Collatzfolgen und Schachbrett: Abschluss

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8.Abschluss

Aus dem eben Dargestellten sowie den Ergebnissen bei Betrachtungen der Spuren von Collatzfolgen möchte ich eine Behauptung formulieren. Dazu gehe ich von der Darstellung der Anfangszahl z im Zweiersystem aus und gehe dann über zur Januszahldarstellung.

$z=\sum _{i=1}^{k}(a_{i}\cdot 2^{i})$

ist die Darstellung der Anfangszahl im Zweiersystem mit k als Maximum der Zahlen i.

Da im ungünstigsten Falle auf jeden M-Schritt nur ein D-Schritt folgt, entspricht dem höchsten Zweier-Exponent ein ebenso großer Dreier-Exponent.

Verfolgt man nämlich die Collatz-Folge auf dem Spielbrett, so bewegen sich alle Steine im Rechteck zwischen (0|0) und (k+1|k+1). Wahrscheinlich existieren nur für relativ wenige, kleinere Zahlen (z.B. 27) Abweichungen von dieser Feststellung.

Daraus ergibt sich dann auch die folgende – sehr schwache – Abschätzung.

Die größte Zahl einer Collatz-Folge ist kleiner als die Summe der Werte aller Felder in dem
obengenannten Rechteck.

Ob diese sehr schwache und wie ich hoffe richtige Aussage über eine Beschränktheit der Collatzfolgen ausreicht, um daraus auf eine Gleichheit der natürlichen Zahlen und der Menge der Collatz-Zahlen zu schließen, kann ich leider nicht beurteilen, weil ich nicht über die entsprechende universitäre mathematische Ausbildung verfüge.

Ob man aus den von mir gefundenen Fakten zu einem Beweis für die Aussage kommen kann, dass für jede ungerade Zahl die zugehörige Collatz-Folge existiert, hoffe ich. Vielleicht gibt das vorliegende Skript Anstöße zum Auffinden eines solchen Beweises.

Falls ein Leser nähere Informationen zu dem Skript haben möchte oder Vorschläge für weitergehende Änderungen hat, möge er mir für eine Kontaktaufnahme bitte eine E-Mail an folgende Adresse senden:

kbwrd@aol.com