Collatzfolgen und Schachbrett: Umwandlungsregeln

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7.3 Die Umwandlungsregeln

Im Folgenden werden die Umwandlungsregeln mathematisch bewiesen. Dazu wird auf den Abschnitt 5 und die Einführung der Janus-Zahlen verwiesen.

UR 1: Es liegen zwei Steine auf demselben Feld.

(d1 | z1) + (d1 | z1) = (d1 | z1 + 1)

 ${\begin{aligned}3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}+3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}&=2\cdot 3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}\\&=3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}+1}\end{aligned}}$

UR 2: Es liegen zwei Steine nebeneinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 + 1 | z1) = (d1 | z1 + 2)

 ${\begin{aligned}3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}+3^{d_{1}+1}\cdot 2^{z_{1}}&=(3^{d_{1}}+3^{d_{1}+1})\cdot 2^{z_{1}}\\&=(3^{d_{1}}+3\cdot 3^{d_{1}})\cdot 2^{z_{1}}=3^{d_{1}}\cdot (3+1)\cdot 2^{z_{1}}=3^{d_{1}}\cdot 4\cdot 2^{z_{1}}\\&=3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}+2}\end{aligned}}$

UR 3: Es liegen zwei Steine übereinander auf benachbarten Feldern.

(d1 | z1) + (d1 | z1 + 1) = (d1 + 1 | z1 )

${\begin{aligned}3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}+3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}+1}&=3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}+3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}\cdot 2\\&=3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}\cdot (1+2)=3^{d_{1}}\cdot 2^{z_{1}}\cdot 3\\&=3^{d_{1}+1}\cdot 2^{z_{1}}\end{aligned}}$

UR 4: Es liegt ein Stein auf einem blauen Feld.

(d1 | 0 ) = (d1 - 1 | 1) + (d1 - 1 | 0 )

${\begin{aligned}3^{d_{1}}\cdot 2^{0}&=(3^{d_{1}-1}\cdot 3)\cdot 2^{0}=(3^{d_{1}-1}\cdot (2+1))\cdot 2^{0}\\&=3^{d_{1}-1}\cdot 2^{1}+3^{d_{1}-1}\cdot 2^{0}\end{aligned}}$

Da $3^{d_{1}-1}\cdot 2^{0}$ bzw. (d1 - 1 | 0 ) in der Regel wieder ein Stein auf einem blauen Feld ist, muss diese Regel meist mehrfach angewendet werden.