Wahrscheinlichkeitstheorie/ Die elementarsten Gleichungen und Ungleichungen

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Satz (Chebyshev‒Markov-Ungleichung):

Es sei eine monoton wachsende Funktion. Dann gilt für eine Zufallsvariable , dass für alle

.

Beweis:

.

Satz (Formel von Bayes):

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und

eine disjunkte Zerlegung desselben in Mengen aus . Sei ferner ein beliebiges Ereignis. Dann gilt

.

Beweis: Der Zähler auf der rechten Seite beträgt , wie man sieht, wenn man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetzt. Selbiges verwandelt den Nenner in

.

Satz (Kovarianz ist bilinear):

Es seien drei Zufallsvariablen und . Dann gilt

und .

Beweis: Wegen der Symmetrie der Kovarianz genügt es, die Linearität des ersten Argumentes zu beweisen. Es sei der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum.

Satz (Bienaymé-Gleichung):

Es seien paarweise unkorellierte Zufallsvariablen. Dann gilt

.

Beweis: Dies folgt aus der Bilinearität der Kovarianz und der paarweisen Unkorelliertheit der Zufallsvariablen ; man muss nur den Ausdruck

expandieren.