Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

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Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation


Satz[Bearbeiten]

Es sei und ein -Vektorraum mit (positiv definitem) Skalarprodukt. Dann gilt für alle die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

.

Gleichheit liegt genau dann vor, wenn linear abhängig sind.

Beweis[Bearbeiten]

Die Aussage ist für trivial. Es sei also im Folgenden . Dann ist also . Beachte zunächst für

sowie

Dies impliziert für jedes die Identität

,

welches eine reelle Zahl ist.

Daraus folgt

.

Nun gilt für alle , und Gleichheit für ein wird genau dann angenommen, wenn linear abhängig sind. Dies impliziert im Fall linearer Unabhängigkeit und im Fall linearer Abhängigkeit. Man beachte schließlich

und entsprechend

.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]