\vec {A}}_{2}\delta q_{2}$.

Es gilt, dass der Vektor $\delta {\tilde {\vec {q}}}=\left(\delta q_{1},\delta q_{2}\right)^{T}\neq {\vec {0}}$ ist (d.h. dass wenigstens eine seiner beiden Komponenten nicht verschwindet, was ja eine sinnvolle und notwendige Voraussetzung ist, damit wir überhaupt so etwas wie eine Nebenbedingung haben), wenn die Spaltenvektoren ${\vec {A}}_{1}$ und ${\vec {A}}_{2}$ der Matrix ${\underline {A}}$ linear abhängig sind. Die Determinante der Matrix ${\underline {A}}$ muss dann aber verschwinden: $det\left({\underline {A}}\right)=0$. Bei Determinanten sind zudem einige Operationen möglich, ohne ihren Wert zu verändern, z.B. gilt $det\left({\underline {A}}\right)=det\left({\underline {A}}^{T}\right)$, wobei ${\underline {A}}^{T}$ die Transposition von ${\underline {A}}$ ist, d.h. in ihr alle Zeilen und Spalten vertauscht sind. Wir können auch einer Spalte das Vielfache, z.B. $-\lambda$-fache, einer weiteren Spalte in der Determinate hinzu addieren, ohne den Wert der ursprünglichen Determinante zu verändern. Dies haben wir genau in dieser Reihenfolge an unserer Determinante $det\left({\underline {A}}\right)$ so durchgeführt:

$0=det\left({\underline {A}}\right)=\left|{\begin{array}{cc}a_{1}&a_{2}\\A_{1}&A_{2}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}a_{1}&A_{1}\\a_{2}&A_{2}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)&A_{1}\\\left(a_{2}-\lambda A_{2}\right)&A_{2}\end{array}}\right|=a_{1}A_{2}-a_{2}A_{1}$.

Der Parameter $\lambda$ ist aber eine beliebige Zahl, die wir auch so wählen können, dass z.B. $a_{2}-\lambda A_{2}=0$ gilt (zumindest, wenn bei $a_{2}\neq 0$ auch $A_{2}\neq 0$ ist). Aus

$0=det\left({\underline {A}}\right)=\left|{\begin{array}{cc}a_{1}-\lambda A_{1}&A_{1}\\0&A_{2}\end{array}}\right|=A_{2}\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)$

folgt somit $a_{1}-\lambda A_{1}=0$ (da wir ja zuvor $A_{2}\neq 0$ vorausgesetzt haben).

Wir hätten also auch folgendermaßen argumentieren können: Mit der Forderung $a_{2}-\lambda A_{2}=0$ (da ja $\lambda$ frei wählbar ist, d.h. eine beliebige Zahl sein darf) können wir in $0=\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)\,\delta q_{1}+\left(a_{2}-\lambda A_{2}\right)\,\delta q_{2}$ direkt auf $0=\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)\,\delta q_{1}$ schließen. Da $\delta {\tilde {\vec {q}}}=\left(\delta q_{1},\delta q_{2}\right)^{T}\neq {\vec {0}}$ sein soll, muss mindestens eine seiner Komponente ungleich Null sein, z.B. $\delta x_{1}\neq 0$. Wegen $\delta x_{1}\neq 0$ können wir somit $a_{1}-\lambda A_{1}=0$ folgern. Wenn hingegen $\delta x_{1}=0$ gewesen wäre, dann hätten wir lieber $0=\left(a_{1}-\lambda A_{1}\right)$ gefordert. Da bei $\delta x_{1}=0$ nach Voraussetzung aber $\delta x_{2}\neq 0$ gelten muss, können wir aus $0=\left(a_{2}-\lambda A_{2}\right)\,\delta q_{2}$ auf $0=\left(a_{2}-\lambda A_{2}\right)$ schließen. D.h. durch eine entsprechende Umnumerierung $1\rightarrow 2$ bzw. $2\rightarrow 1$ der Indizes $i=1,2$ von $a_{i},\,A_{i},\,\delta q_{i}$ hätten wir auch bei der ersten Variante unserer Forderung verbleiben können.

