Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton

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Beweisarchiv: Lineare Algebra



Satz von Cayley-Hamilton


Voraussetzungen[Bearbeiten]

Es seien ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein -linearer Endomorphismus von .

Behauptung[Bearbeiten]

ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.

Beweis[Bearbeiten]

Es sei die von erzeugte kommutative Unteralgebra von . Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante des Endomorphismus von ist gleich null.

Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix gibt es eine Matrix , deren Einträge Polynome in den Einträgen von sind, so dass gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere

Das Bild ist aber im Kern der Abbildung

enthalten. Es gilt also für alle , aber das ist nichts anderes als die Aussage in .

Elementarer Beweis[Bearbeiten]

Etwas weniger elegant, aber elementarer geht es so:

Zu betrachte den Vektorraum .

Da endlichdimensional ist, erzeugen bereits Vektoren den Unterraum .

Wählt man minimal, bildet eine Basis von . Ansonsten hätte ein eine Darstellung im Widerspruch dazu, daß minimal ist.

Nach Konstruktion gilt und wir haben aufgrund der Basiseigenschaft

. Damit hat bezüglich die Darstellung

.

Mit einiger Rechnerei (Entwickeln nach der letzten Spalte, Stichwort Frobenius-Matrix) berechnet man das Charakteristische Polynom von :

.

Setzen wir nun in dieses Polynom ein, und wenden die entstehende lineare Abbildung auf an, erhalten wir:

.

Ergänzen wir die Basis von zu einer Basis von , so hat bezüglich die Matrixdarstellung . In der Blockmatrix taucht unser auf. Wir sehen, daß ein Teiler von ist. Die sind entsprechend dimensionierte Einheitsmatrizen. Damit folgt .

Da wir anfangs beliebig gewählt haben, ist die Abbildung die Nullabbildung und der Satz ist bewiesen.