Beweisarchiv: Arithmetik
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Seien
komplexe Zahlen und
.
Dann hat die quadratischen Gleichung
genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall
), und zwar:
Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)
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Es gilt
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+(-b-{\sqrt {b^{2}-4a}})}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038e6439c9bde4e3c625275f247a07aefbfd36a5)
und
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(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)
Nun betrachten wir das Polynom
![{\displaystyle a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7388d02bcc10bb02c8830d3a935bb3026e4fe7b)
Ausmultiplizieren liefert
![{\displaystyle ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb43e2120525c318aaabe0150bb2265cd70b3b39)
und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für
sowie
ein, erhält man
![{\displaystyle ax^{2}-a\cdot {\Big (}{-{\frac {b}{a}}}{\Big )}\cdot x+a\cdot {\frac {c}{a}}=ax^{2}+bx+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8077cc206088ab16b8ce465946c7105a4d6824)
also die linke Seite der quadratischen Gleichung.
Zusammengefasst:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfb362779b9c9dc163649d2b246558d7c6a1cd5)
Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
ist nach Voraussetzung ungleich null, also ist
genau dann eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn
oder ![{\displaystyle x-x_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a160b3e9028faaa9ba528fb4a602fa86bf0d544)
oder umgeformt
oder ![{\displaystyle x=x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc021716332d474013047a1d6b800bd6cfd9f3a5)
gilt.
Also sind
und
Lösungen der quadratischen Gleichung, und es gibt keine weiteren.
Multipliziert man die quadratische Gleichung mit
, so erhält man die Gleichung
![{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3439a69ef12d81b05dd7e83a3f05f2d26941e341)
die man zu
![{\displaystyle (2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+4ac=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace5e0bf1cfb1241c30a8f6b1294a68a5315805b)
umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für
![{\displaystyle (2ax+b)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c035098222c55195ea1e705fd8054d69e81631)
es fehlt also nur das
, das man durch Addition und anschließende Subtraktion ergänzen kann:
![{\displaystyle (2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+b^{2}-b^{2}+4ac=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e522317608d17b958728e365ccdce380979c6eb6)
Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man
![{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb488bb45926cb86d9b83c10e69f95c1ba33d2c2)
Wurzelziehen liefert
![{\displaystyle 2ax_{1/2}+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e016d48c8ecf7d15a775c9466cdc4db81bbc64d)
und Auflösen nach
(durch Subtraktion von
und anschließender Division durch
) ergibt schließlich
![{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35408423f7e53a0247a514e713fb21608b6ab911)
Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)
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Dividiert man die quadratische Gleichung durch
, erhält man
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86555a3320d56ba1b2acc84977fbf108e337c38)
Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62332ad46f539c2a729aed1059d4b5f1cb0c4b1a)
und
![{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ac705f6c2adb1be013b1f79a734964d265f2ae)
Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck
, aus dem man zusammen mit
die beiden Lösungen leicht ausrechnen kann, mit
und
in Beziehung zu setzen. Da diese beiden Terme symmetrisch in
und
sind, quadrieren wir
, um ebenfalls einen symmetrischen Ausdruck, nämlich
![{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac83238c4d7a7ddfe5f48d419af49804a12dd15)
zu erhalten. Die Terme
und
kann man in
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9959c1b83a768e96b0c418a8e00c27ed5d07cb44)
wiederfinden, es verbleibt als Differenz
, d. h.
![{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e1e7f4cf460df7bb1ffe2d6e8bfbf088610f10)
Mit den Vieta-Formeln ergibt sich also
![{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b099487de6a9bcfebdc6ff6b4fcc22047922aa)
und folglich
![{\displaystyle x_{1}-x_{2}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c82dea27e76665b760f54e25c33ec3be7bc9afa)
(Wählt man das andere Vorzeichen für die Wurzel, so vertauscht sich lediglich die Numerierung von
und
.)
Zusammen mit der Vieta-Formel für
bildet diese Gleichung nun ein lineares Gleichungssystem, aus dem folgt:
![{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c770d46d32a4d0013fc8d71b32bcdb200cf38c)