Die folgenden Darstellungen möchte ich der Anschaulichkeit halber – wie früher bereits vorbereitet – auf dem Spielfeld erläutern. Wie bereits angedeutet, sind die im Verlauf der Folgen auftauchenden Dreierpotenzen für dieses chaotische Verhalten verantwortlich. Dies soll im Folgenden erläutert werden.
Dazu schauen wir uns zuerst die ersten Dreierpotenzen der Reihe nach an und gehen entsprechend den Umwandlungsregeln vor.
7.42 Darstellung für die Ausgangszahl 3 und die Umwandlungsregel 4 (UR4)[Bearbeiten]
Ausgangssituation
Endsituation nach UR4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
7.43 Darstellung für die Ausgangszahl 9[Bearbeiten]
Ausgangssituation
nach UR4
nach UR4 für 3
nach UR2 und Endsituation
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
7.44 Darstellung für die Ausgangszahl 27[Bearbeiten]
Ausgangssituation
nach UR4
nach UR4 für 9
nach UR2 für 6 u. 18
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
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2
4
12
36
108
324
1
2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
nach UR4 für 3 und Endsituation
4
16
48
144
432
1296
3
8
24
72
216
648
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4
12
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108
324
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2
6
18
54
162
0
1
3
9
27
81
0
1
2
3
4
7.45 Darstellung für die Ausgangszahl 81[Bearbeiten]
Wie man sieht, werden durch die Umwandlungsregeln UR2 und UR4 die Dreierpotenzen umgewandelt in die nächstkleinere echte Januszahl sowie weitere kleinere Summanden. Dabei verkleinert sich die Dreierpotenz um zwei, während sich die Zweierpotenzen um drei vergrößern.
Beispiele:
Allgemein:
Hierbei ist der letzte Summand i.d.R. wieder eine reine Dreierpotenz und muss entsprechend weiterverarbeitet werden.
Interessant ist noch der Fall, wenn in der Folge Gruppen von Dreier-potenzen auftreten. Dann kann man UR2 direkt auf die Dreierpotenzen anwenden, wodurch sich die obige Aussage etwas verändert.
Beispiel:
Hier wird die Dreierpotenz nur um eins verkleinert, während die Zweierpotenz um zwei wächst. Eine solche Zweiergruppe von Dreierpotenzen tritt aber nur dann auf, wenn die Umwandlungsregeln vorher nicht konsequent angewandt worden sind.
Daher lässt sich allgemein sagen, dass eine auftauchende Dreierpotenz immer durch die Umwandlungsregeln in eine Summe kleinerer reiner Janus-Zahlen und die 1 zerlegt wird. Damit verschiebt sich dann insgesamt das Geschehen auf dem Spielbrett nach links (und oben) bei einer Vergrößerung der Zahl der Spielsteine (Summanden).