Das D'Alembert'sche Prinzip, formuliert im System der alten Koordinaten ${\vec {x}}$, führt auf genau diese Situation:

$0=\left({\dot {\vec {p}}}-{\vec {F}}_{G}\right)\cdot \delta {\vec {x}}-\lambda \left(-\delta x_{1}\sin \varphi +\delta x_{2}\cos \varphi \right)=\left(m{\ddot {x}}_{1}+\lambda \sin \varphi \right)\delta x_{1}+\left(m{\ddot {x}}_{2}+mg-\lambda \cos \varphi \right)\delta x_{2}$.

Hier dürfen wir also dennoch getrost fordern:

$0=m{\ddot {x}}_{1}+\lambda \sin \varphi$, $0=m{\ddot {x}}_{2}+mg-\lambda \cos \varphi$.

Multiplizieren wir die erstere Gleichung mit $\cos \varphi$ und die Letztere mit $\sin \varphi$ und addieren anschließend beide Gleichungen, dann erhalten wir erneut $0=m{\ddot {x}}_{1}\cos \varphi +\left(m{\ddot {x}}_{2}+mg\right)\sin \varphi =m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi$.

Wir können das D'Alembert'sche Prinzip statt mit der geometrisch motivierten Nebenbedingung $\delta q_{2}=0$ natürlich auch mit Hilfe der Zwangskraft $-{\vec {F}}_{N}=mg\,\cos \varphi {\hat {e}}_{q_{2}}$ formulieren, die senkrecht auf der schiefen Ebene (und somit parallel zu ${\hat {e}}_{q_{2}}$) steht und verhindert, dass der betrachtete Körper durch Letztere einfach hindurch fällt:

$0=\left({\dot {\vec {p}}}-\left({\vec {F}}_{G}-{\vec {F}}_{N}\right)\right)\cdot \delta {\vec {q}}=\left(m{\ddot {q}}_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+m{\ddot {q}}_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}+mg{\hat {e}}_{2}-mg\,\cos \varphi {\hat {e}}_{q_{2}}\right)\cdot \left(\delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+\delta q_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}\right)$.

Wegen $mg{\hat {e}}_{2}\cdot \left(\delta q_{1}{\hat {e}}_{q_{1}}+\delta q_{2}{\hat {e}}_{q_{2}}\right)=mg\,\sin \varphi \delta q_{1}+mg\,\cos \varphi \delta q_{2}$ erhalten wir daraus

$0=m{\ddot {q}}_{1}+mg\,\sin \varphi$ und $0=m{\ddot {q}}_{2}$.

Kehren wir noch einmal zurück zu den Bewegungsgleichungen mit den Lagrange'schen Multiplikatoren, formuliert im System von ${\vec {x}}$. Multiplizieren wir $0=m{\ddot {x}}_{1}+\lambda \sin \varphi$ dieses Mal mit $-\sin \varphi$ und $0=m{\ddot {x}}_{2}+mg-\lambda \cos \varphi$ mit $\cos \varphi$ und addieren anschließend jene beiden Gleichungen, dann erhalten wir durch Berücksichtigen von $0=q_{2}=-x_{1}\sin \varphi +x_{2}\cos \varphi$ eine Aussage darüber, was der Langrange-Multiplikator $\lambda$ ist: $\lambda =mg\,\cos \varphi$. Diesen Wert für $\lambda$ in die Gleichung $0=m{\ddot {q}}_{2}+mg\,\cos \varphi -\lambda$ eingesetzt, ergibt natürlich wieder $0=m{\ddot {q}}_{2}$ (was wir wegen $0=q_{2}$ natürlich auch sofort erraten hätten). Wir erkennen aber auch an den letzten beiden Gleichungen, dass $\lambda {\hat {e}}_{q_{2}}=mg\,\cos \varphi {\hat {e}}_{q_{2}}=-{\vec {F}}_{N}$ gleich der Zwangskraft ist. D.h. die Formulierung des D'Alembert'schen Prinzips mit Hilfe von Zwangskräften oder Lagrange'schen Multiplikatoren ist völlig gleichwertig. Es ist oft jedoch einfacher, aus der Geometrie des Versuchsaufbaus Nebenbedingungen (wie in diesem Beispiel $0=q_{2}$) abzulesen als die auftretenden Zwangskräfte zu bestimmen.

