Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

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Einleitung[Bearbeiten]

In der Literatur zur heisenbergschen Unschärferelation findet man eine Reihe unterschiedlicher Interpretationen und Deutungsversuche. Wie man feststellen muss, ist zweifelhaft, ob jemals eine einheitliche Auffassung gefunden wird. Zu dieser Schlussfolgerung wird man nicht zuletzt deswegen gedrängt, weil selbst die "Großväter" der Quantenphysik sehr unterschiedliche Sichten auf die Unschärferelation hatten. [1]

Es steht daher die Frage im Raum, ob man die mit der Unschärferelation zusammenhängenden Deutungsprobleme nicht zumindest abmildern kann. Einen Ansatz dazu lässt sich nach meinem Dafürhalten in der Herleitung der Unschärferelation gemäß John von Neumann finden.

Hier fällt nämlich auf, dass man die zugehörige heisenbergsche Vertauschungsrelation

abschwächen kann, ohne im Ergebnis die Unschärferelation zu gefährden.

Diese Abschwächung besteht darin vorauszusetzen, dass der Operator

anstelle der Vertauschungsrelation der schwächeren Bedingung

genügen möge.

Eine solche Bedingung ist prinzipiell nichts Neues. Man kennt sie in ähnlicher Form aus der Theorie der linearen Operatoren auf Hilberträumen und auch aus der Analysis und Funktionalanalysis bei den (nach unten) halbbeschränkten Operatoren.[2]

Was diese abgeschwächte Bedingung besagt, lässt sich auch so darstellen:

Es soll für jedes des Definitionsbereichs dieses Operators (bei sonst gleichen Voraussetzungen) durchweg
(1)
(2)
als gegeben angenommen werden.

Der Beweis auf Basis dieser Voraussetzung verläuft dabei analog dem bei von Neumann.

Exakte Herleitung auf Basis der abgeschwächten Bedingung[Bearbeiten]

Als gegeben werden angenommen:

1) Ein Hilbertraum

mit dem Skalarprodukt

und der dazugehörigen Norm

und mit

als Identitätsoperator auf

sowie

2) Zwei in definierte selbstadjungierte lineare Operatoren

und

mit der Eigenschaft

mit

3) Ein

der Norm

[3][4]

Davon ausgehend lassen sich die folgenden Rechenschritte durchführen:[5]

Schritt 1

Es ist:

Also gilt:

Das bedeutet:

Also folgt mit der cauchy-schwarzschen Ungleichung:

Schritt 2

Sind nun zwei beliebige Skalare, so gilt - wie man leicht nachrechnet - die oben angenommene Halbbeschränktheitsbedingung in gleicher Weise auch für und .

Folglich hat man stets ganz allgemein:

Schritt 3

Infolge des Schrittes 2 erhält man für , und stets

Schritt 4

Wegen gewinnt man nun sofort die heisenbergsche Unschärferelation:

Benutzte Quellen[Bearbeiten]

  • Walter Greiner: Quantenmechanik. 6. überarb. und erw. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Zürich [u. a.] 2005, ISBN 978-3-8171-1765-9.
  • Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932. Kapitel III „Die quantenmechanische Statistik.“ Abschnitt 4 „Unbestimmheitsrelationen“. 38, Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8, S. 123-124. MR0223138
  • Hans Triebel: Höhere Analysis. 8., aktualisierte Auflage. 76, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972.

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Gemäß Walter Greiner (Quantenmechanik, 6. Auflage 2005) waren neben Albert Einstein und Erwin Schrödinger etwa auch Louis de Broglie und Max von Laue Gegner der Kopenhagener Deutung, als deren Hauptvertreter Niels Bohr und Werner Heisenberg auftraten.
  2. Vgl. Hans Triebel: Höhere Analysis, S.210 ff. Bei der Überlegung hier ist allerdings eine eingeschränkte Halbbeschränktheitsbedingung vorausgesetzt. Zu beachten ist, dass für einen halbbeschränkten Operator vielfach vorausgesetzt wird, dass er dicht definiert sein soll, was im hiesigen Kontext jedoch nicht notwendig der Fall sein muss.
  3. Im Folgenden wird kurz anstelle von geschrieben.
  4. Es ist zu beachten, dass das an den Operatoren hochgestellte "-1" auf das jeweilige Urbild verweist.
  5. Im Weiteren wird gemäß der Darstellung von John von Neumann und den üblichen Gepflogenheiten der Mathematik das Skalarprodukt als linear in der ersten Komponente und als semilinear in der zweiten Komponente angenommen. In der Physik findet man oft die entgegengesetzte Praxis.