Collatzfolgen und Schachbrett: Umwandlungsregeln

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7.3 Die Umwandlungsregeln[Bearbeiten]

Im Folgenden werden die Umwandlungsregeln mathematisch bewiesen. Dazu wird auf den Abschnitt 5 und die Einführung der Janus-Zahlen verwiesen.


UR 1: Es liegen zwei Steine auf demselben Feld.

(d1 | z1) + (d1 | z1) = (d1 | z1 + 1)

 


UR 2: Es liegen zwei Steine nebeneinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 + 1 | z1) = (d1 | z1 + 2)

 


UR 3: Es liegen zwei Steine übereinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 | z1 + 1) = (d1 + 1 | z1 )



UR 4: Es liegt ein Stein auf einem blauen Feld.

(d1 | 0 ) = (d1 - 1 | 1) + (d1 - 1 | 0 )



Da bzw. (d1 - 1 | 0 ) in der Regel wieder ein Stein auf einem blauen Feld ist, muss diese Regel meist mehrfach angewendet werden.