Ein Beispiel, in dem mehr als nur eine Nebenbedingung berücksichtigt werden muss, stellt z.B. das sog. physikalische Pendel dar, das aus zwei nicht notwendigerweise gleichen Massen ${\displaystyle }$ bestehen soll, die an den Enden einer starren (und als masselos gedachten) Stange in der xy-Ebene befestigt sind. Dieses System kann sich nur in der xy-Ebene um eine Achse senkrecht zu dieser Ebene drehen (d.h. die Drehachse ist parallel zur z-Achse). Die Achse verlaufe dabei durch einen Punkt auf der Stange, dem Ursprung des gewählten Koordinatensystems, der im Allg. nicht der Schwerpunkt des Systems sei: Siehe folgende Fig. 2. Auf jede Masse $m_{i}$ wirke eine Gravitationskraft entlang der y-Achse:

${\vec {F}}_{G,i}=-m_{i}g{\hat {e}}_{y}$

mit i=1,2.

Fig. 2: Physikalisches Pendel aus zwei Massen bestehend.

Die Masse $m_{1}$ am Ort ${\vec {x}}_{1}$ befinde sich also immer im festen Abstand vom Koordinatenursprung:

${\vec {x}}_{1}^{2}=const.\,\Longrightarrow 0={\vec {x}}_{1}\cdot \delta {\vec {x}}_{1}$.

Letztere Gleichung lässt sich durch eine infinitesimale Drehung um den Winkel $\delta {\vec {\varphi }}_{1}$ erfüllen:

$\delta {\vec {x}}_{1}=\delta {\vec {\varphi }}_{1}\times {\vec {x}}_{1}$.

Entsprechendes gilt für die Masse $m_{2}$ am Ort ${\vec {x}}_{2}$:

${\vec {x}}_{2}^{2}=const.\,\Longrightarrow 0={\vec {x}}_{2}\cdot \delta {\vec {x}}_{2}$.

Auch diese Gleichung lässt sich durch eine infinitesimale Drehung um den Winkel $\delta {\vec {\varphi }}_{2}$ erfüllen:

$\delta {\vec {x}}_{2}=\delta {\vec {\varphi }}_{2}\times {\vec {x}}_{2}$.

Die Drehungen erfolgen um die z- bzw. 3-Achse, d.h.

$\delta {\vec {\varphi _{i}}}=\delta \varphi _{i}{\hat {e}}_{z}$.

Daher erhalten wir aus $\delta x_{i}{\hat {e}}_{x}+\delta y_{i}{\hat {e}}_{y}=\delta {\vec {x}}_{i}=\delta {\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}_{i}=x_{i}\delta \varphi _{i}{\hat {e}}_{y}-y_{i}\delta \varphi _{i}{\hat {e}}_{x}$ die beiden Nebenbedingungen $\delta x_{i}=-y_{i}\delta \varphi _{i}$ und $\delta y_{i}=x_{i}\delta \varphi _{i}$.

Der Tatsache, dass beide Massen während der Drehbewegung fest an den Enden einer starren Stange sitzen (und die Rotation um einen Achse senkrecht zu Letzterer erfolgt), können wir durch die Forderung

$0=\delta \varphi _{1}-\delta \varphi _{2}$

Rechnung tragen, da die Drehwinkel bei beiden Massen immer gleich sein müssen.

Für unser 2-Teilchen-System in einer Ebene, d.h. Teilchenzahl N=2 und die Anzahl der Dimensionen D=2, haben wir somit drei Nebenbedingungen ($\nu =3$), woraus sich für die Anzahl der Freiheitsgrade wieder $f=D\cdot N-\nu =1$ ergibt: Der einzige Parameter, den wir benötigen, um die Bewegung des Systems zu beschreiben, ist ja der Drehwinkel $\varphi$.

