Variationsrechnung

Quellen, Literatur

Die Mathematik des Naturforschers und den Ingenieurs, Bd. 5 - Bernhard Baule, ISBN 3-87144-534-7
Theoretische Physik 2 - Rainer J. Jelitto, ISBN 3-923944-96-9
Grundkurs theoretische Physik 2 - Wolfgang Nolting, ISBN 3-540-30660-9

Problemstellung

Im Grunde handelt es sich bei der Problemstellung um eine Extremwertaufgabe, allerdings mit anderen Voraussetzungen:

Es wird die Funktion $f(x_{n})$ gesucht für die der Wert des Integrals $I=\int _{s_{1}}^{s_{2}}f(x_{n},t)ds$ extremal wird. Wobei s beliebiger Parameter, über den integriert wird, sein kann. (In der Physik meist über die Zeit t oder räumliche Parameter x,y,z.)
Die Grenzwerte $s_{1}$ , $s_{2}$ sind dabei festgehalten und variiert wird die Funktionenschar $F(f(x_{n},t))$ , die für das Problem als Lösung zugelassen ist.

Also wird gesucht: $I=\int _{s_{1}}^{s_{2}}F(f(x_{n},t))ds{\stackrel {!}{=}}min,max$

Die Auswahl der Möglichen Funktionen innerhalb der Schar wird dabei in der Regel durch die Randbedingungen des Problems eingeschränkt.

Die Eulersche Differentialgleichung in der Variatonsrechnung

Zeichenerklärung

$y=f(x)$
$y'={\frac {f(x)}{dx}}$
$x_{1},x_{2}=fest$
$\gamma$ - Punkt in $F(x,y,y')$
$\epsilon$ - beliebiger, freier Parameter
$\eta (x)$ - beliebige, stetig differenzierbare Funktion von x. Um Bedingung 1 zu erfüllen muss $\eta (x_{1}),\eta (x_{2})=0$ .
$y=y_{0}$ für $\epsilon =0$

Um eine allgemeine Methode für das Lösen von Variationsproblemen zu finden, nimmt man an, dass die gesuchte Funkionenschar eine Schar von mindestens einmal differenzierbaren Funktionen ist. Für ebene Variationsprobleme lautet die Forderung wie folgt: $\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y')dx=Extremal$
(Diese Forderung wird später noch auf mehrere Dimensionen ausgeweitet.)

Bedingung 1:

Für die Schar kommen nur Punkte in Frage, welche die folgenden Punkte $\gamma (x_{1},y,y')=\gamma _{1}$ und $\gamma (x_{2},y,y')=\gamma _{2}$ durchlaufen.

Wir nehmen an, $y=y_{0}(x)$ sei gesuchte Kurve
Nun wird die Kurve $y$ durch Addition der Kurve $y_{1}=\epsilon \eta (x)$ variiert. Diese Kurve muss an den Punkten $\gamma _{1,2}$ Null sein, da diese Punkte festgehalten sind.
Für die neue Kurve $y=y_{0}+y_{1}$ gilt:
$I$ größer für $y_{0}=Min$

$I$ kleiner für $y_{0}=Max$
$I$ ist nun eine Funktion von $\epsilon$ : $I(\epsilon )=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y_{0}+\epsilon \eta (x),y'_{0}+\epsilon \eta '(x))dx$
Wir wissen, dass $I(\epsilon =0)=Extr.$ , also ${\frac {I(\epsilon =0)}{d\epsilon }}{\stackrel {!}{=}}0$
Da die Integrationsgrenzen $x_{1},x_{2}$ fest sind, darf die Ableitung unter dem Integral vorgenommen werden.

\Rightarrow {\frac {I(\epsilon =0)}{d\epsilon }}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F_{y}(x,y_{0}+\epsilon \eta (x),y'_{0}+\epsilon \eta '(x))\eta (x)dx+F_{y'}(x,y_{0}+\epsilon \eta (x),y'_{0}+\epsilon \eta '(x))\eta '(x)dx+0

Dies ist die Ableitung nach $\epsilon$ für jeden Term. $0$ ist die Ableitung es x-Terms.

