Varianten der klassischen Mechanik/ Extremalprinzip für die Hamiltonfunktion; kanonische Transformationen

Die Euler-Lagrange-Gleichungen lassen sich aus einem Extremalprinzip für Lagrangefunktionen gewinnen: Durch Variation des Wirkungsintegrals (wir beschränken uns dabei auf ein Einteilchen-System)

$W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left[L\left({\vec {q}}\left(t\right),{\dot {\vec {q}}}\left(t\right),t\right)+{\frac {d}{dt}}M\left({\vec {q}}\left(t\right),t\right)\right]$

nach 'q', wobei die Variation von ${\vec {q}}\left(t\right)$ auf dem Rand des Zeitintervalls verschwindet, also $\delta {\vec {q}}\left(t_{0}\right)=\delta {\vec {q}}\left(t_{1}\right)=0$ gilt, erhalten wir die Euler-Lagrange-Gleichung, wenn $\delta W=0$ gesetzt wird:

$\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {q}}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {q}}\right)\left(L\left({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t\right)+{\frac {d}{dt}}M\left({\vec {q}},t\right)\right)=0$.

Es gibt gleichermaßen ein Integralprinzip, aus dem die Hamilton'schen Gleichungen resultieren. Dieses Integralprinzip gilt jedoch nicht direkt für die Hamiltonfunktion sondern für die bereits vorgestellte Funktion (ohne besonderen Namen)

$I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)=\pi _{q}{\dot {q}}-H\left(q,\pi _{q},t\right)$,

in der ja ${\dot {q}}$ nicht durch Umkehrung von $\pi _{q}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$ als Funktion von $\pi _{q}$ aufgefasst wird (sodass beide Variablen als voneinander unabhängig angesehen werden müssen), wobei wir uns im Folgenden der Einfachheit wegen wieder auf eindimensionale Einteilchen-Systeme beschränken. Die Funktion $I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)\equiv I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)$ besitzt die gleichen Argumente wie eine Lagrangefunktion, wobei ${\vec {x}}=\left(q,\pi _{q}\right)$ und ${\dot {\vec {x}}}=\left({\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q}\right)$ bedeuten. Wenn wir für die Variation von ${\vec {x}}$ zudem verlangen, dass $\delta {\vec {x}}\left(t_{0}\right)=\delta {\vec {x}}\left(t_{1}\right)=0$ gilt, können wir ein Wirkungsprinzip analog zu jenem für Lagrangefunktionen (mit $M\equiv 0$) aufstellen:

$0=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)$,

aus dem wieder die Euler-Lagrange-Gleichung, diesmal jedoch bzgl. ${\vec {x}}$, resultiert:

$\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {x}}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=0$.

Komponentenweise notiert, bedeutet Letztere ja

$0=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial }{\partial q}}\right)I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial }{\partial q}}\right)\left(\pi _{q}{\dot {q}}-H\left(q,\pi _{q},t\right)\right)={\dot {\pi }}_{q}+{\frac {\partial H}{\partial q}}$

und

$0=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\pi }}_{q}}}-{\frac {\partial }{\partial \pi _{q}}}\right)I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\pi }}_{q}}}-{\frac {\partial }{\partial \pi _{q}}}\right)\left(\pi _{q}{\dot {q}}-H\left(q,\pi _{q},t\right)\right)=-{\dot {q}}+{\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}$,

wobei wir zudem $I_{H}$ eingesetzt haben. Dies sind offensichtlich die Hamilton'schen Gleichungen.

Das gleiche Integralprinzip ist sogar noch gültig, wenn wir eine Eichfunktion vom Typ ${\frac {d}{dt}}M\left({\vec {x}},t\right)={\frac {d}{dt}}M\left(q,\pi _{q},t\right)$ mit hinzu nehmen:

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left(I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)+{\frac {d}{dt}}M\left({\vec {x}},t\right)\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=0$,

weil wegen $\delta {\vec {x}}\left(t_{0}\right)=\delta {\vec {x}}\left(t_{1}\right)=0$ ja $\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,{\frac {d}{dt}}M\left({\vec {x}},t\right)=\left[\delta M\left({\vec {x}},t\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=\left[\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}M\left({\vec {x}},t\right)\right)\cdot \delta {\vec {x}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ gilt.

