Collatzfolgen und Schachbrett: Weitere Überlegungen

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7.2 Weitere Überlegungen im Bereich der Zahlensysteme:[Bearbeiten]

(1) Teilbarkeit durch 2 im Dreiersystem[Bearbeiten]

Die Durchführung des M-Schrittes wurde in 4.3 bereits vorgestellt. Dabei ergab sich auch die Frage, wie man dem Ergebnis bzw. einer anderen Zahl im Dreiersystem ansieht, ob sie eine gerade Zahl und damit durch „zwei“ teilbar ist.

Schaut man sich dazu eine Zahl im Dreiersystem an, so weiß man, dass die Ziffern angeben, wie oft die zugehörige Dreierpotenz in der Summe zur Bestimmung des Wertes der Zahl auftaucht. Jede Dreierpotenz ist nun aber ungerade; zwei, vier usw. Dreierpotenzen sind also in der Summe gerade; ein, drei usw. Dreierpotenzen also ungerade. D.h. aber, die Quersumme der Zahl im Dreiersystem gibt den gewünschten Hinweis. Ist die Quersumme gerade, so auch die Zahl.

Beispiel 1:  20113  = 2 * 33 + 0 * 32 + 1 * 3 + 1 = 54 +  0 + 3 + 1 = 58
Die Quersumme ist also 2+0+1+1=4. Zahl und Quersumme sind also beide gerade.
Beispiel 2:  12023  = 1 * 33 + 2 * 32 + 0 * 3 + 2 = 27 + 18 + 0 + 2 = 47
Die Quersumme ist also 1+2+0+2=5. Zahl und Quersumme sind also beide ungerade.

Die Division durch 2 erfolgt dann entsprechend einer Division im alltäglichen Zehnersystem unter Berücksichtigung der Eigenschaften im Dreiersystem.

(2) Zahl der Divisionsschritte im Zweiersystem[Bearbeiten]

Wie in 4.2 schon gesagt, zeigt eine endständige „0“ im Zweiersystem an, dass die Zahl gerade und damit durch „2“ teilbar ist. Daraus ergibt sich auch, dass die Zahl der endständigen Nullen angibt, wie oft diese Zahl durch 2 teilbar ist, wie viel D-Schritte also durchführbar sind. Damit kann man sich Zahlen konstruieren, auf denen eine vorgegebene Zahl von D-Schritten durchführbar ist.

Beispiel: 4 D-Schritte
Die Zahl z muss also 4 endständige Nullen und davor mindestens eine „I“ haben.
Also: X0000	Dabei ist X eine beliebige auf „I“ endende Bitfolge, also eine ungerade Zahl.
z.B.:   X = I00I = 9   und damit    z = I00I0000 = 144
Sowie:   144 : 2^4 = 144 : 16 = 9

Um die Ausgangszahl für diese D-Schritte zu erreichen, muss der M-Schritt umgekehrt werden. D.h., man muss „1“ abziehen und danach durch „3“ teilen. Daraus ergibt sich: z - 1 = I000IIII = 143. Diese Zahl ist aber nicht durch „3“ teilbar. Also ist die betrachtete Zahl auch nicht durch einen M-Schritt erreichbar. Die Bitfolge X muss also noch weitere Bedingungen erfüllen.

Die Suche im Zweiersystem nach Zahlen, die durch „3“ teilbar sind und die obige Bedingung erfüllen, ist etwas mühselig. Deshalb geht man besser den Weg über die Multiplikation und sieht erst einmal nach, was dabei passiert. In 4.2 wurde die Multiplikation mit „3“ schon vorgestellt. Also: z*3 = z*(2+1)=2*z +z

Dazu mit den ersten natürlichen Zahlen:
    I•II =            I0+I =         II  Addiert man dazu “1”:  I00
   II•II =          II0+II =       I00I                        I0I0
  I0I•II =        I0I0+I0I =       IIII                       I0000
  III•II =        III0+III =      I0I0I                       I0II0 
 I00I•II =      I00I0+I00I =      II0II                       III00
 I0II•II =      I0II0+I0II =     I0000I                      I000I0
 II0I•II =      II0I0+II0I =     I00III                      I0I000
 IIII•II =      IIII0+IIII =     I0II0I                      I0III0
I0I0I•II =    I0I0I0+I0I0I =     IIIIII                     I000000

Man erkennt: - Durch den M-Schritt wird aus jeder ungeraden Zahl eine gerade, d.h. nach jedem M-Schritt folgt mindestens ein D-Schritt. - Mehr als eine „0“ entsteht immer dann, wenn am Ende der ungeraden Zahl eine oder mehrere „0I“-Gruppen stehen, wobei eine „0I“-Gruppe mindestens zu zwei Nullen führt, zwei „0I“-Gruppen mindestens zu vier Nullen usw. mit der entsprechenden Zahl von D-Schritten. - Vergleicht man die Zahlen I00I und II0I, so sieht man, dass man exakt zwei Nullen erhält, wenn vor der „0I“-Gruppe eine „0“ steht; drei Nullen, wenn dort eine „I“ steht. Entsprechendes gilt bei mehreren „0I“-Gruppen.