Wahrscheinlichkeitstheorie/ Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Satz (Fast sichere Konvergenz impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Zufallsvariablen, die fast sicher gegen eine Zufallsvariable $X_{\infty }$ konvergiert. Dann konvergiert $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auch in Wahrscheinlichkeit gegen $X_{\infty }$.

Beweis: Definiere die Menge

$A_{n}:=\{\exists m\geq n:|X_{n}-X_{\infty }|\geq \epsilon \}$.

Ferner setze

$A_{\infty }:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$.

Die Mengenfolge $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist absteigend, d. h. sie wird immer kleiner. $A_{\infty }$ ist sogar eine Nullmenge, denn wenn $X_{n}(\omega )$ mit $n\to \infty$ gegen $X_{\infty }(\omega )$ konvergiert, dann ist $\omega \notin A_{n}$ falls $n$ hinreichend groß ist. Aufgrund der Stetigkeit der Wahrscheinlichkeit folgt

$\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (A_{n})=\mathbb {P} (A_{\infty })=0$.

Aber

$\mathbb {P} (|X_{n}-X|\geq \epsilon )\leq \mathbb {P} (A_{n})\to 0$. $\Box$