Mathe für Nicht-Freaks: Relation

Wie können Eigenschaften und Beziehungen modelliert werden?

Im vorherigem Kapitel haben wir das Konzept der Menge kennengelernt, mit der Objekte zu einem Ganzen zusammengefasst werden können. In diesem Kapitel werden wir uns damit beschäftigen, wie Eigenschaften und Beziehungen zwischen Objekten modelliert werden können. Diese Eigenschaften bzw. Beziehungen zwischen Objekten werden Relationen genannt. Hierzu werden wir uns zunächst einige Beispiele anschauen, um dann das Konzept der Relationen einzuführen.

Modellierung von Eigenschaften

Modellierung der Eigenschaft "x ist weiblich"

Sei $M$ die Menge aller zur Zeit lebenden Menschen. Wir wollen nun das (biologische) Geschlecht der Menschen beschreiben. Dabei soll angenommen werden, dass jeder Mensch entweder männlich oder weiblich aber nicht beides gleichzeitig ist. Wie können wir das Geschlecht eines Menschen mit Hilfe von Mengen beschreiben?

Eine in der Mathematik häufig benutzte Möglichkeit ist folgende: Wir definieren eine neue Menge $W$, die genau all diejenigen Menschen enthält, die wir als weiblich bezeichnen wollen. Die Menge $W$ ist also definiert durch $W=\{m\in M\,|\,m\text{ ist weiblich}\}$. Damit können wir $m\in W$ schreiben, um auszudrücken, dass $m$ weiblich ist.

Ein Vorteil dieser Modellierung ist der, dass wir Mengenverknüpfungen verwenden können, um neue Eigenschaften zu beschreiben. So ist $W^{\rm C} = M \setminus W$ die Menge aller männlichen Menschen, da wir davon ausgehen, dass jeder nicht weibliche Mensch männlich ist. Damit können wir $m\in W^{\rm C}$ für „$M$ ist männlich“ schreiben.

Wir fassen zusammen: Wenn wir eine Grundmenge $G$ haben und in ihr eine Eigenschaft beschreiben wollen, so können wir eine neue Menge $E \subseteq G$ definieren, die genau all diejenigen Objekte aus $G$ enthält, die diese Eigenschaft besitzen.

Modellierung von zweistelligen Beziehungen

Modellierung der Beziehung „x liebt y“

Sei wieder $M$ die Menge aller Menschen, die zur Zeit leben. Wie kann nun die Liebesbeziehung zwischen zwei Menschen beschrieben werden? Wie können wir also modellieren, dass ein Mensch $x$ einen anderen Menschen $y$ liebt?

Auch hierfür führen wir eine neue Menge $L$ ein. Sie soll genau all diejenigen Paare $(x,y)$ von Menschen enthalten, für die gilt, dass $x$ die Person $y$ liebt. Wir definieren damit $L=\{(x,y)\,|\,x \text{ liebt }y\}$. So können wir $(m,n)\in L$ schreiben, um auszudrücken, dass $m$ den Menschen $n$ liebt. Damit haben wir eine Modellierung für die Liebesbeziehung gefunden.

Rechts siehst du ein Beispiel für eine solche Modellierung. Du siehst, dass Kristina und Max sowie Julia und Anna ein Liebespärchen sind. Hannes ist zwar in Max verliebt, jedoch wird seine Liebe nicht erwidert. Stefan liebt keine Person der Grundmenge und wird auch von keiner anderen Person geliebt.

Verständnisfrage: Wieso werden für die Beziehung „$x$ liebt $y$“ Paare $(x,y)$ und nicht Mengen $\{x,y\}$ verwendet?

Bekanntermaßen ist bei der aufzählenden Mengenschreibweise die Reihenfolge der Objekte irrelevant. So ist $\{x,y\}=\{y,x\}$. Jedoch ist die Beziehung „$x$ liebt $y$“ zwischen den Personen $x$ und $y$ eine andere Beziehung als „$y$ liebt $x$“. Dementsprechend können Mengen der Form $\{x,y\}$ nicht zur Beschreibung der Liebesbeziehung herangezogen werden.

