Diskussion:Spezielle Relativitätstheorie: Teil II

Die Relativität der Masse

Die Argumetation mit der "Relativität der Masse" ist schräg, wie z.B. auf wikipedia [1] gut beschrieben: "Das Konzept der relativistischen Masse bzw. der relativistischen Massenzunahme relativ zum ruhenden Beobachter bewegter Körper bietet sich interpretatorisch zunächst an, führt jedoch aus mathematischer Sicht in eine konzeptionelle Sackgasse und ist didaktisch kontraproduktiv."

[1]http://de.wikipedia.org/wiki/Relativistische_Masse

grüße, jörg

P.S.: grad erst bemerkt das es WikiBooks gibt, toll :-)

P.S.S.:Die Formeln sehen in Tex klasse aus. Danke

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Dennoch mutiert die relativistische Masse zu einer anständigen Ruhemasse, wenn sie zur Ruhe kommt. Und das möchte ich mal anhand meiner eigenen Ableitung von E=mc² zeigen.

Die Lorentztransformation hab ich ja schon hier abgeleitet.

http://de.wikibooks.org/wiki/Diskussion:Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie:_Teil_I#einfache_Ableitung_der_LT.

Über die Lorentztransformation kann man zunächst die relativistische Geschwindigkeitsaddition ermitteln.

$(1)\quad v={\frac {u+w}{1+{\frac {u\cdot w}{c^{2}}}}}\quad (relativistische\quad Geschwindigkeitsaddition)$

Setzt man w=u, so folgt daraus

$(2)\quad v={\frac {2\cdot u}{1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\quad (relativistische\quad Geschwindigkeitsverdopplung)$

Nach u aufgelöst haben wir

$(3)\quad u={\frac {v}{1+{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\quad (relativistische\quad Geschwindigkeitshalbierung)$

Als nützlich wird sich erweisen, wenn wir (3) so umformen, dass auf einer Seite u/(v-u) da steht.

$(4)\quad {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {u}{v-u}}={\frac {1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}$

Jetzt nehmen wir 2 gleiche Massen mit der Ruhemasse m. Masse 1 ruht in K bei x=0. K’ bewegt sich mit u gegenüber K. Masse 2 bewegt mit u gegenüber K’ in derselben Richtung wie K’ gegenüber K.

Beide Massen stoßen unelastisch zusammen bei x=0 und x’=0. Relativ zu x’=0 kommen also beide Massen aus entgegen gesetzten Richtungen mit u dahergeschossen und verharren deshalb nach dem unelastischen Stoß an diesem Punkt in K’

Aus Sicht der Masse, welche ursprünglich in K ruhte, sieht die Sache folgendermaßen aus. Die andere Masse kommt mit v an und wird durch den Stoß auf u abgebremst. Siehe (2) und (3).

Gestehen wir nun dieser “anderen Masse” eine ominöse Impulsmasse (M) zu, so errechnet sich diese nach dem Impulserhaltungsgesetz so:

M*v=(M+m)*u. Wenn wir nach M auflösen und dabei (4) zu Hilfe nehmen, gelangen wir zu

$(5)\quad M=m\cdot {\frac {u}{v-u}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Als “Zusatzmasse” (siehe auch (4))errechnet sich (weil u~v/2 für v<<c)

$(6)\quad M-m=m\cdot ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1)=m\cdot {\frac {2\cdot {\frac {u^{2}}{c^{2}}}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\sim {\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {\frac {v^{2}}{c^{2}}}\quad (fuer\quad v<<c)$

Da nun die kinetische Energie eines Körpers (für v<<c) sich so errechnet: E=(½)*m*v² gilt auch:

$(7)\quad (M-m)\cdot c^{2}=E_{\text{kin}}$

Bezeichnen wir nun die Massendifferenz (M-m) mit m, so kommt das da raus.

$(8)\quad E=m\cdot c^{2}$

Dass relativistische Masse beim unelastischen Stoß zu einer ganz real, auch wägbaren Massse werden kann, lässt sich auch beim umgekehrten Vorgang der Kernspaltung zeigen. Unsere Uranatome, welche mehr wiegen als die Summe ihrer Einzelteile gingen schließlich aus den unelastischen Zusammenstößen kleinerer Atome hervor.

Relativistische Masse mutierte vor vielleicht 5 Milliarden Jahren in einer Supernovaexplosion zu Ruhemasse

--Willi windhauch 05:22, 30. Aug. 2010 (CEST)

Noch ein Wort zu kondensierter relativistischer Masse. Vor dem Stoß ist ja der Impuls m*v/Wurzel(1-v²/c²). Nun darf man allerdings nach dem Stoß nicht die Ruhemasse von 2*m verwenden und den Impuls nach dem Stoß zu 2*m*u/Wurzel(1-u²/c²) berechnen.

Denn von K' aus betrachtet stießen ja beide Massen jeweils mit u zusammen und ähnlich wie bei der “umgekehrten Kernspaltung” kondensierte relativistische Masse zu einer neuen Ruhemasse mit der Größe 2*m/Wurzel(1-u²/c²). Diese neue Ruhemasse nochmals mit u multipliziert und nochmals durch denselben Wurzelfaktor geteilt ergibt dann den Impuls nach dem Stoß.

Von der Richtigkeit nachfolgender Formel überzeugt man sich einfach durch einen Blick auf (2) und (4).

