Es sei eine monoton wachsende Funktion. Dann gilt für eine Zufallsvariable , dass für alle
.
Beweis:
.
Satz (Formel von Bayes):
Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und
eine disjunkte Zerlegung desselben in Mengen aus . Sei ferner ein beliebiges Ereignis. Dann gilt
.
Beweis: Der Zähler auf der rechten Seite beträgt , wie man sieht, wenn man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetzt. Selbiges verwandelt den Nenner in
.
Satz (Kovarianz ist bilinear):
Es seien drei Zufallsvariablen und . Dann gilt
und .
Beweis: Wegen der Symmetrie der Kovarianz genügt es, die Linearität des ersten Argumentes zu beweisen. Es sei der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum.
Satz (Bienaymé-Gleichung):
Es seien paarweise unkorellierte Zufallsvariablen. Dann gilt
.
Beweis: Dies folgt aus der Bilinearität der Kovarianz und der paarweisen Unkorelliertheit der Zufallsvariablen ; man muss nur den Ausdruck