Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Analysis

Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.

Konstante Funktion

$(a)'=0\,$

Faktorregel

$(a\cdot f)'=a\cdot f'$

Summenregel

$(f\pm g)'=f'\pm g'$

Potenzregel

$(x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$

Produktregel

Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion $\ f(x)=u(x)v(x)$ lautet:

$\ f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Will man nun also die Funktion $\ f(x)=2xe^{x}$ ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:

$\ u(x)=2x$ und $\ v(x)=e^{x}$.

Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:

$\ u'(x)=2$ und $\ v'(x)=e^{x}$

Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:

$\ f'(x)=2e^{x}+2xe^{x}$

Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:

$\ f'(x)=2e^{x}(1+x)$

Kettenregel

Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion $\ f(x)=u(v(x))$ lautet:

$\ f'(x)=u'(v(x))v'(x)$

Will man nun die Funktion $\ f(x)=(5-3x)^{4}$ ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:

$\ u(v)=v^{4}$ und $\ v(x)=5-3x$.

Die Ableitungen lauten:

$\ u'(v)=4v^{3}$ und $\ v'(x)=-3$

Nun setzt man die Ableitungen zusammen:

$\ f'(x)=4(5-3x)^{3}(-3)$

Vereinfacht ist das:

$\ f'(x)=-12(5-3x)^{3}$

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$ lautet:

$f'(x)={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}}$.

Leitet man nun $f(x)={\frac {2x}{1-x}}$ ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.

$\ u(x)=2x$ und $\ v(x)=1-x$

Die Ableitungen lauten:

$\ u'(x)=2$ und $\ v'(x)=-1$

Zusammengesetzt:

$f'(x)={\frac {2(1-x)-2x(-1)}{(1-x)^{2}}}$

Vereinfacht:

$f'(x)={\frac {2}{(1-x)^{2}}}$

Herleitungen

Produktregel

Für den Differenzenquotienten von f gilt:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {u(x)\cdot v(x)-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)\cdot v(x)\color {Red}-u(x_{0})\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot v(x)\color {Black}-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {[u(x)-u(x_{0})]\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot [v(x)-v(x_{0})]}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot {\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\end{aligned}}$

(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten ${\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}$ und ${\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}$ zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)

Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für $\ x\to x_{0}$ gilt daher ${\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}\to u'(x_{0})$; $\ v(x)\to v(x_{0})$ und ${\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\to v'(x_{0})$.

Kettenregel

Man definiert

$D(z,z_{0}):={\begin{cases}{\frac {u(z)-u(z_{0})}{z-z_{0}}},&{\text{falls }}z\neq z_{0},\\u'(z_{0}),&{\text{falls }}z=z_{0}.\end{cases}}$

Weil $u$ in $z_{0}$ differenzierbar ist, gilt

$\lim _{z\to z_{0}}D(z,z_{0})=u'(z_{0}),$

das heißt, die Funktion $z\mapsto D(z,z_{0})$ ist an der Stelle $z_{0}$ stetig. Außerdem gilt für alle $z\in U$:

$u(z)-u(z_{0})=D(z,z_{0})\cdot (z-z_{0}).$

Daraus folgt

${\begin{aligned}(u\circ v)'(x_{0})&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u{\big (}v(x){\big )}-u{\big (}v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot {\big (}v(x)-v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}\\&=\lim _{x\to x_{0}}D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&=u'{\big (}v(x_{0}){\big )}\cdot v'(x_{0}).\end{aligned}}$

Quotientenregel

Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}$. Für die Funktion k mit $k(x)={\frac {1}{v(x)}}=v^{-1}(x)$ gilt nach der Kettenregel: $k'(x)=-1\cdot v^{-2}(x)\cdot v'(x)=-{\frac {v'(x)}{(v(x))^{2}}}$.

Somit ergibt sich für $f(x)=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}$ mithilfe der Produktregel $f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left(-{\frac {v'(x)}{(v(x))^{2}}}\right)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^{2}}}$.