Varianten der klassischen Mechanik/ Hamilton-Jacobi-Theorie

Die zeitabhängigen kanonischen Transformationen führen auf folgenden Zusammenhang zwischen der transformierten Hamiltonfunktion ${\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)$ in den neuen Koordinaten $\left(Q,\Pi _{Q}\right)$ und der ursprünglichen Hamiltonfunktion $H\left(q,\pi _{q},t\right)$ in den alten Variablen $\left(q,\pi _{q}\right)$:

${\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{n},\;n=1,2,3,4$.

$G_{n}$ ist hierbei eine der Erzeugenden der kanonischen Transformation $q=q\left(Q,\Pi _{Q},t\right),\,\pi _{q}=\pi _{q}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)$. Diese Transformation soll jetzt so gewählt werden, dass

${\bar {H}}\equiv 0$.

Hierdurch werden die neuen kanonischen Variablen über die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen zu Konstanten:

${\dot {Q}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial \Pi _{Q}}}=0\,\Longrightarrow Q=Q_{0}=const.$, ${\dot {\Pi }}_{Q}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial Q}}=0\,\Longrightarrow \Pi _{Q}=\Pi _{0}=const.$.

Zusätzlich dürfen wir noch die erzeugenden Funktionen der kanonischen Transformation zu Rate ziehen: Wegen $dG_{1}\left(q,Q,t\right)=\pi _{q}\,dq-\Pi _{Q}\,dQ+\left({\bar {H}}-H\right)dt$ folgt hieraus $\Pi _{0}=\Pi _{Q}=-\left({\frac {\partial }{\partial Q}}\right)_{Q=Q_{0}}G_{1}\left(q,Q,t\right)$ , woraus sich dann durch Auflösen q bestimmen ließe (denn Q und $\Pi _{Q}$ sind ja Konstanten), wenn $G_{1}$ bekannt wäre. Alternativ folgt aus $dG_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)=\pi _{q}\,dq+Q\,d\Pi _{Q}+\left({\bar {H}}-H\right)dt$, dass $Q_{0}=Q=\left({\frac {\partial }{\partial \Pi _{Q}}}\right)_{\Pi _{Q}=\Pi _{0}}G_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)$ gilt, woraus gleichermaßen durch Auflösen q ermittelt werden könnte, wenn $G_{3}$ bekannt wäre. Außerdem wäre es dann möglich, bei beiden Varianten der erzeugenden Funktion die alte kanonische Impulsvariable folgendermaßen anzugeben: $\pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{1,3}$. Somit können wir die sog. "Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichungen" aufstellen:

$0={\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{1}\left(q,Q_{0},t\right),t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}\left(q,Q_{0},t\right)$

oder alternativ

$0={\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)=H\left(q,\pi _{q}={\frac {\partial }{\partial q}}G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right),t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right)$,

aus denen die erzeugenden Funktionen $G_{1}$ bzw. $G_{3}$ ermittelt werden müssen.

Die letztere Variante der Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichung soll nun für den harmonischen Oszillator aufgestellt und gelöst werden. Hierzu gehen wir also wieder von der Hamiltonfunktion $H\left(q,\pi _{q}\right)={\frac {\pi _{q}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}$ aus, woraus die folgende Differenzialgleichung resultiert:

$0={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial G_{3}}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}$.

Mit dem Ansatz (denn die erzeugende Funktion ist wegen $\Pi _{Q}=\Pi _{0}=const.$ keine Funktion mehr von $\Pi _{Q}$)

$G_{3}\left(q,\Pi _{0},t\right)=S_{1}\left(q\right)+S_{2}\left(t\right)$

wird aus jener Gleichung

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S_{1}\left(q\right)}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}=-{\frac {\partial }{\partial t}}S_{2}\left(t\right)$.

Da die linke Seite nur von q und die rechte Seite ausschließlich von t abhängt, können wir aus ihr zwei Gleichungen der Form

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S_{1}\left(q\right)}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}=E=const.$. $-{\frac {\partial }{\partial t}}S_{2}\left(t\right)=E=const.$.

bilden. Lösen wir die Erstere nach ${\frac {\partial S_{1}}{\partial q}}$ auf und integrieren dies über q, so erhalten wir:

$S_{1}=\int dq\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}\right)}}$.

Entsprechend hierzu wird die zweite Gleichung über die Zeit integriert:

$S_{2}=-Et+const.$.

Die im Prinzip beliebige Konstante $\Pi _{0}$ wählen wir einfach gleich E: $\Pi _{Q}=\Pi _{0}=E$. Außerdem gilt:

$const.=Q_{0}=Q=\left({\frac {\partial }{\partial \Pi _{Q}}}\right)_{\Pi _{Q}=\Pi _{0}}G_{3}\left(q,\Pi _{Q},t\right)={\frac {\partial }{\partial E}}\left(S_{1}\left(q\right)+S_{2}\left(t\right)\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int dq\,{\frac {1}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}}}}-t$.

Mit Hilfe der Substitution ${\sqrt {\frac {m\omega ^{2}}{2E}}}q=\sin \alpha$ folgt hieraus die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators:

$q\left(t\right)={\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\sin \left(\omega t+\delta \right)$,

mit der Konstanten $\delta =\omega Q_{0}$.