Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

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Nuvola apps bookcase 1.svg Analysis

Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.

Konstante Funktion[Bearbeiten]

Faktorregel[Bearbeiten]

Summenregel[Bearbeiten]

Potenzregel[Bearbeiten]

Produktregel[Bearbeiten]

Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion lautet:



Will man nun also die Funktion ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:

und .

Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:

und

Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:

Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:

Kettenregel[Bearbeiten]

Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion lautet:



Will man nun die Funktion ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:

und .

Die Ableitungen lauten:

und

Nun setzt man die Ableitungen zusammen:

Vereinfacht ist das:

Quotientenregel[Bearbeiten]

Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion lautet:

.


Leitet man nun ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.

und

Die Ableitungen lauten:

und

Zusammengesetzt:

Vereinfacht:

Herleitungen[Bearbeiten]

Produktregel[Bearbeiten]

Für den Differenzenquotienten von f gilt:

(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten und zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)

Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für gilt daher ; und .

Kettenregel[Bearbeiten]

Man definiert

Weil in differenzierbar ist, gilt

das heißt, die Funktion ist an der Stelle stetig. Außerdem gilt für alle :

Daraus folgt

Quotientenregel[Bearbeiten]

Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit . Für die Funktion k mit gilt nach der Kettenregel: .

Somit ergibt sich für mithilfe der Produktregel .