Analysis 1 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Was ist Analysis?
Was sind reelle Zahlen?
Körperaxiome
Anordnungsaxiome
Vollständigkeit reeller Zahlen
- Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit
- Das archimedische Axiom
- Bernoullische Ungleichung
- Allgemeine Intervallschachtelungen
Die komplexen Zahlen
- Einleitung und Motivation
- Definition komplexer Zahlen
- Betrag und Konjugation
- Polardarstellung
- Darstellung komplexwertiger Funktionen
- Aufgaben
Supremum und Infimum
- Supremum und Infimum
- Uneigentliches Supremum und Infimum
- Supremum und Infimum bestimmen und beweisen
- Eigenschaften Supremum und Infimum
Wurzel reeller Zahlen
- Wurzel reeller Zahlen
- Lösungen von Potenzgleichungen
- Rechenregeln
- Verallgemeinerte Potenzen
- Aufgaben
Folgen
Konvergenz und Divergenz
- Definition Grenzwert
- Konvergenz und Divergenz beweisen
- Beispiele für Grenzwerte
- Unbeschränkte Folgen divergieren
- Grenzwertsätze
- Der Sandwichsatz
- Monotoniekriterium
- Konvergenzbeweise rekursiver Folgen
- Aufgaben
Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen
- Teilfolgen
- Häufungspunkte von Folgen
- Häufungs- und Berührpunkte von Mengen
- Satz von Bolzano-Weierstraß
- Bestimmte Divergenz
- Bestimmte Divergenz: Regeln
- Lim sup und Lim inf
- Cauchy-Folgen
- Aufgaben
Reihen
- Begriff der Reihe
- Rechenregeln für Reihen
- Teleskopsumme und Teleskopreihe
- Geometrische Reihe
- Harmonische Reihe
- e-Reihe
- Absolute Konvergenz einer Reihe
- Umordnungssatz für Reihen
- Cauchy-Produkt für Reihen
- Aufgaben
Konvergenzkriterien für Reihen
- Übersicht Konvergenzkriterien
- Cauchy-Kriterium
- Trivialkriterium
- Beschränkte Reihen und Konvergenz
- Majoranten- und Minorantenkriterium
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
- Leibniz-Kriterium
- Verdichtungskriterium
- Anwendung der Konvergenzkriterien
- Aufgaben
Potenzreihen
Exponential- und Logarithmusfunktion
- Herleitung und Definition der Exponentialfunktion
- Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Logarithmusfunktion
- Verallgemeinerte Potenzen
- Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen
- Aufgaben
Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen
- Sinus und Kosinus
- Eigenschaften des Sinus und Kosinus
- Arkussinus und Arkuskosinus
- Tangens und Kotangens
- Arkustangens und Arkuskotangens
- Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
- Aufgaben
Stetigkeit
- Stetigkeit von Funktionen
- Folgenkriterium
- Epsilon-Delta-Kriterium
- Grenzwert von Funktionen
- Komposition stetiger Funktionen
- Stetigkeit beweisen
- Unstetigkeit beweisen
- Zwischenwertsatz
- Satz vom Minimum und Maximum
- Stetigkeit der Umkehrfunktion
- Gleichmäßige Stetigkeit
- Lipschitz-Stetigkeit
- Aufgaben
Ableitung
- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Spezielle Ableitungsregeln
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Beispiele für Ableitungen
- Ableitung höherer Ordnung
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz
- Konstanzkriterium
- Monotoniekriterium
- Ableitung und lokale Extrema
- Regel von L'Hospital
- Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Aufgaben 1
- Aufgaben 2
- Aufgaben 3
- Aufgaben 4