Diese Nebenbedingungen lassen sich in der Form $\delta x_{i}=-y_{i}\delta \varphi$ bzw. $\delta y_{i}=x_{i}\delta \varphi$ beispielsweise wieder direkt in die D'Alembert'sche Gleichung einsetzen:

$0={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left({\dot {{\vec {p}}_{i}}}-{\vec {F}}_{G,i}\right)\cdot \delta {\vec {x}}_{i}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[m_{i}\left({\ddot {x}}_{i}{\hat {e}}_{x}+{\ddot {y}}_{i}{\hat {e}}_{y}\right)+m_{i}g{\hat {e}}_{y}\right]\cdot \left(\delta x_{i}{\hat {e}}_{x}+\delta y_{i}{\hat {e}}_{y}\right)=$ ${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[m_{i}{\ddot {x}}_{i}\delta x_{i}+\left(m_{i}{\ddot {y}}_{i}+m_{i}g\right)\delta y_{i}\right]={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[m_{i}\left(x_{i}{\ddot {y}}_{i}-y_{i}{\ddot {x}}_{i}\right)+gm_{i}x_{i}\right]\delta \varphi$

Hierin stellt die Größe ${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}\left(x_{i}{\ddot {y}}_{i}-y_{i}{\ddot {x}}_{i}\right)={\frac {d}{dt}}{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}\left(x_{i}{\dot {y}}_{i}-y_{i}{\dot {x}}_{i}\right)={\frac {d}{dt}}L_{z}=M_{z}$ die z-Komponente des gesamten Drehmomentes ${\vec {M}}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}{\vec {x}}_{i}\times m_{i}{\ddot {\vec {x}}}_{i}$ dar, der wiederum gleich der Zeitableitung des Gesamtdrehimpulses ${\vec {L}}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}{\vec {x}}_{i}\times m_{i}{\dot {\vec {x}}}_{i}$ ist. Hier wird die Vielseitigkeit des D'Alembert'schen Prinzips erneut deutlich: Kräfte und Drehmomente treten dort nämlich gleichberechtigt auf. Denn wir sind von einem Term des Typs ${\dot {\vec {p}}}\cdot \delta {\vec {x}}$ ausgegangen und schließlich zu einem Term ${\vec {M}}\cdot \delta {\vec {\varphi }}$ gelangt:

${\dot {\vec {p}}}\cdot \delta {\vec {x}}={\dot {\vec {p}}}\cdot \left(\delta {\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}\right)=\left({\vec {x}}\times {\dot {\vec {p}}}\right)\cdot \delta {\vec {\varphi }}={\vec {M}}\cdot \delta {\vec {\varphi }}$ .

Beiden Termen ist aber gemeinsam, dass sie die Dimension einer Energie besitzen.

Die z-Komponente des Drehimpulses lässt sich über den Parameter $\varphi$ z.B. mittels Polarkoordinaten ausdrücken: $x_{i}=r_{i}\cos \varphi$ und $y_{i}=r_{i}\sin \varphi$, worin $r_{i}=\left|{\vec {x}}_{i}\right|$ bedeuten. Die zugehörigen Geschwindigkeiten lauten dann ${\dot {x}}_{i}=-{\dot {\varphi }}r_{i}\sin \varphi$ und ${\dot {y}}_{i}={\dot {\varphi }}r_{i}\cos \varphi$, woraus sich

$L_{z}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}\left(x_{i}{\dot {y}}_{i}-y_{i}{\dot {x}}_{i}\right)={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}r_{i}^{2}\,{\dot {\varphi }}$

ergibt. Der Term ${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}r_{i}^{2}$ ist hierbei das Trägheitsmoment $\Theta _{33}$.

Den Term ${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}x_{i}={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}r_{i}\,\cos \varphi$ gibt im Wesentlichen die x-Komponente des Schwerpunktes an. In der Literatur erscheint an dieser Stelle meist ein Sinus anstelle der Kosinus-Funktion hier. Dies hängt davon ab, wie der Winkel gemessen wird. Drücken wir unseren Winkel $\varphi$ durch einen Winkel $\alpha$ aus, der zwischen der negativen y-Achse und der Stange gemessen wird, dann erhalten wir folgende Zusammenhänge: $\varphi ={\frac {3}{4}}\pi +\alpha$ bzw. $\cos \varphi =\sin \alpha$. In dieser Koordinate erhalten wir also folgende Bewegungsgleichung für unser physikalisches Pendel:

$\Theta _{33}{\ddot {\alpha }}+g{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}r_{i}\,\sin \alpha =0$.

