Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

Satz

Es sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ und $V$ ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum mit (positiv definitem) Skalarprodukt. Dann gilt für alle $x,y\in V$ die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

\left\vert \langle x,y\rangle \right\vert \leq {\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}

.

Gleichheit liegt genau dann vor, wenn $x,y$ linear abhängig sind.

Beweis

Die Aussage ist für $x=0$ trivial. Es sei also im Folgenden $x\neq 0$ . Dann ist also $\langle x,x\rangle >0$ . Beachte zunächst für $\lambda \in \mathbb {K}$

{\begin{array}{lll}\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle &=&\langle \lambda x,\lambda x\rangle +\langle \lambda x,y\rangle +\langle y,\lambda x\rangle +\langle y,y\rangle \\&=&|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle +\langle \lambda x,y\rangle +{\overline {\langle \lambda x,y\rangle }}+\langle y,y\rangle \\&=&|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle +2{\textrm {Re}}\left(\lambda \langle x,y\rangle \right)+\langle y,y\rangle \\\end{array}}

sowie

{\begin{array}{lll}\left|\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}&=&\left(\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right)\cdot \left({\overline {\lambda }}+{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right)\\&=&\lambda {\overline {\lambda }}+\lambda {\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}+{\overline {\lambda }}{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}+{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\\&=&|\lambda |^{2}+2{\frac {{\textrm {Re}}\left(\lambda \langle x,y\rangle \right)}{\langle x,x\rangle }}+\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}\ .\\\end{array}}

Dies impliziert für jedes $\lambda \in \mathbb {K}$ die Identität

{\frac {\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle }{\langle x,x\rangle }}=\left|\lambda +{\frac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}+{\frac {\langle y,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}

,

welches eine reelle Zahl ist.

Daraus folgt

\min \limits _{\lambda \in \mathbb {K} }\left\{{\frac {\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right\}=D:={\frac {\langle y,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}-\left|{\frac {\langle x,y\rangle }{\langle x,x\rangle }}\right|^{2}

.

Nun gilt $\langle \lambda x+y,\lambda x+y\rangle \geq 0$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ , und Gleichheit für ein $\lambda \in \mathbb {K}$ wird genau dann angenommen, wenn $x,y$ linear abhängig sind. Dies impliziert $D>0$ im Fall linearer Unabhängigkeit und $D=0$ im Fall linearer Abhängigkeit. Man beachte schließlich

D>0\Leftrightarrow \left\vert \langle x,y\rangle \right\vert <{\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}

und entsprechend

D=0\Leftrightarrow \left\vert \langle x,y\rangle \right\vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}

.

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Wikipedia-Verweis

Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung