Ing Mathematik: Komplexe Zahlen

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Was ist die Wurzel aus $- 1$ . Nun man weiss es nicht so genau. Einige Leute behaupten es sei Unfug dies Zahl überhaupt berechnen zu wollen. Schliesslich sucht man ja eine Zahl die mit sich selbst multipliziert negativ ist. Eine solche kann es wohl nicht geben. Denn jede reele Zahl die man mit sich selbst multipliziert ergiebt einen Wert größer oder gleich 0. Also kann $\sqrt{-1}$ keine reelle Zahl sein. Dennoch gehen wir einfach mal hin und erfinden eine Variable $i$ mit:

$i^2=-1 \;$

Man nennt $i$ auch die imaginäre Einheit. In der Elektrotechnik braucht man den Buchstaben $i$ für die Strom und weicht daher dort auf den Buchstaben $j$ für die imaginäre Einheit aus. Mit $i$ ergeben sich neue Zahlen, die komplexen Zahlen sie haben das Symbol

$\Bbb C$ (komplexe Zahlen)

man schreibt sie häufig in der Form:

$z=a+ib \;$

Wobei a und b gewöhnliche relle Zahlen (also Zahlen aus $\Bbb R$ ) sind. $z$ ist dann eine sogennate komplexe Zahl. $a$ nennt man den Realteil von $z$ und $b$ den Imaginärteil von $z$ . Dafür schreib man auch:

a = Re(z) = Re(a + i b)

b = Im(z) = Im(a + i b)

Mit komplexen Zahlen rechnet man genauso wie mit gewöhnlichen Zahlen. Jedoch sollte man versuchen jedes $i 2$ dass sich beim Rechnen ergibt durch $- 1$ zu ersetzten. So ergibt sich für die Addition und Subtraktion

$\begin{matrix} z_1+z_2 &=& a_1+ib_1+a_2+ib_2 &=& (a_1+a_2)+i(b_1+b_2) \\ z_1-z_2 &=& a_1+ib_1-(a_2+ib_2) &=& (a_1-a_2)+i(b_1-b_2) \end{matrix}$

[Bearbeiten] Addition

Bei der Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen werden also Realteil und Imaginäteil unabhängig von einanber subtrahiert bzw. addiert. Man kann dies auch einzeln für den Relateil und den Imaginärteil aufschreiben.

$\begin{matrix} \mathrm{Re}(z_1+z_2) &=& \mathrm{Re}(z_1)+\mathrm{Re}(z_2) \\ \mathrm{Im}(z_1+z_2) &=& \mathrm{Im}(z_1)+\mathrm{Im}(z_2) \\ \mathrm{Re}(z_1-z_2) &=& \mathrm{Re}(z_1)-\mathrm{Re}(z_2) \\ \mathrm{Im}(z_1-z_2) &=& \mathrm{Im}(z_1)-\mathrm{Im}(z_2) \end{matrix}$

[Bearbeiten] Multiplikation

Bei der Multiplikation wird es schon etwas interessanter

$\begin{matrix} z_1 \cdot z_2 &=& (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = a_1 a_2 + a_1 i b_2 + i b_1 a_2 + i b_1 i b_2 = a_1 a_2 + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) + i^2 b_2 b_2 \\ &=&(a_1 a_2 - b_1 b_2) + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) \end{matrix}$

wobei wir im lezten Schritt $i 2$ durch $- 1$ ersetzt haben. Hier können die Real- und Imaginärteile also nicht mehr unabhänging behandelt werden. Für die Real und Imaginärteile bei der Multiplikation ergibt sich entsprechend:

$\begin{matrix} \mathrm{Re}(z_1 \cdot z_1)&=& \mathrm{Re}(z_1) \cdot \mathrm{Re}(z_2) -\mathrm{Im}(z_1) \cdot \mathrm{Im}(z_2) \\ \mathrm{Im}(z_1 \cdot z_1)&=& \mathrm{Re}(z_1) \cdot \mathrm{Im}(z_2) +\mathrm{Im}(z_1) \cdot \mathrm{Re}(z_2) \end{matrix}$

[Bearbeiten] Konjugiert komplexe Zahlen

Zur jeder komplexen Zahl gibt es eine konjugiert komplexe Zahl. Beim konjugieren wird einfach das Vorzeichen des Imaginärteils umgekeht. Die konjugiert komplexe Zahl zu $z$ wird mit $\bar{z}$ bezeichnet. Als Formel kann man somit schreiben:

$\bar{z}=\overline{a+ib}=a-ib$

Es gibt die folgenden interessanten Beziehungen mit dem Real- und Imaginärteil.

$\begin{matrix} \mathrm{Re}(z)&=& \mathrm{Re}(a+ib)= a = \frac{a+ib+a-ib}{2}=\frac{z+\overline{z}}{2}\\ \mathrm{Im}(z)&=& \mathrm{Im}(a+ib)=b= \frac{a+ib-(a-ib)}{2i}=\frac{z-\overline{z}}{2i}\\ \end{matrix}$

Für das Addieren bzw. Multiplizieren von komplexen Zahlen gelten sehr einfache Rechenregeln.

