Ing Mathematik: Absolutbetrag

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Der Absolutbetrag einer Zahl x\in\mathbb{R} ist definiert als

|x| = \begin{cases} x ,\;\mbox{falls}\ x\ge 0 \\ -x ,\;\mbox{falls}\ x < 0 \\ \end{cases}


Das bedeutet, dass |x| immer größer oder gleich Null ist.


Der Absolutbetrag einer Zahl z\in\mathbb{C} mit z = a + jb \ und a, b \in\mathbb{R} ist

|z| = \sqrt{a^2+b^2} \quad (|z|\in\mathbb{R})

[Bearbeiten] Regeln

  • |x| = |-x|\
  • |x-y| = |y-x|\
  • |xy| = |x||y|\
  • Für y\ne 0 gilt: \left|\frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}
  • |x| = \sqrt{x^2}
  • Dreiecksungleichung: \begin{cases} |x+y| \le |x| + |y| \\ |x-y| \ge |x| - |y| \end{cases}

[Bearbeiten] Übungen

  • Bestimmen Sie alle x\in\mathbb{R}, für die | x − 5 | < | x + 2 | gilt.
  • Bestimmen Sie alle x,y\in\mathbb{R}, für die |x+y|\le 1 gilt.


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