Die Sprache der Mathematik: Mengen

Eine Menge nach Cantor ist eine Zusammenfassung M von wohldefinierten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente von M.

Bezeichnungen

Sei M eine Menge. Dann gelten folgende Bezeichnungen:

• $m\in M$ bedeutet: m ist Element von M.
• Sind a,b,c,d Objekte, so ist $\{a,b,c,d\}$ die Menge die genau die Elemente a,b,c,d enthält.
• Sei $A(\cdot )$ eine Aussageform. Dann ist $\{x|x\in M{\mbox{ und }}A(x)\}$ die Menge aller Elemente von M, für die A wahr ist. Für diese Menge schreibt man auch: $\{x\in M|A(x)\}$.

Mengenbildung

Es gibt drei Möglichkeiten, eine Menge zu bilden:

1. Durch Angeben der Elemente: Man bildet zu Objekten $m_{1},...,m_{n}$ die Menge, die diese Element enthält.
2. Durch Selektion: Man bildet die Menge aller Objekte, für die eine bestimmte Aussageform $A(\cdot )$ wahr ist.
3. Aus anderen Mengen: Seien M,N Mengen.
   1. $M\cup N$ ist die Menge $\{x|x\in M{\mbox{ oder }}x\in N\}$, genannt die Vereinigung von M und N
   2. $M\cap N$ ist die Menge $\{x|x\in M{\mbox{ und }}x\in N\}$, genannt der Schnitt von M und N.
   3. $M\setminus N$ ist die Menge $\{x|x\in M{\mbox{ und }}x\not \in N\}$, genannt die Differenz von M und N.
   4. Ist jedes Element von M auch ein Element von N, so ist $M^{c}$ die Menge $\{x\in N|x\not \in M\}$, das sogenannte Komplement von M in N.
   5. ${M}\times {N}$ ist die Menge der Paare (oder 2-Tupel) $\{(m,n)|m\in M{\mbox{ und }}n\in N\}$, das sogenannte Kreuzprodukt der Mengen M und N.

Bemerkung zu 3.1 und 3.2: Da $M\cup N$ ($M\cap N$) wieder Mengen bilden, kann man beliebig viele Mengen so verknüpfen. Für die Vereinigung (den Schnitt) von n Mengen $M_{1},M_{2},...,M_{n}$ schreibt man dann $\bigcup \limits _{i=1}^{n}M_{i}$  ($\bigcap \limits _{i=1}^{n}M_{i}$).

Bemerkung zu 3.4: Offenbar gilt: $(M^{c})^{c}=M$.

Die deMorganschen Regeln

Sind A,B,C Mengen, so gilt:

1. $A\cup B=B\cup A$ und $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativität)
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ und $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativität)
3. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ und $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ (Distributivgesetze)
4. $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B$

Beziehungen zwischen Mengen

Zwischen zwei Mengen M und U können bestimmte Beziehungen gelten:

• $M\subseteq U$ bedeutet: $x\in M\Rightarrow x\in U$
• $M=U$ bedeutet: $M\subseteq U$ und $U\subseteq M$
• $M\subset U$ bedeutet: $M\subseteq U$ und $M\not =U$
• $U\supseteq M$ bedeutet: $M\subseteq U$
• $M\cong U$ bedeutet: Es gibt einen Isomorphismus von M nach U. Man sagt auch: M und U sind isomorph.

Die leere Menge

Eine Menge, die keine Elemente enthält, nennt man leere Menge. Aussagen, die für alle Elemente einer leeren Menge gelten, sind immer wahr. Hieraus folgt schnell, dass es genau eine leere Menge gibt, denn wären M und N leere Mengen, wäre jedes Element von M auch Element von N und umgekehrt. Ebenso folgt für jede Menge M: $\emptyset \subseteq M$. Die leere Menge wird mit $\emptyset$ bezeichnet.

Mächtigkeit und Gleichmächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge M ist die Anzahl ihrer Elemente, geschrieben als $|M|$. Es ist auch $|M|=\infty$ möglich. Es gilt: $|\emptyset |=0$ Die Mächtigkeit ist das Urbeispiel für ein Maß. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen enthalten. Um die Gleichmächtigkeit auch bei unendlich großen Mengen verwenden zu können, definiert man: Zwei Mengen M und U heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von M nach U gibt.

