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Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Aus Wikibooks

Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge eines kompakten Raums kompakt ist.

Beweis

Sei eine Indexmenge und eine Überdeckung offener Mengen von . Weil abgeschlossen ist, ist offen und damit eine offene Überdeckung von . Weil kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge , so dass eine Überdeckung von ganz X ist. Da und disjunkt sind, muss die Menge überdecken. Dies beweist, dass es eine endliche Teilüberdeckung von gibt, womit kompakt ist.