Wahrscheinlichkeitstheorie/ 0-1-Gesetze

Satz (Borel‒Cantelli):

Es seien $A_1,\dots ,A_n,\dots$ eine abzählbare Menge von Elementen aus $ℱ$, einer σ-Algebra für den Wahrscheinlichkeitsraum $\mathrm{\Omega }$ mit Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$. Falls

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)<\mathrm{\infty }$,

so gilt

$\mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_n\right)=0$.

Beweis: Es sei $ϵ>0$ beliebig, aber fest. Wegen der Konvergenz der obigen Summe gibt es ein $n_0\in \mathbb{N}$ mit

$\sum _{n_0}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)<ϵ$.

Allerdings gilt

$\mu \left(\bigcup _{n\ge n_0}{A}_n\right)\le \sum _{n_0}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

sowie

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_n\subseteq \bigcup _{n\ge n_0}{A}_n$.

Weil $ϵ$ beliebig klein gewählt werden kann, beweist dies gemäß der Monotonie des Maßes die Behauptung. $◻$