Collatzfolgen und Schachbrett: Chaotisches Verhalten

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7.4 Überlegungen zum chaotischen Verhalten der Folgen

7.41 Einleitung

Die folgenden Darstellungen möchte ich der Anschaulichkeit halber – wie früher bereits vorbereitet – auf dem Spielfeld erläutern. Wie bereits angedeutet, sind die im Verlauf der Folgen auftauchenden Dreierpotenzen für dieses chaotische Verhalten verantwortlich. Dies soll im Folgenden erläutert werden.

Dazu schauen wir uns zuerst die ersten Dreierpotenzen der Reihe nach an und gehen entsprechend den Umwandlungsregeln vor.

7.42 Darstellung für die Ausgangszahl 3 und die Umwandlungsregel 4 (UR4)

Ausgangssituation	Endsituation nach UR4
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

7.43 Darstellung für die Ausgangszahl 9

Ausgangssituation	nach UR4	nach UR4 für 3	nach UR2 und Endsituation
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

7.44 Darstellung für die Ausgangszahl 27

Ausgangssituation	nach UR4	nach UR4 für 9	nach UR2 für 6 u. 18
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

nach UR4 für 3 und Endsituation
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

7.45 Darstellung für die Ausgangszahl 81

Ausgangssituation	nach UR4	nach UR4 für 27	nach UR2 für 18 u. 54
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

nach UR4 für 9	nach UR4 für 3	Endsituation nach UR2 für 2 u. 6
4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

7.46 Schlussbemerkung

Wie man sieht, werden durch die Umwandlungsregeln UR2 und UR4 die Dreierpotenzen umgewandelt in die nächstkleinere echte Januszahl sowie weitere kleinere Summanden. Dabei verkleinert sich die Dreierpotenz um zwei, während sich die Zweierpotenzen um drei vergrößern.

Beispiele:

 ${\begin{aligned}81&=3^{4}=3^{2}\cdot 9=3^{2}\cdot (8+1)=3^{2}\cdot 8+9\\&=3^{2}\cdot 2^{3}+9=3^{2}\cdot 2^{3}+8+1\\&=3^{2}\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}+1\end{aligned}}$

 ${\begin{aligned}27=3^{3}&=3\cdot 9=3\cdot (8+1)=3\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}\\&=3\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}+1\end{aligned}}$

Allgemein: $3^{n}=3^{n-2}\cdot 9=3^{n-2}\cdot (8+1)=3^{n-2}\cdot 2^{3}+3^{n-2}\cdot 2^{0}=3^{n-2}\cdot 2^{3}+3^{n-2}$

Hierbei ist der letzte Summand i.d.R. wieder eine reine Dreierpotenz und muss entsprechend weiterverarbeitet werden. Interessant ist noch der Fall, wenn in der Folge Gruppen von Dreier-potenzen auftreten. Dann kann man UR2 direkt auf die Dreierpotenzen anwenden, wodurch sich die obige Aussage etwas verändert.

Beispiel: $108=81+27=3^{4}+3^{3}=3\cdot 3^{3}+3^{3}=3^{3}\cdot (3+1)=3^{3}\cdot 4=3^{3}\cdot 2^{2}$

Hier wird die Dreierpotenz nur um eins verkleinert, während die Zweierpotenz um zwei wächst. Eine solche Zweiergruppe von Dreierpotenzen tritt aber nur dann auf, wenn die Umwandlungsregeln vorher nicht konsequent angewandt worden sind.

Daher lässt sich allgemein sagen, dass eine auftauchende Dreierpotenz immer durch die Umwandlungsregeln in eine Summe kleinerer reiner Janus-Zahlen und die 1 zerlegt wird. Damit verschiebt sich dann insgesamt das Geschehen auf dem Spielbrett nach links (und oben) bei einer Vergrößerung der Zahl der Spielsteine (Summanden).

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