Beweisarchiv: Arithmetik: Lösungen von Gleichungen: Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen

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Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen -

Behauptung[Bearbeiten]

Seien komplexe Zahlen und .

Dann hat die quadratischen Gleichung

     

genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall ), und zwar:

     

Beweis (angelehnt an den Satz von Vieta)[Bearbeiten]

Es gilt

und

(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)

Nun betrachten wir das Polynom

Ausmultiplizieren liefert

und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für sowie ein, erhält man

also die linke Seite der quadratischen Gleichung.

Zusammengefasst:

Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. ist nach Voraussetzung ungleich null, also ist genau dann eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn

oder

oder umgeformt

oder

gilt.

Also sind und Lösungen der quadratischen Gleichung, und es gibt keine weiteren.

Beweis (durch quadratische Ergänzung)[Bearbeiten]

Multipliziert man die quadratische Gleichung mit , so erhält man die Gleichung

die man zu

umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für

es fehlt also nur das , das man durch Addition und anschließende Subtraktion ergänzen kann:

Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man

Wurzelziehen liefert

und Auflösen nach (durch Subtraktion von und anschließender Division durch ) ergibt schließlich

Beweis (unter Verwendung des Satzes von Vieta)[Bearbeiten]

Dividiert man die quadratische Gleichung durch , erhält man

Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen

und

Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck , aus dem man zusammen mit die beiden Lösungen leicht ausrechnen kann, mit und in Beziehung zu setzen. Da diese beiden Terme symmetrisch in und sind, quadrieren wir , um ebenfalls einen symmetrischen Ausdruck, nämlich

zu erhalten. Die Terme und kann man in

wiederfinden, es verbleibt als Differenz , d. h.

Mit den Vieta-Formeln ergibt sich also

und folglich

(Wählt man das andere Vorzeichen für die Wurzel, so vertauscht sich lediglich die Numerierung von und .)

Zusammen mit der Vieta-Formel für bildet diese Gleichung nun ein lineares Gleichungssystem, aus dem folgt:


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