$\begin{matrix} \overline{z_1 + z_2}&=& \overline{z_1} + \overline{z_2} \\ \overline{z_1 \cdot z_2}&=& \overline{z_1}\cdot \overline{z_2} \\ \end{matrix}$

Diese wollen wir kurz nachrechen:

$\begin{matrix} \overline{z_1 + z_2}&=& \overline{a_1+ib_1 +a_2+ib_2 } \\ &=&\overline{a_1+a_2+i(b_2+b_2) } \\ &=&a_1+a_2-i(b_1+b_2) \\ &=&a_1-i b_1+a_2-i b_2 \\ &=&\overline{z_1}+\overline{z_2} \\ \overline{z_1 \cdot z_2}&=& \overline{ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) } \\ &=& \overline{(a_1 a_2 - b_1 b_2) + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) }\\ &=& (a_1 a_2 - b_1 b_2) - i (a_1 b_2 + a_2 b_1) \\ &=& a_1 (a_2- i b_2) - i b_1 (a_2-i b_2) \\ &=& (a_1- i b_1 ) (a_2- i b_2) \\ &=& \overline{(a_1 + i b_1 )} \cdot \overline{(a_2 + i b_2)} \\ &=& \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{matrix}$

Durch wiederholte Anwendung dieser Rechenregel erhällt man für alle natürlichen Zahlen n:

$\overline{z^n}=\overline{z}^n$

und auch für Polynome:

$\overline{a_0+a_1 z+ a_2 z^2+...+ a_n z^n}= \overline{a_0}+\overline{a_1} \overline{z}+ \overline{a_2} \overline{z}^2+...+\overline{a_n} \overline{z}^n$

Die Exponentialfunktion ist durch eine Reihenentwicklung definiert:

$e^z= exp(z)=1+\frac{1}{1!} z+ \frac{1}{2!}z^2+...$

Aus den Obigen Rechenregel erhällt man sofort:

$\overline{e^z}= \overline{1+\frac{1}{1!} z+ \frac{1}{2!}z^2+...} =1+\frac{1}{1!} \overline{z}+ \frac{1}{2!}\overline{z}^2+...= e^{\overline{z}}$

[Bearbeiten] Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Wurzel aus dem Produkt ihrer selbst mit ihrem konjugiert komplexen:

$\left| z\right|:=\sqrt{z \cdot \bar{z}}=\sqrt{(a+ib)\cdot (a-ib)} =\sqrt{a^2-iab+iab-i^2 b^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

[Bearbeiten] Eulersche Gleichung

Die Eulersche Gleichung geben wir ohne Beweis an (Probe: Einfach entsprechende Taylorreihen betrachten). Sie setzt die komplexe Exponentialfunktion in Beziehung zu den gewöhnlichen Sinus und Konsinus Funktionen.

$e^{ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)\;$

Man kann entsprechend auch den Sinus allein durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken. Hierzu rechnet man:

$e^{ix}-e^{-ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)-\mathrm{cos}(-x)-i\cdot\mathrm{sin}(-x)\;=2 i \sin(x)$

Mit den Gleichungen $\mathrm{sin(-x)}=-\mathrm{sin(x)}\;$ und $\mathrm{cos(-x)}=\mathrm{cos(x)}\;$ hat man

$e^{ix}+e^{-ix}=\mathrm{cos}(x)+i\cdot \mathrm{sin}(x)+\mathrm{cos}(x)-i\cdot \mathrm{sin}(x)=2 \mathrm{cos}(x) \;$

Stellt man dies nach $c o s (x)$ um, so hat man schließlich

$\mathrm{cos(x)}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{e^{ix}+\overline{e^{ix}}}{2} =\mathrm{Re}(e^{ix}) \;$

Analog erhält man

$\mathrm{sin(x)}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i}=\mathrm{Im}(e^{ix}) \;$

Der Cosinus ist also der Realteil einer um ein i ergänzten komplexen Exponentialfunktion, der Sinus ist ihr Imaginärteil. Durch weglassen der i's ergeben sich hyperbolischen trigonometrischen Funktionen sinh und cosh.

$\mathrm{sinh(x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \;$ $\mathrm{cosh(x)}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \;$

Die Additionstheoreme lassen sich ebenfalls leicht ausrechen:

$\begin{matrix} \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) &=& \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2} \frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{2} - \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i} \frac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i} \\ &=& \frac{ e^{i (\alpha+\beta)} +e^{i (\alpha-\beta)} +e^{i (\beta-\alpha)} +e^{-i (\alpha+\beta)} }{4} \\ && + \frac{ e^{i (\alpha+\beta)} -e^{i (\alpha-\beta)} -e^{i (\beta-\alpha)} +e^{i (\alpha-\beta)} }{4} \\ &=& \frac{e^{i(\alpha+\beta)}+e^{-i(\alpha+\beta)}}{2} \\ &=& \cos(\alpha + \beta) \end{matrix}$

Analog ergibt sich das Additionstheorem für den Sinus:

$\begin{matrix} \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) &=& \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2} \frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{2} + \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2i} \frac{e^{i\beta}-e^{-i\beta}}{2i} \\ &=& \frac{ e^{i (\alpha+\beta)} +e^{i (\alpha-\beta)} -e^{i (\beta-\alpha)} -e^{-i (\alpha+\beta)} }{4i} \\ && + \frac{ e^{i (\alpha+\beta)} -e^{i (\alpha-\beta)} +e^{i (\beta-\alpha)} -e^{i (\alpha-\beta)} }{4i} \\ &=& \frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2i} \\ &=& \sin(\alpha + \beta) \end{matrix}$