Zufall: Allgemeines

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20-seitiger Spielwürfel

Wo finden wir den Zufall?

Fangen wir mit der Erklärung des Begriffes Zufall zunächst mit leicht einsehbaren Aussagen aus dem heutigen Alltagsleben an.

Zufall im praktischen Alltag steckt

Platonische Körper als Würfel.

• in den Lottozahlen,
• im Würfel
• in den platonischen Körpern, wenn man sie als Würfel nutzt.
• im Münzwurf
• im Roulettetisch
• in gemischten Spielkarten

Zufällige Verteilung von Regentropfen auf einem Pflaster

• in den Regentropfen
• in Gasmolekülen
• in der Brownsche Molekularbewegung
• im radioaktiven Zerfall des Urans
• in der Evolution der Lebewesen
• in der Variation und Rekombination des Erbgutes
• wird wirksam bei der Befruchtung einer Eizelle und der Fixierung des Geschlechtes
• in der random Funktion von Computern oder Computerprogrammen

Zufallspunkte programmiert mit Gambas

Wo finden wir keinen oder wenig Zufall?

Siehe Zufall: KeinZufall

Welche Arten von Zufällen gibt es?

Analytischer und synthetischer Zufall

Es gibt

• analytische Zufallsfolgen (Der Ursprung der Sequenz ist unbekannt, die Sequenz schaut zufällig aus)
• synthetische Zufallsfolgen (Die Sequenz wird mit einem echten Zufallsgenerator erzeugt)

Dabei ist der analytische Zufall immer der grundlegendere. Denn man muss erst einen Zufallsgenerator analytisch überprüft (auf Zufall geeicht) haben, bis man ihn für den synthetischen Zufall einsetzen kann.

Beispiele

• elementares Zufallsereignis 0–1, Münze: Wappen oder Zahl
• echte 01 Zufallsfolge durch eine Serie von Münzwürfen gewonnen
• kurze – lange Zufallsfolgen
  • je länger eine Zufallsfolge ist, desto klarer ist sie als zufällig erkennbar
• schiefe Zufallsfolgen (z.B. Würfel mit 5 mal der Zahl 6 und einmal der Zahl 1)
• codierte Zufallsfolgen z.B. Würfelzahlen 1-6 bei 1000 mal Würfeln
• Pseudozufallsfolgen, künstlich errechneter Zufall
• gemischte zufällige und geordnete Folgen
• historisch teilweise zufällige Folgen
  • z.B. genetischer Code
  • z.B. Sprache
• gut komprimierte geordnete Sequenz – die schaut dann sehr zufällig aus und lässt sich kaum mehr komprimieren.

Welche weitere Arten von Zufällen gibt es?

• echter Zufall, Pseudozufall,
• subjektiver Zufall (z.B. Würfel), objektiver Zufall (z.B. radioaktiver Zerfall)
• 50 / 50 Zufall (Münze), Lottozufall (sehr seltenes Ereignis)
• Zufall in der Natur
  • natürlicher Zufall (Zufall in der Natur)
    • anorganischer Zufall (z.B. Radioaktivität)
    • biologischer Zufall (z.B. Geschlecht männlich – weiblich)
• Zufall in der Kultur = künstlicher Zufall (durch Menschen bewußt herbeigeführt, z.B. Münze oder Würfel)
  • elementarer Zufall (Münzwurf) 2 Möglichkeiten, 50 /50 Chance

Koinzidenz

2 Ereignisse oder Ereignisketten sind zufällig irgendwie verbunden

• zufällige gleichzeitige Ereignisse
  • z.B. ein Kind wird geboren gleichzeitig geht der Mond auf.
• zufällige gleichörtliche Ereignisse
  • z.B. an einem Ort in der Wüste fällt ein Meteorit herunter, an derselben Stelle findet sich in 10 m Tiefe Wasser
• zufällige gleichzeitige und gleichörtliche Ereignisse
  • Ein Mensch wird von einem Meteoriten getroffen.

Bedeutung des Zufalls für den Einzelnen

• Glück
• Pechzufall
• Zufall der Vor- und Nachteile bietet

Was nützt uns der Zufall

Ganz egal ob man an den echten Zufall glaubt oder nicht, im praktischen Alltag ist der Zufall längst nicht mehr wegzudenken, denn man kann einige schöne (und unschöne) Dinge damit machen.

