Wahrscheinlichkeitstheorie/ 0-1-Gesetze
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Satz (Borel‒Cantelli):
Es seien eine abzählbare Menge von Elementen aus , einer σ-Algebra für den Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß . Falls
- ,
so gilt
- .
Beweis: Es sei beliebig, aber fest. Wegen der Konvergenz der obigen Summe gibt es ein mit
- .
Allerdings gilt
sowie
- .
Weil beliebig klein gewählt werden kann, beweist dies gemäß der Monotonie des Maßes die Behauptung.