Beweisarchiv: Arithmetik: Erklärungsversuch zu einer ramanujanschen Bruchnäherung zur Kreiszahl π

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Erklärungsversuch zu einer ramanujanschen Bruchnäherung zur Kreiszahl π

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Einleitung

Auf den indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan geht folgende sehr gute - nämlich auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue - Näherung der Kreiszahl zurück:

$\pi \approx {\sqrt[{4\,}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}$

Wie Arndt und Haenel schreiben, macht Ramanujan hinsichtlich dieser Näherung die dürftige, nicht weiter ausführlich gemachte Angabe, er habe sie empirisch gefunden. Bei der Suche nach einer Erklärung, was Ramanujan unter dem Wort empirisch verstanden haben mag und wie er die Näherung fand, schlagen Arndt und Haenel als nächstliegende Erklärung vor, einen Ansatz via Kettenbrüchen zu versuchen, da Ramanujan ein Experte in Kettenbrüchen war.

Nun zeigt eine leichte Rechnung, dass

$9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}={\frac {2143}{22}}=97+{\frac {9}{22}}$

ist.

Es kann damit dargestellt werden, dass auch eine andere und leichter nachvollziehbare Erklärung zu finden ist, die im Wesentlichen mit periodischen Dezimalbrüchen auskommt. Diese soll im Folgenden beschrieben werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass man die ersten 10 Nachkommastellen der Kreiszahl exakt kennt.

Darstellung der Erklärung

Es gibt zwei naheliegende Ansätze:

Ansatz 1

Es ist

${\pi }^{4}=97{,}4090910340\ldots \approx 97{,}4{\overline {09}}$   .

Also ist

$10\cdot {\pi }^{4}\approx 974{,}{\overline {09}}$

und

$1000\cdot {\pi }^{4}\approx 97409{,}{\overline {09}}$   .

Damit ist

$990\cdot {\pi }^{4}\approx 96435$

und folglich

${\pi }^{4}\approx {\frac {96435}{990}}={\frac {45\cdot 2143}{45\cdot 22}}={\frac {2143}{22}}=97+{\frac {9}{22}}$   .

Also hat man die auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt[{4\,}]{\frac {2143}{22}}}={\sqrt[{4\,}]{97+{\frac {9}{22}}}}$   .

Ansatz 2

Noch augenfälliger - und insofern ein noch besseres Argument für obige Vermutung hinsichtlich eines Ramanujan'schen Ansatzes mit periodischen Dezimalbrüchen - ist die Angelegenheit, wenn man gleich den Bruch

${\frac {1}{{\pi }^{4}-97}}=2{,}4444436980597\ldots \approx 2{,}{\overline {4}}={\frac {22}{9}}$

zugrundelegt.

Durch Auflösen nach $\pi$ gewinnt man dann unmittelbar die (oben erwähnte) auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt[{4\,}]{\frac {2143}{22}}}$   .

Weitere Näherungen ähnlicher Art

Zur Kreiszahl

I

Wie Arndt und Haenel schreiben, hat ein anderer $\pi$-Forscher namens Dario Castellanos eine ähnliche Näherung im Stile Ramanujans angegeben, welche auf der fünften Wurzel basiert. Diese gewinnt man durch die folgende Rechnung: Es ist

${\frac {1}{{\pi }^{5}-306}}=50{,}8006\ldots \approx 50{,}8={\frac {254}{5}}$   .

Also ergibt sich sofort mittels Bruchrechnung und Wurzelziehen die auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt[{5\,}]{\frac {77729}{254}}}$   .

II

IIa

Geht man von der (schon lange bekannten) Näherung

$\pi \approx {\frac {22}{7}}$

aus , so ergibt sich (mittels Kehrwertbildung) zunächst - wie oben!-

${\frac {1}{22-7\cdot \pi }}=112{,}976160846789\ldots \approx 113$   .

Daraus ergibt sich die auf 6 korrekte Nachkommastellen genaue (und ebenfalls schon lange bekannte) Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\frac {22-{\frac {1}{113}}}{7}}={\frac {2485}{113\cdot 7}}={\frac {355}{113}}$   .

IIb

Verfährt man in gleicher Weise mit der dritten Potenz, so gewinnt man zunächst

${\frac {1}{\left(22-7\cdot \pi \right)^{3}}}=1441983{,}98619987\ldots \approx 1441984=64\cdot 22531$

und dann die auf 10 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\frac {22-{\tfrac {1}{4\cdot {\sqrt[{3\,}]{22531}}}}}{7}}=3{,}1415926535\ldots$   .

IIc

Geht man jedoch von der (auch schon lange bekannten) Näherung

$\pi \approx {\frac {333}{106}}$

aus und verfährt wie zuletzt, wenn auch nun wieder mit der zweiten Potenz, so ergibt sich zunächst

${\frac {1}{\left(106\pi -333\right)^{2}}}=12850{,}994394201\ldots \approx 12851$   .

Daraus ergibt sich die (ebenfalls!) auf 10 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\frac {333+{\tfrac {1}{\sqrt {12851}}}}{106}}=3{,}1415926535\ldots$   .

III

Es ist

${\frac {1}{{\pi }^{2}+1}}=0{,}091999668350\ldots \approx 0{,}092={\frac {23}{250}}$   .

Also ergibt sich - in ähnlicher Weise wie oben - die auf 4 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt {{\frac {250}{23}}-1}}={\sqrt {\frac {227}{23}}}={\sqrt {10-{\frac {3}{23}}}}={\sqrt {9+{\frac {20}{23}}}}$   .

IV

IVa

Es ist

$\left({\frac {1}{7-{\frac {1}{\ln {\pi }-1}}}}\right)^{2}=121{,}888855131641\ldots \approx 121{,}{\overline {8}}={\frac {1097}{9}}$   .