Gerechtigkeit produzieren

Um eine möglichst hohe Gerechtigkeit in manchen Situationen zu erzeugen, kann man den Zufall nutzen. Beispiele:

• Knappe Studienplätze vergeben.
• Organempfänger bei Transplantationen auslosen.
  • (Die Zahl der zur Verfügung stehenden Organe ist zu klein, um alle eigentlich notwendigen Transplantationen durchzuführen.)

Wenn man ohne Zufall auskommen will, dann muss man eine Liste von Kriterien aufstellen, die nach ihrer Gewichtung gestaffelt sind. Jeder Bewerber wird dann bewertet, ob er bestimmte Kriterien erfüllt oder nicht. Aus dieser Bewertung resultiert dann seine Chance zum Zug zukommen oder nicht. Solche Listen sind manipulierbar und deswegen oft umstritten. Manchmal ist dann der Zufall tatsächlich gerechter.

Spiele spannend machen

In den meisten Spielen ist ein Zufallsfaktor eingebaut. z.B. Lotto, Klassenlotterie etc. Kein Zufallsfaktor findet sich im Schachspiel. Es könnte prinzipiell rein deterministisch gespielt werden, die große Zahl der Möglichkeiten verhindert aber eine solche deterministisch und damit auch siegessichere Spielweise.

Kartenspiele:

Die Karten werden gemischt

Viele Kartenspiele haben einen Zufallsfaktor in ihren Regeln, beispielsweise im anfänglichen Mischen vor dem Spiel. Auch beim Patiencen legen werden die Karten anfangs zufällig gemischt. Aufgabe des Spielers ist es, wieder eine geordnete Reihenfolge herzustellen, d.h den anfänglichen Zufall wieder zu beseitigen.

Das Game of Life von Conway

Auch das Game of Life von Conway kann man mit einer Zufallsbesetzung der Zellen starten.

Interessant ist es wie aus dem Zufallsmuster gleich am Anfang viele besetzte Gitterpunkte wegfallen, dann mehr oder minder geordnete Strukturen aufblühen und irgendwann ein langweiliger, stabiler Zustand erreicht wird, der sich nur noch begrenzt verändert.

Siehe

• http://www.mathe-online.at/galerie/modsim/modsim.html
• Waybackmaschine anwählen und dann suchen unter www.madeasy.de/2/life.htm
• http://psoup.math.wisc.edu/Life32.html
• http://www.radicaleye.com/lifepage/
• http://dmoz.org/Computers/Artificial_Life/Cellular_Automata/Conway's_Game_of_Life/

Man kann das sehr lehrreiche und gleichzeitig amüsante  Spiel des Lebens von Conway mit einem Zufallsmuster anfangen lassen. Dabei gibt es dann immer 3 Phasen:

• 1. Schnelles Aussterben, wenn das Zufallsmuster am Anfang sehr dicht ist
• 2. Kreative Phase, das Muster blüht auf
• 3. Stabile, langweilige Endphase

Siehe auch http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Game_of_life_torus_100_100_1500.gif ( Game of Life , mit einem Zufallsmuster neu startend )

Literatur

• Das Spiel von Manfred Eigen – ein sehr lesenswertes Buch

Randomisation

Randomisierte Versuche zum Wirksamkeitsnachweis durchführen. Die Wirksamkeit von Medikamenten nachweisen.

Unter dem Begriff Randomisation versteht man die zufallsmäßige Aufteilung einer größeren Anzahl von Versuchspersonen oder Versuchstieren in 2 oder mehrere Gruppen. Umgangssprachlich kann man den Begriff Randomisation auch mit Auslosen übersetzen.

Durch eine Randomisation kann man nicht gewollte, systematische Einflüsse auf Versuchsergebnisse verkleinern. Man braucht die Randomisation bei der Durchführung von statistischen Testverfahren.

Die Wirksamkeit von medizinischen Maßnahmen wird oft mittels Randomisation in eine Gruppe von behandelten und in eine Gruppe von nichtbehandelten Versuchspersonen überprüft.