$\quad {\frac {{m}\cdot v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\frac {2\cdot {m}\cdot {u}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {2\cdot {m}\cdot {u}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}$ --Willi windhauch 05:28, 31. Aug. 2010 (CEST)

E=mc² kann man auch so ableiten: Hugo, ein Erdenbewohner mit der Masse m möchte zu den Sternen reisen. Da er auch im All auf sein gewohntes Erdengewicht nicht verzichten will, reguliert er die Beschleunigung seines Raumschiffes so, dass der Differentialquotient aus Impuls durch Zeit seinem irdischen Gewicht entspricht:

$F=m\cdot {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}({\frac {v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}})=m\cdot g$

Da also die auf Hugo einwirkende Kraft konstant sein soll folgt daraus:

${\frac {v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=g\cdot t$

Teilt man nun auf beiden Seiten durch c, bildet das Quadrat und zählt 1 dazu, so hat man (2b). Nach v aufgelöst( 2a).

Die Stammfunktion (1a) verrät uns, wie viel Weg nach einer bestimmten Zeit zurück gelegt wird und die Ableitung (3a) gibt an, welche Beschleunigung im System der Erde registriert wird.

Zu (1b) und (3b) gelangt man recht einfach über (2b)

$(1a)\quad s={\frac {c^{2}}{g}}\cdot ({\sqrt {1+{\frac {g^{2}\cdot t^{2}}{c^{2}}}}}-1)\qquad \qquad (1b)\quad s={\frac {c^{2}}{g}}\cdot ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1)$

$(2a)\quad v={\frac {g\cdot t}{\sqrt {1+{\frac {g^{2}\cdot t^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad (2b)\quad {\frac {1}{\quad 1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=1+{\frac {g^{2}\cdot t^{2}}{c^{2}}}$

$(3a)\quad a={\frac {g}{({1+{\frac {g^{2}\cdot t^{2}}{c^{2}}}})^{1{.}5}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (3b)\quad a=g\cdot ({1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}})^{1{.}5}$

Nehmen wir an, am Ende seiner Reise verlässt Hugo sein Raumschiff und kollidiert mit einem Planeten, was einem unelastischen Stoß gleichkommt (siehe oben).

Dann ist m_rel (relativistische Masse) diejenige Masse um die sich die Planetenmasse vergrößert und m_zus (Zusatzmasse) diejenige Masse, die Hugo zusätzlich zu seiner Ruhemasse mitbringt, wobei gilt:

$\quad m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};\qquad m_{\text{zus}}=m_{\text{rel}}-m={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-m=m\cdot ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1)$

Um nun die kinetische Energie von Hugo zu ermitteln, multipliziert man seinen zurückgelegten Weg, mit der konstanten Kraft, die ständig während seines Weges auf ihn einwirkt (m*g*s) und über (1b) gelangt man zu diesem Ergebnis:

$\quad E_{\text{kin}}=m\cdot g\cdot s=m\cdot c^{2}\cdot ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1)=(m_{\text{zus}})\cdot c^{2}$
--Willi windhauch 20:26, 27. Nov. 2010 (CET)

Formel-Images

Ich beginne damit, einige Formel-Images zu TeX umzuwandeln. Ich bitte um Kritik und Verbesserungen, bevor ich die Formeln in das Wikibook integriere. Spektr 15:57, 31 May 2004 (UTC)

Ich habe die vielen überflüssigen Klammern rausgeworfen und "\mbox{m}" durch "\mathrm{m}" ersetzt. Hoffe, die Übersichtlichkeit der Formeln hat dadurch gewonnen. -- Hansm 12:40, 12. Mär 2006 (UTC)

Image:Formel4.1.jpg

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$x'(A)={300m-100{m \over \mu s}1\mu s \over {\sqrt {1-{1 \over 9}}}}={200m \over {\sqrt {8 \over 9}}}=212m$

Image:Formel4.3.jpg

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$t'(A)={1\mu s-{100{m \over \mu s} \over 300^{2}{m^{2} \over (\mu s)^{2}}} \over {\sqrt {8 \over 9}}}={(1-{1 \over 3})\mu s \over {\sqrt {8 \over 9}}}=0,707\mu s$

Image:Formel4.2.jpg

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$t'(A')={0-{100 \over 300^{2}}300\mu s \over {\sqrt {8 \over 9}}}=-0,354\mu s$

Image:Formel4.4.jpg

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$x'(A')={300m-0 \over {\sqrt {8 \over 9}}}=318m\ \ \ {\mbox{und}}\ \ \ x'(B')=-318m$

Image:Formel4.5.jpg

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$l=l'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ \ \ {\mbox{Beobachter in}}\ S$ $l=l'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ \ {\mbox{Beobachter in}}\ S$

Image:Formel4.6.jpg

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$l'=l{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ \ {\mbox{Beobachter in}}\ S'$

Image:Formel4.7.jpg

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$l'={l \over {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Anonyme Korrektur in Gl. bei Uhrenvergleich

Obwohl bei anonymen Änderungen von Gleichungen erst mal alle Alarmglocken läuten, meine ich, dass die Änderung von 84.135.0.71 tatsächlich eine Korrektur war. Also Zustimmung. -- Hansm 10:37, 12. Mär 2006 (UTC)