Martingale mit diskreter Zeit – Wahrscheinlichkeitstheorie

Satz (Doob-Zerlegung):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein stochastischer Prozess. Dann gibt es ein Martingal $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und einen vorhersehbaren Prozess $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, sodass

$X_{n}=M_{n}+A_{n}+X_{0}$

gilt, sowie $M_{0}=A_{0}=0$. Ferner sind $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bis auf Nichtunterscheidbarkeit eindeutig definiert.

Beweis: Zunächst beweisen wir die Eindeutigkeit. Angenommen, es gäbe eine solche Zerlegung. Dann würde gelten

$\mathbb {E} [X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=A_{n}-A_{n-1}$,

d. h.

$A_{n}=A_{n-1}+\mathbb {E} [X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]$.

Diese Rekursion löst sich auf zu

$A_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} [X_{k}-X_{k-1}|{\mathcal {F}}_{k-1}]$.

Es würde außerdem gelten

$M_{n}=X_{n}-A_{n}-X_{0}$.

Damit sind $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bis auf Nichtunterscheidbarkeit eindeutig definiert. Andererseits kann man leicht prüfen, dass $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal und $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ vorhersehbar sind. $\Box$

Proposition (Martingalkriterien basierend auf der Doob-Zerlegung):

Es sei $X_{n}=M_{n}+A_{n}+X_{0}$ die Doob-Zerlegung eines stochastischen Prozesses. Dann ist $X_{n}$ ein Submartingal genau dann, wenn $A_{n}\geq A_{n-1}$. Analoges gilt für Supermartingale und Martingale.

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus

$\mathbb {E} [X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=A_{n}-A_{n-1}$. $\Box$

Definition (Martingal-Transformation):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal und $(C_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein vorhersehbarer Prozess. Dann ist die Martingal-Transformation von $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als der Prozess

$(X\circ C)_{n}:=\sum _{k=1}^{n}C_{k}(X_{k}-X_{k-1})$.

Dieselbe Definition gilt für Sub- und Supermartingale.

Proposition (Martingaltransformation bewahrt Martingale):

Falls $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal und $(C_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein gleichmäßig beschränkter (im Sinne von $\exists M>0:\forall n\in \mathbb {N} :\forall \omega \in \Omega :|C_{n}(\omega )|<M$) vorhersehbarer Prozess ist, so ist $(X\circ C)$ ebenfalls ein Martingal. Analoges gilt für Sub- und Supermartingale.

Beweis: Dies folgt mit

$\mathbb {E} [(X\circ C)_{n}-(X\circ C)_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]=\mathbb {E} [X_{n}-X_{n-1}|{\mathcal {F}}_{n-1}]$;

Die zeitpunktweise $L^{1}$-Beschränktheit ist leicht mit der Dreiecksungleichung nachzuweisen. $\Box$

Satz (Supermartingal-Konvergenzsatz von Doob):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein $L^{1}$-beschränktes Supermartingal. Dann gibt es eine Zufallsvariable $X_{\infty }$, die fast nie unendlich ist, sodass

fast sicher $\lim _{n\to \infty }X_{n}=X_{\infty }$.

Beweis: Für diesen Beweis sehen wir $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als den Stand einer Aktie zum Zeitpunkt $n$ an. Es seien $a>b\in \mathbb {R}$. Dann verfolgen wir folgende Anlagestrategie: Wir arbeiten mit einer einzigen Aktie. Wenn die Aktie unter $b$ ist, so kaufen wir sie. Wenn die Aktie über $a$ gestiegen ist, verkaufen wir die Aktie. Die Intuition ist, dass wenn man das immer wiederholt, man jedes Mal einen Gewinn von $a-b$ macht.

Diese Anlagestrategie wird verkörpert durch den vorhersehbaren stochastischen Prozess

$C_{n}:=\mathbf {1} _{C_{n-1}=1}\mathbf {1} _{X_{n-1}\leq a}+\mathbf {1} _{C_{n-1}=0}\mathbf {1} _{X_{n-1}\leq b}$,

der so gewählt ist, dass der Gewinnprozess $(G_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ durch die Martingal-Transformation $(X\circ C)$ gegeben ist. Allerdings ist $G$ folglich ein Supermartingal, und daher gilt (wenn man die Notation $U_{N}(a,b)$ für die Anzahl der sog. "upcrossings", also der Anstiege von unter $a$ bis über $b$, verwendet), dass

$0\geq \mathbb {E} [G_{N}]\geq (a-b)\mathbb {E} [U_{N}(a,b)]-a-\mathbb {E} [X_{N}]$,

wobei der zweite Term ganz rechts darin begründet ist, dass man genau soviel verlieren kann, wenn die Aktie bis zum Zeitpunkt $N$ gar nicht über $a$ hinausgestiegen ist. Hieraus folgern wir mit dem monotonen Konvergenzsatz, dass

$(a-b)\mathbb {E} [U_{\infty }(a,b)]\leq a+\sup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} [|X_{n}|]<\infty$ ($X$ ist ja $L^{1}$-beschränkt),

und daher

$\mathbb {P} (U_{\infty }(a,b)=\infty )=0$.

Falls nun $X_{n}(\omega )$ nicht konvergiert, so gibt es rationale Zahlen $a,b$, sodass

$\liminf _{n\to \infty }X_{n}(\omega )<a<b<\limsup _{n\to \infty }X_{n}(\omega )$.

Definieren wir also

$\Lambda _{a,b}:=\left\{\omega |\liminf _{n\to \infty }X_{n}(\omega )<b<a<\limsup _{n\to \infty }X_{n}(\omega )\right\}$

für $a,b\in \mathbb {Q}$, so gilt

$\{\omega |X_{n}(\omega ){\text{ konvergiert nicht}}\}\subseteq \bigcup _{a>b \atop a,b\in \mathbb {Q} }\Lambda _{a,b}$;

aber diese Menge ist als abzählbare Vereinigung von Nullmengen selbst eine Nullmenge.

Hieraus ersieht man die fast sichere Konvergenz; der Limes (nennen wir ihn $X_{\infty }$) existiert also für fast jedes $\omega$ als Wert in $[-\infty ,\infty ]$. Um die fast sichere Konvergenz zu beweisen, verwendet man das Lemma von Fatou:

$\mathbb {E} [|X_{\infty }|]=\mathbb {[} \liminf _{n\to \infty }|X_{n}|]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [|X_{n}|]\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} [|X_{n}|]$ $\Box$