Manche bringen ethische Bedenken bei der Forderung nach einer Randomisation vor. Diese sind aber meist nicht zutreffend, da die Randomisation die statistische Aussagekraft erhöht und damit gewährleistet, dass möglichst wenige Personen mit der unwirksamen Alternative behandelt werden.

Kryptographie

Echte Zufallszahlen sind wichtig für die Kryptographie z.B. für die Erzeugung von geheimen Schlüsseln sowie in der Simulation zufälliger Prozesse!

Monte Carlo Methode der Flächenberechnung

Stochastik

Die Wissenschaft vom Zufall.

Statistik

Echte Unterschiede in 2 sonst gut vergleichbaren Gruppen herausarbeiten. Die Echtheit von Messdaten überprüfen.

Neue Lösungen suchen

Ausprobieren von zufälligen Möglichkeiten beim Problemlösen und behalten von brauchbaren Möglichkeiten.

Zufall und Geld

Geld verdienen kann der Staat mit Lotto, Toto, Klassenlotterie. In Spielcasinos Geld gewinnen kann der einzelne Mitspieler, wenn er viel Glück hat.

Münzen waren und sind gute Zufallsgeneratoren.

halbwegs sichere Passwörter generieren

Passwörter sind lästig. Man vergisst sie leicht. Man kann sie leicht knacken, wenn sie zu einfach konstruiert sind. Halbwegs sichere Passwörter kann man mit einem Zufallsgenerator erzeugen. Dazu listet man die erlaubten Zeichen für das Passwort auf und ordnet jedem Zeichen eine fortlaufende Zahl zu. Dann läßt man einen Zufallsgenerator mit der festgestellten Zeichenzahl mehrmals laufen, notiert das erhaltene Zeichen und wiederholt den Vorgang bis zu erlaubten Länge des Passwortes. So erhält man ein ziemlich sicheres, leider aber auch schwer zu merkendes Passwort.

Wie kann man Zufall künstlich erzeugen? Zufallsgeneratoren

Zufallszahlengenerator

Als Zufallszahlengenerator, gelegentlich auch Zufallsgenerator oder schlicht Generator, bezeichnet man eine Prozedur, die eine Folge von Zufallszahlen erzeugt.

Das Simulationslemma besagt: Mit Hilfe von Standard-Zufallszahlengeneratoren kann man prinzipiell Zufallsvariablen (bzw. unabhängige, identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen) zu jeder anderen Verteilung F über R simulieren (Inversionsmethode).

Arten von Zufallszahlengeneratoren

Man unterscheidet unter anderem folgende Arten von Zufallszahlengeneratoren (Auswahl): physikalischer Zufallszahlengenerator (z. B. Ausnutzung radioaktiver Zerfallsvorgänge oder elektronischer Impulsschwankungen) arithmetischer Zufallszahlengenerator (basieren auf der Arithmetik) rekursiver arithmetischer Zufallszahlengenerator (Verwendung rationaler Zahlen) Kongruenzgenerator linearer Kongruenzgenerator multiplikativer Kongruenzgenerator gemischter linearer Kongruenzgenerator Fibonacci-Generator inverser Kongruenzgenerator Schieberegister mit Rückkopplung lineares Schieberegister nichtlineares Schieberegister Auszählreime in Kinderspielen stellen eine Art analoge Version von Zufallsgeneratoren da.

Rekursive arithmetische Zufallszahlengeneratoren gehören zu den Pseudozufallszahlengeneratoren, da sie bestimmte Eigenschaften von Zufallszahlen verletzen und man nur von Pseudozufallszahlen sprechen kann.

Beispiele

Münze, Würfel, Roulette, Urne

Reissnagel

Reißnagel als Beispiel einer ungleichen Zufallsverteilung

Der Reißnagel ist das Beispiel eines binären Zufallsgenerators mit ungleicher Zufallsverteilung p ungleich q.

Man wirft den Reißnagel in die Luft und registriert dann, ob er auf dem Rücken oder schräg auf dem Nagel zu liegen kommt.

