Die zeitabhängigen kanonischen Transformationen führen auf folgenden
Zusammenhang zwischen der transformierten Hamiltonfunktion
in den neuen Koordinaten
und
der ursprünglichen Hamiltonfunktion
in den alten Variablen
:
.
ist hierbei eine der Erzeugenden der kanonischen
Transformation
.
Diese Transformation soll jetzt so gewählt werden, dass
.
Hierdurch werden die neuen kanonischen Variablen über die Hamilton'schen
Bewegungsgleichungen zu Konstanten:
,
.
Zusätzlich dürfen wir noch die erzeugenden Funktionen der kanonischen
Transformation zu Rate ziehen: Wegen
folgt hieraus
, woraus sich dann durch Auflösen q bestimmen ließe (denn Q
und
sind ja Konstanten), wenn
bekannt wäre. Alternativ folgt aus
,
dass
gilt, woraus gleichermaßen durch Auflösen q ermittelt werden
könnte, wenn
bekannt wäre. Außerdem wäre es
dann möglich, bei beiden Varianten der erzeugenden Funktion die alte
kanonische Impulsvariable folgendermaßen anzugeben:
.
Somit können wir die sog. "Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichungen"
aufstellen:
oder alternativ
,
aus denen die erzeugenden Funktionen
bzw.
ermittelt werden müssen.
Die letztere Variante der Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichung
soll nun für den harmonischen Oszillator aufgestellt und gelöst werden.
Hierzu gehen wir also wieder von der Hamiltonfunktion
aus, woraus die folgende Differenzialgleichung resultiert:
.
Mit dem Ansatz (denn die erzeugende Funktion ist wegen
keine Funktion mehr von
)
wird aus jener Gleichung
.
Da die linke Seite nur von q und die rechte Seite ausschließlich
von t abhängt, können wir aus ihr zwei Gleichungen der Form
.
.
bilden. Lösen wir die Erstere nach
auf und integrieren dies über q, so erhalten wir:
.
Entsprechend hierzu wird die zweite Gleichung über die Zeit integriert:
.
Die im Prinzip beliebige Konstante
wählen
wir einfach gleich E:
. Außerdem
gilt:
.
Mit Hilfe der Substitution
folgt hieraus die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators:
,
mit der Konstanten
.