Wahrscheinlichkeitstheorie/ Konditionelle Erwartungswerte

Satz (Jensensche Ungleichung für konditionelle Erwartungswerte):

Es sei $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine konvexe messbare Funktion, $X$ eine Zufallsvariable und $\mathbb {F}$ eine σ-Algebra. Dann gilt

$\mathbb {E} [\phi (X)|{\mathcal {F}}]\geq \phi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {F}}])$.

Beweis: Da $\phi$ konvex ist, verschwindet das Subdifferential an der Stelle $\mathbb {E} [X|{\mathcal {F}}](\omega )$ nicht. Daher existiert ein $m\in \mathbb {R}$, sodass

$\phi (X(\omega ))\geq \phi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {F}}](\omega ))+m(X(\omega )-\mathbb {E} [X|{\mathcal {F}}](\omega ))$.

Nun nehmen wir auf beiden Seiten den Erwartungswert bezüglich ${\mathcal {F}}$, und verwenden, dass auch $\phi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {F}}](\cdot ))$ ${\mathcal {F}}$-messbar ist. $\Box$