Das D'Alembert'sche Prinzip, mittels Lagrange-Multiplikatoren formuliert, lautet:

$0={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[\left({\dot {{\vec {p}}_{i}}}-{\vec {F}}_{G,i}\right)\cdot \delta {\vec {x}}_{i}+\lambda _{i}\left(x_{i}\delta x_{i}+y_{i}\delta y_{i}\right)\right]+\lambda _{3}\left(\delta \varphi _{1}-\delta \varphi _{2}\right)=$ ${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[m_{i}\left(x_{i}{\ddot {y}}_{i}-y_{i}{\ddot {x}}_{i}\right)+gm_{i}x_{i}+\lambda _{i}\left(y_{i}x_{i}-x_{i}y_{i}\right)\right]\delta \varphi _{i}+\lambda _{3}\left(\delta \varphi _{1}-\delta \varphi _{2}\right)$

Für jede der drei Nebenbedingungen haben wir einen Lagrange-Multiplikator $\lambda _{i}$ eingeführt, wobei in obiger Gleichung die Koeffizienten von $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ aber offensichtlich verschwinden. Übrig bleibt nur der Parameter $\lambda _{3}$, was zu zwei Gleichungen führt:

$m_{1}\left(x_{1}{\ddot {y}}_{1}-y_{1}{\ddot {x}}_{1}\right)+gm_{1}x_{1}+\lambda _{3}=0$, $m_{2}\left(x_{2}{\ddot {y}}_{2}-y_{2}{\ddot {x}}_{2}\right)+gm_{2}x_{2}-\lambda _{3}=0$.

Beim Bilden der Summe aus beiden Gleichungen wird $\lambda _{3}$ eliminiert, woraus wir wieder die Gleichung

${\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}\left[m_{i}\left(x_{i}{\ddot {y}}_{i}-y_{i}{\ddot {x}}_{i}\right)+gm_{i}x_{i}\right]=0$

erhalten. Der Lagrange'sche Multiplikator $\lambda _{3}$ besitzt hier offensichtlich die Bedeutung einer Zwangskraft im verallgemeinerten Sinne und drückt das gesamte Drehmoment auf ein Teilchen aus, das durch das jeweils andere Teilchen (übertragen durch die Stange) auf ihn einwirkt. Auch hier ist die »Kraft« in Wirklichkeit ein Drehmoment.

Zusammenfassend können wir feststelen, dass das D'Alembert'sche Prinzip insbesondere dann nützlich wird, wenn wir Nebenbedingungen an das betrachtete System stellen. Werden die Nebenbedingungen mit Hilfe von Lagrange'schen Multiplikatoren berücksichtigt, ermöglicht dies ein Aufstellen von Kräfte- oder Drehmoment-Bilanz-Gleichungen wie in der Newton'schen Dynamik, da die Terme mit jenen Multiplikatoren letztlich auch nichts andres als Zwangskräfte (oder -drehmomente) darstellen, die durch die Nebenbedingungen verursacht werden. Im Folgenden wollen wir dies ganz allgemein an einem System mit z.B. $M=D\cdot N$ Koordinaten $q_{i}$ diskutieren, das $\nu <M$ Nebenbedingungen der Form

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}A_{i}^{\left(\kappa \right)}\delta q_{i},\,\kappa =1,...,\nu$

unterliegt. Dies sind $\nu$ Gleichungen mit M Unbekannten $\delta q_{i}$. Im Idealfall können $\nu$ der $\delta q_{i}$ mit Hilfe der restlichen $M-\nu$ $\delta q_{i}$ ausgedrückt werden: Das System besitzt dann $f=M-\nu$ Freiheitsgrade. Z.B. könnten die $\nu$ $\delta q_{i},\,i=(f+1),...,M$ dank der $\nu$ Nebenbedingungen durch die $f=M-\nu$ Variablen $\delta q_{j},\,j=1,...,f$ mit Hilfe von in den letzteren Variablen linearen Funktionen $F_{i},\,i=(f+1),...,M$ ausgedrückt werden: $\delta q_{i}=F_{i}\left(\delta q_{1},...,\delta q_{f}\right),\,i=(f+1),...,M$.