Existiere nun neben den Koordinaten q und $\pi _{q}$ zusätzlich noch ein zweites Paar Q und $\Pi _{Q}$, die durch eine Transformation $q=q\left(Q,\Pi _{Q},t\right),\,\pi _{q}=\pi _{q}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)\,\Longleftrightarrow Q=Q\left(q,\pi _{q},t\right),\,\Pi _{Q}=\Pi _{Q}\left(q,\pi _{q},t\right)$ auseinander hervor gehen sollen. Diese Transformation ist kanonisch, wenn sowohl

$0=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left(\pi _{q}{\dot {q}}-H\left(q,\pi _{q},t\right)\right)$,

woraus ja wie soeben gezeigt die Hamilton'schen Gleichungen ${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial \pi _{q}}}$ und ${\dot {\pi }}_{q}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$ folgen,

als auch

$0=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},{\dot {Q}},{\dot {\Pi }}_{Q},t\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left(\Pi _{Q}{\dot {Q}}-{\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)\right)$,

gilt, wobei aus Letzterem dann ja die Hamilton'schen Gleichungen ${\dot {Q}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial \Pi _{Q}}}$ und ${\dot {\Pi }}_{Q}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial Q}}$ resultieren.

Die $\delta Q\left(q,\pi _{q},t\right)={\frac {\partial Q}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial Q}{\partial \pi _{q}}}\delta \pi _{q}$ und $\delta \Pi _{Q}\left(q,\pi _{q},t\right)={\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial \pi _{q}}}\delta \pi _{q}$ müssen übrigens beide bei $t_{0}$ und $t_{1}$ verschwinden, da dort ja auch $\delta q$ und $\delta \pi _{q}$ gleich Null sind (und umgekehrt). Hieraus ergibt sich wiederum, dass nicht nur

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left(I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)+{\frac {d}{dt}}M\left(q,\pi _{q},t\right)\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)=0$

sondern auch

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left(I_{\overline {H}}\left(Q,\Pi _{Q},{\dot {Q}},{\dot {\Pi }}_{Q},t\right)+{\frac {d}{dt}}{\bar {M}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)\right)=\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},{\dot {Q}},{\dot {\Pi }}_{Q},t\right)=0$

gelten muss. Dies legt aber die Schlussfolgerung nahe, dass

$I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)+{\frac {d}{dt}}M\left(q,\pi _{q},t\right)=I_{\overline {H}}\left(Q,\Pi _{Q},{\dot {Q}},{\dot {\Pi }}_{Q},t\right)+{\frac {d}{dt}}{\bar {M}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)$

bzw. alternativ

$I_{H}\left(q,\pi _{q},{\dot {q}},{\dot {\pi }}_{q},t\right)=I_{\overline {H}}\left(Q,\Pi _{Q},{\dot {Q}},{\dot {\Pi }}_{Q},t\right)+{\frac {d}{dt}}G\left(q,\pi _{q},Q,\Pi _{Q},t\right)$

sein müssen, Letzteres da ja auch $\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,{\frac {d}{dt}}G\left(q,\pi _{q},Q,\Pi _{Q},t\right)=\left[{\frac {\partial G}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial G}{\partial \pi _{q}}}\delta \pi _{q}+{\frac {\partial G}{\partial Q}}\delta Q+{\frac {\partial G}{\partial \Pi _{Q}}}\delta \Pi _{q}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ gilt. D.h. wir haben eine Gleichung

$\pi _{q}{\dot {q}}-H\left(q,\pi _{q},t\right)=\Pi _{Q}{\dot {Q}}-{\bar {H}}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)+{\frac {d}{dt}}G\left(q,\pi _{q},Q,\Pi _{Q},t\right)$,

die von einer kanonischen Transformation erfüllt werden muss.

Die Gültigkeit jener Schlussfolgerung haben wir bereits in einem vorangegangenen Kapitel bzgl. einer kanonische Transformation $Q=Q\left(q,t\right)$ für die Lagrangefunktionen $L\left(q,{\dot {q}},t\right)$ bzw. ${\bar {L}}\left(Q,{\dot {Q}},t\right)$ eines eindimensionalen Systems gezeigt. Den Beweis von dort übertragen wir auf $I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)$ und $I_{\bar {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)$ mit ${\vec {x}}=\left(q,\pi _{q}\right)$ bzw. ${\vec {X}}=\left(Q,\Pi _{Q}\right)$, für die eine kanonische Transformation ${\vec {X}}={\vec {X}}\left({\vec {x}}\right)=\left(Q\left(q,\pi _{q}\right),\Pi _{Q}\left(q,\pi _{q}\right)\right)$ also die Gleichung