Würfel:

Zwei Spielwürfel

Ein Spielwürfel ist ein als Zufallsgenerator verwendeter Gegenstand, der auf mehrere, voneinander unterscheidbare Arten stabil auf der Ebene zu liegen kommen kann. Die meisten Würfel sind heute aus Holz oder Kunststoff und haben einen Durchmesser von etwa eineinhalb Zentimetern. Spielwürfel werden vor allem in den nach ihnen benannten Würfelspielen und in Glücksspielen, gelegentlich auch in Brettspielen verwendet.

Zum Bestimmen des Zufallsergebnisses wird der Würfel auf eine ebene Fläche geworfen. Sind mehrere Würfel gleichzeitig zu werfen oder soll das Ergebnis nicht allen Spielern einsichtig sein, so ist es zweckmäßig einen Würfelbecher zu benutzen. Nachdem der Würfel zur Ruhe gekommen ist, kann das Ergebnis an seiner Lage abgelesen werden.

Weitere in Spielen gebräuchliche Zufallsgeneratoren sind Spielkarten, das Glücksrad und das Knobeln. Formen

Die am meisten verwendete, klassische Form ist die eines geometrischen Würfels, worauf auch der Begriff Spielwürfel zurückgeht. Um seine Rolleigenschaft zu verbessern, sind die Ecken heute häufig abgerundet. Die Flächen sind meistens mit ein bis sechs Punkten versehen, die auch als Augen bezeichnet werden, wobei die Augensumme sich gegenüberliegendener Seiten in der Regel sieben ergibt. Die Orientierung der gegenüberliegenden Paare (1,6), (2,5), (3,4) ist im westlichen Kulturkreis so festgelegt, dass die Ziffern 1, 2 und 3 im Gegenuhrzeigersinn gesehen werden, während sie im Fernen Osten im Uhrzeigersinn ausgerichtet sind.

In der Antike und im Mittelalter wurden Sprunggelenkknöchelchen von Paarhufern wie Schafen oder Ziegen zum Würfeln verwendet. Im Mittelalter waren sie unter dem Namen Buckelhörner bekannt; der lateinische Name lautet astragali. Durch deren kantige Form sind vier verschiedene Ruhepositionen möglich. Die Wahrscheinlichkeit für diese Ergebnisse ist unterschiedlich hoch, eine Tatsache, die auch in den Regeln des beliebten römischen Würfelspiels Astragaloi berücksichtigt wird.

Im Sinne dieses Artikels ist auch ein Münzwurf als Würfel anzusehen. Münzen wurden wohl seit ihrer Erfindung auch für Zufallsentscheidungen benutzt.

Vor allem im Papier-und-Bleistift-Rollenspiel kommen auch vom Würfel verschiedene Polyederformen zum Einsatz. Dabei wünscht man, dass die einzelnen Ergebnisse mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten und die Ruhepositionen eine gewisse Stabilität in ihrer Lage aufweisen. Diese Eigenschaften sind für die fünf platonischen Körper erfüllt, die nicht zuletzt auch deshalb gerne benutzt werden, da ihnen aufgrund ihrer zahlreichen Symmetrien ein hoher ästhetischer Reiz zugesprochen wird. Weil der klassische Würfel selbst auch ein platonischer Körper ist, ergeben sich als neue Formen vier-, acht-, zwölf- und 20-seitige Spielwürfel.

4-seitiger Spielwürfel

Das vierseitige Tetraeder weist dabei die Besonderheit auf, dass in den Ruhepositionen keine Fläche, sondern eine Ecke des Körpers nach oben weist, und sich deshalb die Ergebnisse nicht auf die gewohnte Weise von den Seiten ablesen lassen. Deshalb sind hier häufig die nach oben ragende Ecke oder, wie auf dem Foto zu sehen, die Kanten der untenliegenden Seite an den sichtbaren, angrenzenden Seiten markiert.

Ebenfalls gebräuchliche zehn- und 100-seitige Würfel weisen im Verhältnis zu ihrer Flächenanzahl weniger Symmetrien auf als die platonischen Körper. Sie werden aber gerne benutzt, um beispielsweise in unserem Dezimalsystem zufällige Prozentzahlen zu erzeugen.