Die $\nu$ Größen $\delta q_{i},\,i=(f+1),...,M$ sind daher linear abhängig, während die übrigen $f=M-\nu$ Variablen $\delta q_{j},\,j=1,...,f$ voneinander linear unabhängig sind. Lineare Unabhängigkeit der $\delta q_{j},\,j=1,...,f$ bedeutet ja, dass aus $0={\underset {i=1}{\overset {f}{\sum }}}b_{i}\delta q_{i}$ das Verschwinden der f Koeffizienten $b_{i}$ folgt: $b_{1}=...=b_{f}=0$.

Die $\nu$ Nebenbedingungen multiplizieren wir jetzt jeweils mit einem beliebigen Paramater $\lambda _{\kappa }$, dem Lagrange'schen Multiplikator, und addieren die daraus entstehenden Gleichungen:

$0={\underset {\kappa =1}{\overset {\nu }{\sum }}}\lambda _{\kappa }{\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}A_{i}^{\left(\kappa \right)}\delta q_{i}$.

Letztere Gleichung ziehen wir jetzt von der D'Alembert'sche Gleichung ab, die im Allgemeinen folgende Form besitzt:

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}a_{i}\delta q_{i}$

mit $a_{i}={\dot {p}}_{i}-F_{i}$.

D.h. wir erhalten dadurch eine Gleichung

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}\left(a_{i}-{\underset {\kappa =1}{\overset {\nu }{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{i}^{\left(\kappa \right)}\right)\delta q_{i}$,

die wir auch als zwei Summen aus Termen in den f linear unabhängigen $\delta q_{j},\,j=1,...,f$ bzw. aus Termen in den $\nu =M-f$ linear abhängigen $\delta q_{i},\,i=(f+1),...,M$ darstellen können:

$0={\underset {j=1}{\overset {f}{\sum }}}\left(a_{j}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{j}^{\left(\kappa \right)}\right)\delta q_{j}+{\underset {i=f+1}{\overset {M}{\sum }}}\left(a_{i}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{i}^{\left(\kappa \right)}\right)\delta q_{i}$.

Der zweite Summand in letzterer Gleichung enthält dann somit ausschließlich die $\nu$ linear abhängigen $\delta q_{i},\,i=(f+1),...,M$. In deren Koeffizienten befinden sich die gleichermaßen $\nu$ beliebigen, d.h. noch frei wählbaren Lagrange-Multiplikatoren $\lambda _{\kappa }$. Wenn wir jene $\nu$ Koeffizienten jeweils gleich Null setzen, erhalten wir aus diesen ein lineares Gleichungssystem bestehend aus $\nu$ Gleichungen mit gleichermaßen $\nu$ Unbekannten $\lambda _{\kappa }$:

$0=a_{i}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{i}^{\left(\kappa \right)}$.

für $i=(f+1),...,M$.

Da dieses lineare Gleichungssystem (aufgrund des oben bereits angenommenen Idealfalls) erfüllt werden kann, ist es also möglich, durch eine entsprechende Wahl der $\nu$ beliebigen Parameter $\lambda _{\kappa }$ jene ebenfalls $\nu$ Koeffizienten zum Verschwinden zubringen. Es bleiben dann nur noch die Summanden in den $f=M-\nu$ voneinander linear unabhängigen $\delta q_{j},\,j=1,...,f$ übrig:

$0={\underset {j=1}{\overset {f}{\sum }}}\left(a_{j}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{j}^{\left(\kappa \right)}\right)\delta q_{j}$.

Aber gearde wegen der linearen Unabhängigkeit dieser f $\delta q_{j}$ dürfen wir auf

$0=a_{j}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{j}^{\left(\kappa \right)},\,j=1,...,f$

schließen. Insgesamt erhalten wir also M Gleichungen (die sog. Langrange'schen Gleichungen 1. Art)

$0=\left({\dot {p}}_{l}-F_{l}\right)-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{l}^{\left(\kappa \right)},\,l=1,...,M$

aus der D'Alembert'schen Gleichung

$0={\underset {l=1}{\overset {M}{\sum }}}\left[\left({\dot {p}}_{l}-F_{l}\right)-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{l}^{\left(\kappa \right)}\right]\delta q_{l}$.