Also ergibt sich die auf 9 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\ln {\pi }\approx 1+{\frac {1}{7-{\frac {3}{\sqrt {1097}}}}}\approx 1,1447298855866\ldots$   .

IVb

Es ist

$({\ln }{\pi })^{64}=5714{,}69898450436\ldots \approx {\frac {1}{10}}\cdot 57146{,}{\overline {98}}={\frac {1}{10}}\cdot (57146+{\frac {98}{99}})$   .

Also ist

$({\ln }{\pi })^{64}\approx {\frac {1}{5}}\cdot ({\frac {28573\cdot 99+49}{99}})={\frac {2828776}{495}}=5714+{\frac {346}{495}}$   .

und es ergibt sich die auf 9 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx \mathrm {e} ^{\sqrt[{64\,}]{\frac {2828776}{495}}}=\mathrm {e} ^{\sqrt[{64\,}]{5714+{\frac {346}{495}}}}$   .

V

Es ist

$\left(\pi -1\right)^{3}=9{,}82224\ldots \approx 9{,}8{\overline {2}}={\frac {1}{10}}\left(98+{\frac {2}{9}}\right)={\frac {442}{45}}$   .

Also ergibt sich - ähnlich wie oben - die auf 5 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx 1+{\sqrt[{3\,}]{\frac {442}{45}}}=3{,}14159125\ldots$   .

VI

Wie oben erhält man dann auch wegen

$\left(\pi -3\right)^{2}\approx 0{,}0200{\overline {48}}$   .

die auf 7 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx 3+{\sqrt {\frac {827}{41250}}}=3{,}141592672\ldots$   .

VII

Es ist

${\pi }^{15}=28658145{,}96938\ldots \approx 28658146=2\cdot 11\cdot 1103\cdot 1181$   .

Also ergibt sich die auf 9 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt[{15\,}]{28658146}}={\sqrt[{15\,}]{2\cdot 11\cdot 1103\cdot 1181}}$   .

VIII

Es ist

${\frac {1}{{\pi }^{3}-31}}=159{,}31988762105\ldots \approx 159{,}32={\frac {15932}{100}}={\frac {3983}{25}}$   .

Also ergibt sich die auf 9 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx {\sqrt[{3\,}]{31+{\frac {25}{3983}}}}={\sqrt[{3\,}]{\frac {123498}{3983}}}=3{,}1415926534402\ldots$   .

IX

Es ist

$\left({\sqrt {5}}\right)^{\pi }=5^{\frac {\pi }{2}}=12{,}52966660\ldots \approx 12{,}529{\overline {6}}={\frac {37589}{3000}}$   .

Also ergibt sich die auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\pi \approx 3{,}1415926594033\ldots {\frac {2\cdot \left(\ln {37589}-\ln {3000}\right)}{\ln {5}}}$   .

X

Es ist

${\frac {1}{\left({\sqrt {\pi }}-1\right)^{8}}}=7{,}8889582773195\ldots \approx 7{,}{\overline {8}}={\frac {71}{9}}$   .

Also ergibt sich die auf 5 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

${\sqrt {\pi }}\approx 1+{\sqrt[{8\,}]{\frac {9}{71}}}=1{,}77245\ldots$   .

Weitere Näherungen ähnlicher Art zu anderen Konstanten

I

Man findet in der gezeigten Art und Weise auch eine schöne Näherung für die Euler-Mascheroni-Konstante ${\gamma }$.

Es ist nämlich

${\frac {1}{{\gamma }^{2}}}=3{,}001399\ldots \approx 3{,}0014$   .

Damit ergibt sich die auf 7 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

$\gamma \approx {\sqrt {\frac {5000}{15007}}}$   .

II

Ebenso findet man auch eine Näherung für ${\sqrt {2}}$.

Es ist nämlich

$14\cdot {\sqrt {2}}=19{,}798989873\ldots \approx 19{,}7{\overline {98}}$   .

Damit ergibt sich die auf 8 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung

${\sqrt {2}}\approx {\frac {19601}{13860}}=1+{\frac {5741}{13860}}$   .

Anmerkungen

• Die letzten Näherungsdarstellungen lassen sich noch verbessern; nämlich in dem Sinne, dass bei gleicher oder besserer Genauigkeit hinsichtlich der Anzahl der korrekten Nachkommastellen Brüche mit kleineren Nennern auftreten. Die - in einem spezifischen Sinne - besten Näherungen lassen sich nach einem Satz von Lagrange bekanntlich aus den Näherungsbrüchen der Kettenbruchentwicklungen gewinnen. Allerdings bedeutet es einen gewissen Aufwand, die Kettenbruchentwicklung einer Zahl zu erhalten, während man in den obigen Beispielen zu guten Näherungsdarstellungen allein durch Einsatz elementarer Methoden gelangt.
• Hier wäre auch auf eine (weniger bekannte) Arbeit von C. G. Specht aus dem Jahre 1828 hinzuweisen, mit der man eine auf 9 korrekte Nachkommastellen genaue Näherungsdarstellung der Kreiszahl gewinnt:

${\frac {7}{10^{7}}}+{\frac {13{\sqrt {146}}}{50}}=3{,}1415926531...$

Literatur

• Jörg Arndt, Christoph Haenel (Hrsg.): Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 57 ff. 
• S. Ramanujan: Modular equations and approximations to π. In: The Quarterly Journal of Mathematics. 45, 1914, S. 350–372.  MR2280849

Weblinks

  Näherungskonstruktion von S. A. Ramanujan 1914

  Geometrische Näherungskonstruktionen, Annäherungswert von C. G. Specht 1828