$I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=I_{\overline {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)+{\frac {d}{dt}}G\left({\vec {x}},{\vec {X}},t\right)$

erfüllen soll. Wir müssen nun jedoch beachten, dass die Koordinaten vektorwertig sind. Aus $\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=0$ folgen dann zum Einen die Euler-Lagrange-Gleichungen $\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {x}}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=0$, zum Andern aber auch $0=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}I_{\overline {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)$, weil ja $\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,{\frac {d}{dt}}G\left({\vec {x}},{\vec {X}},t\right)=0$ ist. Man beachte, dass wir die Variation bzgl. ${\vec {x}}$ und nicht hinsichtlich ${\vec {X}}$ von $I_{\overline {H}}\left({\vec {X}}\left({\vec {x}},t\right),{\dot {{\vec {X}}\left({\vec {x}},t\right),}}t\right)$ bilden müssen! Die Variationen der Komponenten von ${\vec {X}}$, d.h. $\delta Q\left(q,\pi _{q},t\right)={\frac {\partial Q}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial Q}{\partial \pi _{q}}}\delta \pi _{q}$ und $\delta \Pi _{Q}\left(q,\pi _{q},t\right)={\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial \pi _{q}}}\delta \pi _{q}$, können wir auch zu $\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}{\vec {X}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {\partial {\vec {X}}}{\partial {\vec {x}}}}\cdot \delta {\vec {x}}$ zusammenfassen, worin ${\frac {\partial {\vec {X}}}{\partial {\vec {x}}}}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial Q}{\partial q}}&{\frac {\partial Q}{\partial \pi _{q}}}\\{\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial q}}&{\frac {\partial \Pi _{Q}}{\partial \pi _{q}}}\end{array}}\right)$ die Jacobi-Matrix darstellt. Entsprechend gilt auch $\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}{\dot {\vec {X}}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {\partial {\vec {X}}}{\partial {\vec {x}}}}\cdot \delta {\dot {\vec {x}}}$. Analog zum eindimensionalen Fall erhalten wir daher

$0=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\delta _{\left[{\vec {x}}\right]}I_{\overline {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {X}}}I_{\overline {H}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {X}}I_{\overline {H}}\right)\cdot {\frac {\partial {\vec {X}}}{\partial {\vec {x}}}}\cdot \delta {\vec {x}}$.

Hierin ist der Vektor ${\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {X}}}I_{\overline {H}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {X}}I_{\overline {H}}$ nur gleich Null, wenn für die sog. Jacobi-Determinante gilt: $det\left({\frac {\partial {\vec {X}}}{\partial {\vec {x}}}}\right)\neq 0$. Nach dem Satz über implizite Funktionen ist dies der Fall, wenn sich die Transformation ${\vec {X}}={\vec {X}}\left({\vec {x}}\right)=\left(Q\left(q,\pi _{q}\right),\Pi _{Q}\left(q,\pi _{q}\right)\right)$ umkehren lässt, was wir immer voraussetzen wollen. Aus den Gleichungen $\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {x}}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=0$ bzw. $\left({\frac {d}{dt}}{\vec {\nabla }}_{\dot {\vec {X}}}-{\vec {\nabla }}_{\vec {X}}\right)I_{\overline {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)=0$ folgen aber die jeweiligen Hamiltonschen Gleichungen. D.h. Variablen ${\vec {x}}=\left(q,\pi _{q}\right)$ bzw. ${\vec {X}}=\left(Q,\Pi _{Q}\right)$, die über eine kanonischen Transformation ${\vec {X}}={\vec {X}}\left({\vec {x}}\right)=\left(Q\left(q,\pi _{q}\right),\Pi _{Q}\left(q,\pi _{q}\right)\right)$ auseinander hervorgehen, erfüllen tatsächlich die Gleichung $I_{H}\left({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}},t\right)=I_{\overline {H}}\left({\vec {X}},{\dot {{\vec {X}},}}t\right)+{\frac {d}{dt}}G\left({\vec {x}},{\vec {X}},t\right)$, was ja zu zeigen war.

Die erzeugende Funktion G der kanonischen Transformation hängt von 4 Variablen (plus einer für die Zeit) ab, während aber die kanonische Transformation $q=q\left(Q,\Pi _{Q},t\right),\,\pi _{q}=\pi _{q}\left(Q,\Pi _{Q},t\right)$ nur eine Bedingung darstellt, die von 2 Variablen (exkl. einer Zeitabhängigkeit) erfüllt werden muss. Daher können wir getrost zwei beliebige Variablen mit Hilfe dieser Transformationsgleichungen durch die beiden verbleibenden ersetzen. Hierdurch erhalten wir wieder die bekannten erzeugenden Funktionen $G_{n},\,n=0,1,..,5$, wie z.B. $G=G_{1}\left(q,Q,t\right)$ mit allem, was daraus hinsichtlich der kanonischen Transformation folgt (und bereits in einem vorangegangenen Kapitel gezeigt wurde).