Varianten der klassischen Mechanik/ Hamilton-Jacobi-Theorie

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Die zeitabhängigen kanonischen Transformationen führen auf folgenden Zusammenhang zwischen der transformierten Hamiltonfunktion in den neuen Koordinaten und der ursprünglichen Hamiltonfunktion in den alten Variablen :


.


ist hierbei eine der Erzeugenden der kanonischen Transformation . Diese Transformation soll jetzt so gewählt werden, dass


.


Hierdurch werden die neuen kanonischen Variablen über die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen zu Konstanten:


,
.


Zusätzlich dürfen wir noch die erzeugenden Funktionen der kanonischen Transformation zu Rate ziehen: Wegen folgt hieraus , woraus sich dann durch Auflösen q bestimmen ließe (denn Q und sind ja Konstanten), wenn bekannt wäre. Alternativ folgt aus , dass gilt, woraus gleichermaßen durch Auflösen q ermittelt werden könnte, wenn bekannt wäre. Außerdem wäre es dann möglich, bei beiden Varianten der erzeugenden Funktion die alte kanonische Impulsvariable folgendermaßen anzugeben: . Somit können wir die sog. "Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichungen" aufstellen:



oder alternativ


,


aus denen die erzeugenden Funktionen bzw. ermittelt werden müssen.

Die letztere Variante der Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichung soll nun für den harmonischen Oszillator aufgestellt und gelöst werden. Hierzu gehen wir also wieder von der Hamiltonfunktion aus, woraus die folgende Differenzialgleichung resultiert:


.


Mit dem Ansatz (denn die erzeugende Funktion ist wegen keine Funktion mehr von )



wird aus jener Gleichung


.


Da die linke Seite nur von q und die rechte Seite ausschließlich von t abhängt, können wir aus ihr zwei Gleichungen der Form


.
.


bilden. Lösen wir die Erstere nach auf und integrieren dies über q, so erhalten wir:


.


Entsprechend hierzu wird die zweite Gleichung über die Zeit integriert:


.


Die im Prinzip beliebige Konstante wählen wir einfach gleich E: . Außerdem gilt:


.


Mit Hilfe der Substitution folgt hieraus die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators:


,


mit der Konstanten .