Beweisarchiv: Lineare Algebra: Vektorräume:Jeder Vektorraum hat eine Basis

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Beweisarchiv: Lineare Algebra



Jeder Vektorraum hat eine Basis

Voraussetzungen[Bearbeiten]

Wir setzen ZFC voraus und verwenden das Auswahlaxiom in Form des Lemmas von Zorn. Weiter sei ein beliebiger Vektorraum.

Behauptung[Bearbeiten]

besitzt eine Basis.

Beweis[Bearbeiten]

Basen sind maximale, linear unabhängige Teilmengen eines Vektorraums, wir betrachten also die Menge

Weil die leere Menge immer linear unabhängig ist, gilt und ist nicht leer. Um das Lemma von Zorn anwenden zu können, muss eine Halbordnung auf definiert werden. Die Inklusion ist eine solche. Sei nun eine Kette in . Zu zeigen ist, dass eine obere Schranke besitzt, also eine Menge, die alle Mengen von enthält. habe die Gestalt

mit als beliebige Indexmenge. Weil wir eine Menge suchen, die alle Mengen von enthält, bilden wir die Vereinigung aller Mengen von :

enthält offensichtlich alle Mengen von , bleibt zu zeigen, dass in liegt. Dazu nehmen wir an, liege nicht in . Dann enthält Vektoren, die linear abhängig sind. Betrachten wir die Gleichung

Weil eine Kette ist, gilt oder , also oder . Es gibt also eine linear unabhängige Menge (), die enthält. Fährt man so fort, so folgt, dass eine Menge enthalten muss, die alle enthält. Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit aller Mengen in . Also ist . Nun ist das Lemma von Zorn anwendbar: besitzt also ein maximales Element, welches gerade die gesuchte Basis ist.