In den vorangegangenen Beispielen sind wir bei den Nebenbedingungen von Gleichungen vom Typ

$0=\Phi _{\kappa }\left(q_{1},...,q_{M},t\right),\,\kappa =1,...,\left(M-f\right)$

ausgegangen, aus denen wir durch Anwenden der Variation $\delta$

$0={\underset {l=1}{\overset {M}{\sum }}}{\frac {\partial \Phi _{\kappa }}{\partial q_{l}}}\delta q_{l}$

gewonnen haben (wobei in unseren Beispielen $\Phi _{\kappa }$ nicht explizit von der Zeit abhing): d.h. $A_{l}^{\left(\kappa \right)}={\frac {\partial \Phi _{\kappa }}{\partial q_{l}}}$. Solche Nebenbedingungen werden »holonom« genannt. Denkbar wären aber z.B. auch solche, die sich nicht auf ein totales Differenzial zurückführen lassen (die dann »anholonom« heißen), oder solche, die Ungleichungen oder Differenzialgleichungen darstellen.

Die Nebenbedingungen lassen sich selbst für ein N-Teilchensystem (in D Dimensionen) auch bequem in vektorieller Form schreiben:

$0=\Phi _{\kappa }\left({\vec {q}}_{1},...,{\vec {q}}_{N}\right),\,\kappa =1,...,\left(DN-f\right)$,

d.h.

$0={\underset {l=1}{\overset {N}{\sum }}}{\vec {\nabla }}_{{\vec {q}}_{l}}\Phi _{\kappa }\cdot \delta {\vec {q_{l}}},\,\kappa =1,...,\left(DN-f\right)$

mit dem Gradienten ${\vec {\nabla }}_{{\vec {q}}_{j}}={\frac {\partial }{\partial {\vec {q}}_{j}}}$.

Die Lagrange-Gleichungen 1. Art lauten dann unter diesen Nebenbedingungen folgendermaßen:

$0={\dot {\vec {p}}}_{j}-{\vec {F}}_{j}-{\underset {\kappa =1}{\overset {DN-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }{\vec {\nabla }}_{{\vec {q}}_{j}}\Phi _{\kappa }\left({\vec {q}}_{1},...,{\vec {q}}_{N}\right),\,j=1,...,N$

mit dem Impuls ${\vec {p}}_{j}=m_{j}{\dot {\vec {q}}}_{j}$ des j-ten Teilchens und der Kraft ${\vec {F}}_{j}$ auf das j-te Teilchen.

Wir können uns jetzt auch dem Problem widmen, dass wir in

$0={\underset {i=1}{\overset {M}{\sum }}}\left[\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)-{\underset {j=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}\right]\delta q_{i}$.

nicht mehr darauf schließen können, dass die Koeffizienten der virtuellen Verrückungen $\delta q_{i}$ alle einzeln verschwinden, indem wir vom D'Alembert'schen Prinzip ausgehen, in dem die an das betrachtete System gestellten Nebenbedingungen berücksichtigt sind:

$0={\underset {l=1}{\overset {M}{\sum }}}\left[\left({\dot {p}}_{l}-F_{l}\right)-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{l}^{\left(\kappa \right)}\right]\delta q_{l}$.

Wir können hier alle Überlegungen übernehmen, die wir schon für den eindimensionalen Fall angestellt haben, und mit denen wir von der D'Alembert'schen Gleichung zu den Euler-Lagrange-Gleichungen gelangt sind: Der zusätzliche Term, mit dem den Nebenbedingungen Rechnung getragen wird, stört hierbei nicht. D.h. es ergibt sich unmittelbar:

$0={\underset {i=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}\left[\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)-{\underset {j=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}-{\underset {\kappa =1}{\overset {D\cdot N-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{i}^{\left(\kappa \right)}\right]\delta q_{i}$.

Weil wir hierin die Nebenbedingungen ja berücksichtigt haben, dürfen wir wieder davon ausgehen, dass alle Koeffizienten der $\delta q_{i}$ verschwinden. Hieraus ergeben sich die sog. Langrange'schen Gleichungen 2. Art:

$0=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)-{\underset {j=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}}-{\underset {\kappa =1}{\overset {M-f}{\sum }}}\lambda _{\kappa }A_{i}^{\left(\kappa \right)},\,i=1,...,D\cdot N$.

In unserem Beispiel der schiefen Ebene lässt sich die natürliche Lagrangefunktion als $L=T-V$ sehr leicht angeben: Im Koordinatensystem von ${\vec {x}}$ erhalten wir die kinetische Energie

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)$,

die potentielle Energie

$V=mgx_{2}$

sowie für die Nebenbedingung $A_{1}^{\left(1\right)}=-\sin \varphi$ und $A_{2}^{\left(1\right)}=\cos \varphi$.