Einen Spielwürfel, bei dem jedes mögliche Ergebnis mit exakt gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt, nennt man einen idealen Würfel. Für die meisten Würfel wird die Form eines idealen Würfels gewählt, wobei physikalisch bedingt immer gewisse Abweichungen bei der Fertigung auftreten. Bei einem guten Würfel ist diese Abweichung sehr gering. Gelegentlich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung bewusst zugunsten bestimmter Ergebnisse manipuliert, möglichst ohne den Würfel optisch zu verändern, um sich im Spiel einen Vorteil zu verschaffen. In diesem Fall spricht man von einem gezinkten Würfel. Die Möglichkeiten beinhalten das Verändern der Gewichtsverteilung, unterschiedlich stark abgerundete Kanten bzw. Ecken sowie das Verziehen von manchen Flächen. Zu stark gezinkte Würfel verraten sich durch eine torkelnde Rollbewegung, was beim Einsatz eines Würfelbechers aber nicht auffällt. Eine weitere Manipulationsmöglichkeit ist es, im Inneren des Würfels einen Dauermagneten zu platzieren um den Würfelwurf bei Bedarf durch einen zweiten, beispielsweise unter die Tischplatte gehaltenen, Magneten zu beeinflussen. Um das Zinken zu erschweren, werden im Kasino transparente Würfel eingesetzt.

Urne

• Ohne zurücklegen
• Mit zurücklegen

Urne mit 6 verschiedenen Kugeln

Eine Urne ist ein Behälter in dem meist feststoffliche Dinge temporär oder dauerhauft aufbewahrt werden.

Lotterieurnen

Bei  Lotterien und verwandten Spielen werden Lose oder Kugeln in eine Urne gesteckt und anschließend verdeckt gezogen, um ein Zufallsereignis zu erzeugen. Urnen haben sich dabei als universelle Werkzeuge der Stochastik erwiesen, da man mit ihnen fast alle Arten von Zufall und Wahrscheinlichkeit simulieren kann. Wichtig ist der Unterschied der Ziehung mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen.

Eine Frage an die Experten: Wieviel Bit an Entropie steckt in jedem Zug dieser 6er Urne unter der Voraussetzung, dass alle Kugeln gleichwahrscheinlich p = 1/6 gezogen werden?

Antwort; S = 2,585... bit

Siehe auch Entropie des 6er Würfels

Galtonbrett

Galtonbrett

Ein Galtonbrett (nach Francis Galton) ist ein mechanisches Modell zur Demonstration und Veranschaulichung der Binomialverteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen Zufallsexperimenten eine Rolle spielt.

Das Galtonbrett besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von Hindernissen, an denen eine von oben eingeworfene Kugel jeweils nach links oder rechts abprallen kann. Nach dem Passieren der Hindernisse werden die Kugeln in Fächern aufgefangen, um dort gezählt zu werden.

Jedes Aufprallen einer Kugel auf eines der Hindernisse ist ein Bernoulli-Versuch. Die beiden möglichen Ausgänge sind „Kugel fällt nach rechts“ (X=1) und „Kugel fällt nach links“ (X=0).

Bei symmetrischem Aufbau ist die Wahrscheinlichkeit, nach rechts zu fallen, $P(1)=p=$ 1/2 und die Wahrscheinlichkeit, nach links zu fallen, $P(0)=q=$1/2. Durch unsymmetrischen Aufbau oder durch Schiefstellen des Brettes kann man auch einen anderen Wert für $p$ erreichen, wobei aber natürlich weiterhin $q=1-p$ ist, denn die Kugeln, die nicht nach rechts fallen, fallen nach links. Dieser Fall wird weiter unten besprochen.

Wenn die Kugel nach Passieren des ersten Hindernisses auf ein neues trifft, bei dem die gleichen Voraussetzungen gelten, wird hier ein weiterer Bernoulli-Versuch durchgeführt; das Durchlaufen des ganzen Gerätes ist also eine mehrstufige Bernoulli-Kette, wobei die Zahl der waagerechten Reihen von Hindernissen die Länge dieser Kette ist. Im dargestellten Bild handelt es sich demnach um eine 4-malige Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs, d.h. eine Bernoulli-Kette der Länge 4.