Im Gegensatz zu Mengen besitzen Paare $(x,y)$ die notwendige Eigenschaft, dass die Reihenfolge ihrer Komponenten für die Identitätsbeziehung relevant ist. So ist $(a,b)=(c,d)$ dann und nur dann, wenn $a=c$ und $b=d$ ist.

Zusammenfassung: Um eine Zweierbeziehung in einer Grundmenge $G$ zu modellieren, können wir eine neue Menge $B$ definieren, die all diejenigen Paare $(x,y)$ der Objekte $x$ und $y$ aus $G$ enthält, die in Zweierbeziehung zueinander stehen. Damit ist $B\subseteq G \times G$.

Modellierung der Beziehung „x studiert y“

Mit der Liebesbeziehung haben wir ein Beispiel für eine Beziehung von Objekten innerhalb einer Menge kennen gelernt. Wie können wir Beziehungen von Objekten unterschiedlicher Mengen modellieren?

Nehmen wir hierzu die Beziehung „$x$ studiert $y$“. Dabei sei $M$ die Menge der Menschen und $F$ die Menge der Studienfächer. Um nun die Beziehung „$x$ studiert $y$“ zu beschreiben, definieren wir eine neue Menge $S$ derjenigen Paare $(x,y)$ mit $x\in M$ und $y\in F$, so dass der Mensch $x$ das Fach $y$ studiert. So wird die Beziehung „$x$ studiert $y$“ modelliert durch die Menge $S=\{(x,y)\,|\, x\text{ studiert }y\}$. Es ist damit $S \subseteq M \times F$.

Auf der linken Seite siehst du ein konkretes Beispiel für diese Art der Modellierung. Hier sind Hannes, Anna und Julia Studenten, während Max nicht studiert. Hannes studiert Geografie und Anna und Julia studieren Mathematik. Das Studienfach Kommunikationswissenschaften wird in unserem Beispiel von niemanden studiert.

Modellierung von dreistelligen Beziehungen

Relation „x lernt y beim Lehrer z“

Zum Schluss schauen wir uns ein Beispiel für eine Beziehung an, in der drei Objekte involviert sind. Ein Beispiel für eine solche Beziehung ist die Relation „$x$ lernt $y$ beim Lehrer $z$“. Dabei sind $x$ und $z$ Menschen der Menge $M$ und $y$ ein Schulfach der Menge $F$.

Diese Beziehung beschreiben wir über ein 3-Tupel. Wir definieren eine neue Menge $R$ von 3er-Tupeln $(x,y,z)$ mit $x,z\in M$ und $y\in F$ für die gilt, dass der Mensch $x$ beim Lehrer $z$ das Schulfach $y$ lernt. Es ist also $R=\{(x,y,z)\,|\,x\text{ lernt }y\text{ beim Lehrer }z\}$.

Auf der rechten Seite siehst du eine Abbildung, die diese Modellierung veranschaulicht. Hier ist Anna Lehrerin der Fächer Mathematik und Geografie. Julia ist Schülerin im Mathematikunterricht und Hannes Schüler im Geografieunterricht bei Anna. Max ist weder Schüler noch Lehrer. Außerdem gibt es in unserem Beispiel weder Schüler noch Lehrer für das Fach Kunst.

Definition

Aus den obigen Beispielen lässt sich ein Prinzip ablesen, wie Relationen in der Mathematik modelliert werden. Sei dazu $R$ eine $n$-stellige Relation zwischen den Mengen $A_1$ bis $A_n$. Dies bedeutet, dass $R$ eine Relation ist, die zwischen $n$ Objekten $a_1$ bis $a_n$ besteht und dass $a_1\in A_1$, $a_2\in A_2$ ,... ,$a_n\in A_n$ ist. Wie wird $R$ in der Mathematik modelliert?

