Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Kreisesatz von Gerschgorin

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisarchiv: Lineare Algebra

Das Kreisesatz von Gerschgorin oder auch Kreissatz von Gerschgorin bzw. Satz von Gerschgorin, in englischsprachigen Quellen auch Gershgorin circle theorem genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Linearen Algebra. Der Satz ist benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin und gibt Aufschluss über die Lage der Eigenwerte komplexwertiger Matrizen innerhalb der gaußschen Zahlenebene .[1]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Der Satz besagt folgendes:[1]

Es sei

eine komplexwertige Matrix -Matrix zu einer natürlichen Zahl . Dabei sei für jeden der Indizes

und dazu

die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius und Mittelpunkt .

Dann gilt:

Zu jedem komplexen Eigenwert der Matrix gibt es in mindestens eine Kreisscheibe , welche enthält.

Beweis des Satzes[Bearbeiten]

Der Darstellung von Ortega und Rheinboldt folgend lässt sich der Beweis führen wie folgt:[1]

Sei

Eigenwert der Matrix

und sei

ein zugehöriger Eigenvektor und

mit

als komplexwertiger -Einheitsmatrix.

Dann gilt einerseits

und andererseits wegen für einen Index

.

Man hat also

und dann weiter

.

und damit

.

Folglich ist

und daher

  ,

was die Behauptung des Satzes beweist.

Quellen und Hintergrundliteratur[Bearbeiten]

  • S. Gerschgorin: Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. In: Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 1, 1931, S. 749-754 ([1]).
  • James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Acadmic Press, New York and London, 1970). 30, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3. MR1744713
  • Richard S. Varga: Geršgorin and His Circles. 36, Springer Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21100-4. MR2093409

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. 1,0 1,1 1,2 James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution ... 2000, S. 49