Im Koordinatensystem von ${\vec {q}}$ sind dies

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {q}}_{1}^{2}+{\dot {q}}_{2}^{2}\right)$, $V=mg\,x_{2}=mg\left(q_{1}\sin \varphi +q_{2}\cos \varphi \right)$

und für die Nebenbedingung $A_{1}^{\left(1\right)}=0$ und $A_{2}^{\left(1\right)}=1$. In beiden Fällen (als auch im zweiten Beispiel) traten ja keine Nicht-Potenzialkräfte auf, d.h. $f_{j}=0$. Durch Einsetzen in die Lagrange'sche Gleichung 2. Art überzeuge man sich selbst davon, dass wieder die bereits bekannten Bewegungsgleichungen (d.h. die Lagrange'schen Gleichungen 1. Art) hieraus folgen. Im letzteren Fall hätte man natürlich wegen der Nebenbedingung $q_{2}=0$ auch direkt auf diese Koordinate und somit auf die Methode mit den Lagrange'schen Multiplikatoren verzichten können.

Im Beispiel des betrachteten physikalischen Pendels stellen wir zunächst fest, dass wegen $r_{i}^{2}={\vec {x}}_{i}^{2}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}=const.$ nicht nur $0={\vec {x}}_{i}\cdot \delta {\vec {x}}_{i}=x_{i}\delta x_{i}+y_{i}\delta y_{i}$ sondern auch $0={\vec {x}}_{i}\cdot {\dot {\vec {x}}}_{i}=x_{i}{\dot {x}}_{i}+y_{i}{\dot {y}}_{i}$ gilt, was ja (wie wir oben bereits gesehen haben) auf $\delta x_{i}=-y_{i}\delta \varphi _{i}$ und $\delta y_{i}=x_{i}\delta \varphi _{i}$ bzw. analog hierzu auf ${\dot {x}}_{i}=-y_{i}{\dot {\varphi }}_{i}$ und ${\dot {y}}_{i}=x_{i}{\dot {\varphi }}_{i}$ führt. Hieraus folgt für die kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}{\dot {x}}_{i}^{2}={\frac {1}{2}}{\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}r_{i}^{2}{\dot {\varphi }}_{i}^{2}$.

Die potentielle Energie ist wieder

$V={\underset {i=1}{\overset {2}{\sum }}}m_{i}g\,y_{i}\left(\varphi _{i}\right)$.

Wegen ${\dot {y}}_{i}=x_{i}{\dot {\varphi }}_{i}$ gilt übrigens auch ${\frac {\partial y_{i}}{\partial \varphi _{i}}}=x_{i}$, was wir beim Bilden von ${\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i}}}$ in den Euler-Lagrange-Gleichungen bzgl. der Variablen $\varphi _{i},\,i=1,2$ benötigen. Die Nebenbedingungen hinsichtlich dieser Variablen führen auf $A_{1}^{\left(1\right)}=A_{2}^{\left(2\right)}=0$ und $A_{1}^{\left(3\right)}=1$ sowie $A_{2}^{\left(3\right)}=-1$.

Natürlich hätten wir auch direkt $\varphi _{1}=\varphi _{2}=\varphi$ setzen und Polarkoordinaten $x_{i}=r_{i}\cos \varphi$ bzw. $y_{i}=r_{i}\sin \varphi$ einführen können. D.h. durch eine geschickte Wahl der neuen Koordinaten ist es auch hier wieder möglich, die an das System gestellten Nebenbedingungen direkt zu berücksichtigen, so dass das System nur noch durch genau so viele Variablen beschrieben wird, wie es Freiheitsgrade besitzt: Langrange'schen Multiplikatoren werden dann somit nicht benötigt. In solch einem Fall gilt also bei f Freiheitsgraden

$0=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\right)-{\underset {j=1}{\overset {D\cdot N}{\sum }}}f_{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial q_{i}}},\,i=1,...,f$.

Dies wird aber voraussichtlich nicht für alle zu betrachtenden physikalischen Systeme immer so gelingen.