$R$ wird modelliert als Menge von $n$-Tupeln $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ der Objekte $a_1$ bis $a_n$ mit $a_1\in A_1$, $a_2\in A_2$ ... $a_n\in A_n$. Dabei enthält $R$ genau diejenigen $n$-Tupel von Objekten, die in Relation zueinander stehen. Somit ist $R$ eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ ($A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ ist die Menge aller $n$-Tupel $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ mit $a_1\in A_1$, $a_2\in A_2$ ... $a_n\in A_n$. $R$ enthält nur diejenigen Tupel $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ der Objekte $a_1$ bis $a_n$, die in Relation zueinander stehen und ist damit eine Teilmenge von $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$).

Definition (Relation):

Eine $n$-stellige Relation $R$ zwischen Objekten der Mengen $A_1$ bis $A_n$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$.

Diese Art der Relation kann nicht die Qualität einer Relation beschreiben. Entweder stehen bestimmte Objekte in Relation zueinander oder nicht, aber sie können nicht mehr oder weniger in Relation zueinander stehen. Im Beispiel der Liebesbeziehung bedeutet dies, dass entweder $x$ die Person $y$ liebt oder nicht. Jedoch können wir mit Hilfe der obigen Definition nicht beschreiben, dass $x$ die Person $y$ mehr liebt als die Person $z$ oder dass $x$ die Person $y$ mag, aber nicht liebt.

Die häufigste Art der Relation ist die binäre Relation:

Definition (binäre Relation):

Eine binäre Relation ist eine zweistellige Relation. Eine binäre Relation ist damit eine Beziehung, die zwischen Objekten zweier Mengen $A$ und $B$ existiert und damit eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$.

Für eine binäre Relation $R\subseteq A \times B$ gibt es eine eigene Schreibweise für die Relation zwischen zwei Objekten $a$ und $b$. Um auszudrücken, dass $a$ mit $b$ in Relation steht, kann man neben $(a,b)\in R$ auch $aRb$ schreiben. Ein Beispiel hierfür ist die Relation $< := \{ (x,y)\in \R^2\,|\, x \text{ ist kleiner als } y\}$, die „$x$ ist kleiner als $y$“-Relation auf den reellen Zahlen (hier ist „$<$“ das Zeichen für die Relation). Anstatt nun $(2,3)\in <$ zu schreiben (was bedeutet, dass 2 kleiner als 3 ist), kann man auch $2 < 3$ schreiben, wie du es bereits aus der Schule kennst.

Frage: Sei $M=\{ 1,\, 2,\, 3,\, 4\}$. Wie sehen folgende Relationen als Mengen von Tupeln aus?

• $R_1$: „$x$ ist eine gerade Zahl.“
• $R_2$: „$x$ ist eine Quadratzahl.“
• $R_3$: „$x$ ist kleiner als $y$“
• $R_4$: „$x$ ist ein Teiler von $y$“ oder gleichwertig „die Division $y$ durch $x$ hinterlässt keinen Rest“
• $R_5$: „$x^2+y^2=z^2$“

• $\begin{align} R_1 & = \{ x \in M\,|\, x \text{ ist gerade}\} \\ & = \{ 2,\, 4\} \end{align}$

• $\begin{align} R_2 & = \{ x \in M\,|\, x \text{ ist eine Quadratzahl}\} \\ & = \{ 1,\, 4 \} \end{align}$

• $\begin{align} R_3 &= \{ (x,y)\in M^2\,|\,x\text{ ist kleiner als }y\} \\ &= \{ (1,2);\, (1,3);\, (1,4);\, (2,3);\, (2,4);\, (3,4)\} \end{align}$

• $\begin{align} R_4 &= \{ (x,y)\in M^2\,|\, x \text{ ist ein Teiler von }y\} \\ &= \{ (1,1);\, (1,2);\, (1,3);\, (1,4);\, (2,2);\, (2,4);\, (3,3);\, (4,4) \} \end{align}$

• $\begin{align} R_5 &= \{ (x,y,z) \in M^3 \,|\, x^2+y^2=z^2 \} \\ &= \emptyset \end{align}$