Wahrscheinlichkeitstheorie/ 0-1-Gesetze

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Satz (Borel‒Cantelli):

Es seien eine abzählbare Menge von Elementen aus , einer σ-Algebra für den Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß . Falls

,

so gilt

.

Beweis: Es sei beliebig, aber fest. Wegen der Konvergenz der obigen Summe gibt es ein mit

.

Allerdings gilt

sowie

.

Weil beliebig klein gewählt werden kann, beweist dies gemäß der Monotonie des Maßes die Behauptung.