=I'(0)=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\begin{Bmatrix}F_{y}(x,y_{0},y'_{0})\eta +F_{y'}(x,y_{0},y'_{0})\eta '\end{Bmatrix}}dx

partielle Integration von
$\int _{x_{1}}^{x_{2}}F_{y'}(x,y_{0},y'_{0})\eta 'dx$

$=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}F_{y}\eta '(x)dx+F_{y'}\eta (x)\mid _{x_{1}}^{x_{2}}$
Der Term $F_{y'}\eta (x)\mid _{x_{1}}^{x_{2}}=0$ , da $\eta (x_{1}),\eta (x_{2})=0$

$\equiv 0$
$\Rightarrow I'(0)=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F_{y}\eta -{\frac {F_{y'}\eta }{dx}}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}\eta dx$
Der Ausdruck $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}$ muss Null werden für Alle zugelassenen Funktionen $\eta (x)$ , damit die Bedingung $I'(0)\equiv 0$ erfüllt wird. Ansonsten kann $\eta (x)$ immer so gewählt werden, dass sie dasselbe Vorzeichen wie $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}$ hat, sodass das Integral immer einen Wert größer Null hat, da der Integrand so immer positiv wäre. $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}=0$ wird die Eulersche Differentialgleichung genannt. Ist diese erfüllt, so ist das Integral $I'(0)$ für beliebige $\eta (x)$ gleich Null, da ein Integral von Null immer gleich Null ist, bzw. $\int _{s_{1}}^{s_{2}}0ds{\stackrel {!}{=}}0$ .

Anmerkungen:

Der Ausdruck $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}$ wird mit $[F]_{y}$ abgekürzt.
Die eulersche Differentialgleichung $[F]_{y}$ ist eine gewöhnliche, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.
Die möglichen Lösungen der Differentialgleichung werden durch die Randbedingungen des Problems eingegrenzt.
Da der Integralwert für jede Lösung stationär wird, werden die Lösungen der Eulerschen Differentialgleichung hier auch als Extremale bezeichnet.
Die Eulersche Differentialgleichung lautet vollständig ausgeschrieben:

[F]_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}={\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y'}}y'-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y'^{2}}}y''=0

vollständig Umformung:
$[F]_{y}=\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}={\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}$

nach der mehrdimensionalen Kettenregel kann eine totale Ableitung
einer Funktion  $f(x(s),y(s),z(s))$  nach einem Parameter  $ds$  

auch geschrieben werden als: 

 ${\frac {d}{ds}}f(x(s),y(s),z(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{ds}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{ds}}$

Dies ist hier gegeben, also weiter:

${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}={\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial f}{\partial y'\partial x}}{\frac {dx}{dx}}-{\frac {\partial f}{\partial y'\partial y}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {\partial f}{\partial y'^{2}}}{\frac {dy'}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial f}{\partial y'\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y'\partial y}}y'-{\frac {\partial f}{\partial y'^{2}}}y''=0$ ∎

Zusammenfassung zur Eulerschen Differentialgleichung in der Variatonsrechnung

Aufgaben zum Kapitel

Die Anfangsforderung lautet:
$I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y')dx=Extremal$
Um die Kurve $y$ zu finden wird zu ihr die Kurve $\epsilon \eta (x)$ addiert. Somit ist $I=I(\epsilon )$ und wir fordern gem. der Anfangsforderung:
$I(\epsilon =0)=Extr.$ , also ${\frac {I(\epsilon =0)}{d\epsilon }}{\stackrel {!}{=}}0$
Durch Ausführen der Ableitung lässt sich zeigen, dass die Forderung erfüllt ist, wenn $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}=0$ .
Die Eulersche Differentialgleichung $\{F_{y}-{\frac {F_{y'}}{dx}}\}=0$ wird wie folgt abgekürzt: $[F]_{y}=0$ .

Kürzester Weg auf Ebene

Finde mittels der Variation der Kurve, nach den Prinzipien der Variationsrechnung den kürzesten Weg S zwischen den Punkten A und B auf einer homogenen Ebene.

Minimale Rotationsfläche

Berechne die minimale Rotationsfläche zwischen zwei Kreisen mit Radii ${\vec {r}}_{1}$ und ${\vec {r}}_{2}$ und Abstand $y_{2}-y_{1}$ .

Brachistochronen Problem

Berechne den schnellsten Weg eines Teilchens von Punkt A zu Punkt B, dass sich reibungsfrei in einem Gravitationspotential bewegt.