Unendliche Mengen

Eine Menge M heißt unendlich, falls sie unendlich viele Elemente enthält. M heißt abzählbar unendlich , falls M gleichmächtig zur Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen ist. Ist M abzählbar unendlich oder endlich, so sagt man auch M ist abzählbar. Ist M nicht abzählbar, so sagt man, M ist überabzählbar.

Potenzmenge

Zu einer Menge M definieren wir die Potenzmenge ${\mathfrak {P}}(M)$ durch: ${\mathfrak {P}}(M):=\{U|U\subseteq M\}$. Die Potenzmenge von M ist also die Menge aller Teilmengen von M (Beispiel weiter unten).

Für alle Mengen M gilt: $|M|<|{\mathfrak {P}}(M)|$.

Beweis:

Sei M eine Menge.

Ist M die leere Menge, so gilt: $|M|=0<1=|{\mathfrak {P}}(M)|$, da $\emptyset \subseteq \emptyset$.

Sei also M nicht leer und endlich. Dann enthält ${\mathfrak {P}}(M)$ für jedes $m\in M$ das Element $\{m\}\!\$ sowie die Menge M selbst, also $|M|<|{\mathfrak {P}}(M)|$.

Ist M nun unendlich, so enthält auch ${\mathfrak {P}}(M)$ unendlich viele Elemente da für alle $m\in M$ gilt: $\{m\}\in {\mathfrak {P}}(M)$. Damit hat man schon $|M|\leq |{\mathfrak {P}}(M)|$ gezeigt. Bleibt noch, dass auch für unendliche Mengen M gilt: $|M|\neq |{\mathfrak {P}}(M)|$.

Dies kann man mit "Beweis durch Widerspruch" zeigen, d.h. wir nehmen an, es gäbe eine unendliche Menge M mit $|M|=|{\mathfrak {P}}(M)|$. Dann gibt es (s.o.) eine bijektive Abbildung $f:M\to {\mathfrak {P}}(M)$. (Für ein Element $x\in M$ ist $f(x)\!\$ also ein Element von ${\mathfrak {P}}(M)$ und somit eine Teilmenge von M, in Formeln $f(x)\subseteq M$)

Sei $A:=\{x\in M:x\notin f(x)\}$, damit ist auch A eine Teilmenge von M. Da wir angenommen haben, es gäbe eine bijektive Abbildung $f:M\to {\mathfrak {P}}(M)$, muss es auch ein $b\in M$ geben, mit $f(b)=A\!\$.

Wäre b in A enthalten, so würde nach Definition gelten, dass $b\notin \ f(b)=A$, also dass b nicht in A enthalten ist, ein Widerspruch. Wäre b nicht in A enthalten, hiesse das, dass $b\in f(b)=A$, also dass b in A enthalten ist, wieder ein Widerspruch. Fazit: die Annahme, dass $|M|=|{\mathfrak {P}}(M)|$ führt auf einen Widerspruch, muss also falsch sein. Da also keine Gleichheit sein kann und wir "kleiner gleich" schon gezeigt haben, gilt

$|M|<|{\mathfrak {P}}(M)|$. q.e.d.

Beispiel

Sei $M:=\{1,2\}\!\$, dann ist ${\mathfrak {P}}(M)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$

Anmerkung

Es lässt sich auch noch zeigen, dass $|{\mathfrak {P}}(M)|=2^{|M|}$ (Für endliche Mengen per Induktion.)

Nichtexistenz eines Universums

Es ist zu bemerken, dass die Menge aller Mengen (auch Universum genannt) nicht existiert. Zum Beweis führen wir zunächst die Russelmenge ein: Für jede Menge M sei die Russelmenge $Ru(M):=\{x\in M|x\not \in x\}$. Mit dieser Definition folgt für alle Mengen M, dass $Ru(M)\not \in M$ ist, denn wäre $Ru(M)\in M$, so wäre $Ru(M)$ als festes Element entweder Element von $Ru(M)$ oder nicht. In beiden Fällen würde gelten: $Ru(M)\in Ru(M)\Leftrightarrow Ru(m)\not \in Ru(M)$. Da dies ein Widerspruch ist, ist offenbar $Ru(M)\not \in M$. Wäre nun U die Menge aller Mengen, so wäre, wie eben gezeigt, $Ru(U)\not \in U$. Da aber U die Menge aller Mengen ist, ist dies ein Widerspruch.

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