Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung

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Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation


Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung erfüllt ist[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei ein normierter Raum über dem Körper , wobei der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen ist.

Behauptung 1[Bearbeiten]

Die Norm wird genau dann durch ein Skalarprodukt erzeugt, wenn für alle die Parallelogrammgleichung

gilt. Ein normierter Raum ist also genau dann ein Prähilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

Behauptung 2[Bearbeiten]

Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

Beweis[Bearbeiten]

Beweis der Behauptung 1[Bearbeiten]

Teil 1: Skalarprodukt erfüllt Parallelogrammgleichung[Bearbeiten]

Wird die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt, gibt es also ein Skalarprodukt mit für alle , so folgt aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt

.

Es gilt dann also die Parallelogrammgleichung.

Teil 2: Norm, die Parallelogrammgleichung erfüllt, lässt sich durch Skalarprodukt erzeugen[Bearbeiten]

Sei nun eine Norm, die die Parallelogrammgleichung erfüllt und die Funktion im Falle eines reellen Vektorraums durch

und im Falle eines komplexen Vektorraums durch

definiert.

Zu zeigen ist erstens, dass tatsächlich ein Skalarprodukt ist und zweitens, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird. Damit ein Skalarprodukt vorliegt, muss die betrachtete Funktion für alle und für alle folgende Eigenschaften haben:

  1. positiv definit: , und nur für .
  2. symmetrisch bzw. hermitesch:
    • symmetrisch: im Fall eines reellen Vektorraums oder
    • hermitesch: im Fall eines komplexen Vektorraums
  3. bilinear im Fall eines reellen bzw. sesquilinear im Fall eines komplexen Vektorraums
    • im reellen bzw.
    • im komplexen Fall.

Für die Bilinearität bzw. Sesquilinearität reicht es, das erste Argument zu betrachten, also zu zeigen, dass die betrachtete Funktion im ersten Arguments additiv und homogen ist, dass also

und

gelten, die Eigenschaften für das zweite Argument folgen dann unmittelbar aus symmetrisch bzw. hermitesch.

positiv definit[Bearbeiten]

Wegen der Eigenschaften der Norm gilt für den Realteil

und für den Imaginärteil (der im Fall wegfällt)

weil .

Somit gilt in jedem Fall

.

Die Positiv-Definitheit folgt damit unmittelbar aus den Eigenschaften der Norm; zusätzlich folgt, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird (sofern tatsächlich ein Skalarprodukt vorliegt).

symmetrisch bzw. hermitesch[Bearbeiten]

Es gilt

.

Wegen gilt

,

das betrachtete Skalarprodukt ist also tatsächlich symmetrisch im reellen und hermitesch im komplexen Fall.

additiv im ersten Argument[Bearbeiten]

Der Beweis der Additivität ist komplizierter. Dazu wird zuerst gezeigt, dass für alle die Beziehung

gilt. Diese Beziehung wird zunächst für den Realteil gezeigt:

(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
.

Im reellen Fall ist damit die Beziehung gezeigt; im komplexen Fall ist auf analoge Weise diese Beziehung für den Imaginärteil zu zeigen:

(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
.

Setzt man so gilt wegen

.

Daraus und mit , ; folgt

.

Somit ist die Additivität gezeigt.

homogen im ersten Argument[Bearbeiten]

Die Homogenität im ersten Argument wird schrittweise für natürlich, ganzzahlig, rational, reell und komplex gezeigt.

Der Fall natürlich wird mit vollständiger Induktion gezeigt. Als Induktionsanfang wurde bereits für gezeigt. Als Induktionsvoraussetzung gelte für . Sei nun . Dann folgt

(Anwendung der Additivität)
(Anwendung der Induktionsvoraussetzung)
.

Sei nun eine beliebige negative ganze Zahl. Dann gilt

.

Ist rational mit ganzzahlig, so folgt aus

, dass
.

Sei nun reell als Grenzwert rationaler Zahlen dargestellt. Da die Norm ein stetiges Funktional ist, ist auch stetig und es gilt

.

Für einen reellen Vektorraum ist der Beweis der Homogenität hier beendet; für einen komplexen Vektorraum muss noch der Fall komplex behandelt werden. Dazu setzt man zuerst und beachtet wieder, dass gilt:

.

Für gilt dann

.

Somit ist die Homogenität auch für komplexe Vektorräume bewiesen.

Beweis der Behauptung 2[Bearbeiten]

Für die Behauptung 2 ist lediglich zu zeigen, dass der normierte Raum genau dann vollständig ist, wenn der entsprechende Prähilbertraum vollständig ist. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass beide Räume die gleiche Norm und daher auch die gleiche Metrik haben.

Literatur[Bearbeiten]

  • Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, New York 1982, ISBN 0-486-64062-0
  • A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Banachraum - Hilbertraum - Normierter Raum - Parallelogrammgleichung - Prähilbertraum - Skalarprodukt - Vektorraum - Vollständiger Raum