Man kann nun berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Kugel in ein bestimmtes der Fächer fällt. Bei nur einem Hindernis (A) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2 für links und für rechts, oder, anders formuliert, im Mittel fällt die Hälfte aller Kugeln nach rechts und die Hälfte nach links. Damit trifft jeweils die Hälfte der Kugeln auf B und die andere Hälfte auf C, wo sie sich wieder mit gleichen Wahrscheinlichkeiten nach links und rechts aufteilen. Damit fällt aber nur noch 1/4 der Kugeln an B nach links, 1/4 an C nach rechts, und jeweils 1/4 von links und von rechts in den Zwischenraum zwischen B und C. Hier addieren sich die Wahrscheinlichkeiten also, und 1/4 + 1/4 = 2/4 (= 1/2, aber mit Absicht nicht gekürzt) fällt in der Mitte zwischen B und C hindurch.

Anhand der Abbildung kann man weiter verfolgen, wie der Strom der Kugeln sich an jeder Hindernisreihe aufteilt (an der nächsten wird man daher mit Achteln, an der übernächsten mit Sechzehnteln des Gesamtbestandes rechnen müssen) und sich andererseits in jedem Zwischenraum zwischen zwei benachbarten Hindernissen wieder vereinigt.

Die sich so ergebenden Wahrscheinlichkeiten nach der letzten Aufteilung und Vereinigung an der untersten Hindernisreihe (G,H,I,J) sind die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Kugeln in die Fächer (R,S,T,U,V) fallen.

Im Beispiel haben alle diese Wahrscheinlichkeiten den Nenner 16, da es 4 Reihen von Hindernissen sind (16=2⁴). Die Zähler ergeben sich durch Addieren der Zähler in der Reihe darüber, was der Vereinigung der Kugelströme in den Zwischenräumen entspricht. Damit ergibt sich folgendes Schema für die Wahrscheinlichkeiten:

                  Zähler:        Nenner:
    Reihe 0:         1              1
          1:        1 1             2
          2:       1 2 1            4
          3:      1 3 3 1           8
          4:     1 4 6 4 1         16

Man erkennt, dass die Zähler die Binomialkoeffizienten sind, denn sie entstehen nach dem Schema des Pascalschen Dreiecks. Die Nenner sind Potenzen von 2, sie folgen aus der Wahrscheinlichkeit $p=q=$1/2, nach rechts bzw. links zu fallen.

Weblink

• Applet zur Veranschaulichung der Uni Kiel

Literatur

• Gerd Binnig: Aus dem Nichts. Über die Kreativität von Natur und Mensch (1997)
• Sir Francis Galton: Natural inheritance, Macmillan, 1889 (Enthält die Beschreibung des Galton Bretts).

Roulette

Felder beim Roulette

Roulette ist ein Glücksspiel, bei dem üblicherweise in einer Spielbank mit Hilfe einer Kugel in einem rotierenden, liegenden Rad (genannt: Kessel) eine Zufallszahl gezogen wird. Die Spieler wetten auf die Zahl oder auf Zahlengruppen (so genannte Chancen), indem sie ihren Einsatz mit Hilfe von Spielmarken (Jetons) auf die entsprechenden Felder des Spieltisches legen. Wird die Zahl gezogen oder ist in der entsprechenden Zahlengruppe, wird ein Vielfaches des Einsatzes als Gewinn ausgezahlt und der Einsatz zurückgegeben. Wird die Zahl nicht gezogen, fällt der Einsatz an die Spielbank.

Die Erfindung des Roulettespiel wird dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zugeschrieben. Er soll es zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten entworfen haben. Es wird mit den Zahlen 0 bis 36 gespielt. In manchen Spielbanken, so in Belgien, gibt es auch, zum Vorteil der Spielbank, die Doppelnull. In den USA wird auf einem vereinfachten Tableau mit Doppelnull gespielt.

Standardtypen der Wetten

Im Roulettespiel gibt es Standards bei den Wetten. Gewettet werden kann

• auf eine einzelne Zahl, z.B. 1, genannt: Plein, Gewinnwahrscheinlichkeit 1/37, bei Gewinn gibt es das 35-fache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf zwei auf dem Spielplan nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 und 2 oder 1 und 4, genannt: Cheval, Gewinnwahrscheinlichkeit 2/37, bei Gewinn gibt es das 17-fache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf drei auf dem Spielplan nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1, 2 und 3, genannt: Transversale Plein, Gewinnwahrscheinlichkeit 3/37, bei Gewinn gibt es das 11-fache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf vier Zahlen, die auf dem Spielplan ein Quadrat bilden, z.B. 1, 2, 4 und 5, genannt: Carre; oder auf die ersten vier Zahlen 0, 1, 2 und 3, genannt: Die ersten Vier. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 4/37, bei Gewinn gibt es das Achtfache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf sechs auf dem Spielplan nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 bis 6, genannt: Transversale Simple, Gewinnwahrscheinlichkeit 6/37, bei Gewinn gibt es das Fünffache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf 12 auf dem Spielplan nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 bis 12, genannt: Dutzende; oder 12 untereinanderliegende Zahlen, z.B. 1, 4, 7, ..., 34, genannt: Kolonnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 12/37, bei Gewinn gibt es das Zweifache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
• auf 18 Zahlen, die einer Gruppe angehören, die so genannten "einfachen Chancen". Dabei werden drei unterschiedliche Gruppen gebildet, nämlich die Zahlen 1 bis 18, genannt: Manque, und 19 bis 36, genannt: Passe; die geraden Zahlen 2, 4, 6, ..., 36 genannt: Pair, und die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, ..., 35 genannt: Impair; sowie die so genannten roten Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, ..., 36, genannt: Rouge; und die so genannten schwarzen Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 11, ..., 35, genannt: Noir. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 18/37, bei Gewinn gibt es den einfachen Einsatz und den Einsatz zurück.
• auf Zahlen, die im Kessel nebeneinander angeordnet sind. Dabei werden im Standard drei Gruppen unterschiedlicher Größe gebildet, welche die Namen "Große Serie 0/2/3", "Serie 5/8" und "Orphelins" tragen.

Generell gilt: Je höher die Gewinnwahrscheinlichkeit, umso geringer die Gewinnausschüttung, und umgekehrt. Die Standardwetten erlauben es den Spielern, mit dem geforderten Minimaleinsatz auf mehr als eine Zahl zu wetten. Darüber hinaus steht es jedem Spieler frei, pro Durchgang seine eigenen Zahlenkombinationen zu bilden, für die er im Allgemeinen dann jedoch mehr als den Minimaleinsatz aufwenden muss.

Die Chance beim Roulette-Spiel bedeutet die Art und Höhe eines Einsatzes gemäß den Spielregeln.

Konventionelle Satzmöglichkeiten sind:

• Plein = 1 Nummer
• Cheval = 2 Nummern
• Transversale Simple = 3 Nummern
• Erste Drei = 3 Nummern (1, 2, 3)
• Carré = 4 Nummern
• Erste Vier = 4 Nummern (0, 1, 2, 3)
• Transversale Simple = 6 Nummern
• Dutzend = 12 Nummern (auch doppelte Chance genannt)
• Kolonne = 12 Nummern (auch doppelte Chance genannt)
• Einfache Chance = 18 Nummern

Daneben spricht man von "objektiven" und "subjektiven" Chancen, um die Möglichkeit des Gewinns zu verdeutlichen. Die "subjektive" Chance ist das Setzen auf eine "Glückszahl" (wie Geburtstag oder Hochzeitstag) ohne Beachtung der Permanenz (der bisher gefallenen Nummern) oder statistischer Verteilungen. Im Gegensatz dazu nutzt die "objektive" Chance bestimmte Ausprägungen der Permanenz aus und setzt z.B. auf die 3 letzten noch nicht gefallenen Nummern oder auf den Wechsel einer Farbe nach Zero. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung entlarvt solche einfachen "Strategien" jedoch als keineswegs "objektiv", sondern als bloßen Wahn. Personen, die allzu fest an diese Strategien glauben, sind vermutlich Spielsucht-gefährdet.

Man spricht von Chancengröße m, um die Anzahl der gesetzten Nummern eines Satzes anzugeben. Bei einfachen Chancen (Rot oder Schwarz) ist m = 18, beim Carré ist m = 4.