Die Stringtheorie: Eigenschaften der Raumzeit in der Stringtheorie

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Verborgene Dimensionen

Wie zuvor bereits erwähnt funktioniert die Stringtheorie nur, wenn sie in einer zehndimensionalen Raumzeit formuliert wird. Genauer gesagt benötigt sie neun Raumdimensionen und eine Zeitdimension, was allerdings in krassem Widerspruch zu unserer Alltagserfahrung und den experimentellen Daten steht, wo wir nur drei Raumdimensionen (Länge, Breite und Höhe) wahrnehmen, also eine vierdimensionale Raumzeit. Wie kann die Stringtheorie nun die Kluft zwischen Theorie und Experiment überwinden?

Die Kaluza-Klein-Theorie

Eine aufgewickelte Dimension an jedem Punkt der Raumzeit

Zwei Dimensionen zu einer Kugel aufgerollt

Zwei Dimensionen zu einem Torus aufgerollt

Schon vor knapp hundert Jahren äußerte der damals unbekannte deutsche Physiker Theodor Kaluza die Idee, unser Universum könnte eine zusätzliche Raumdimension besitzen, die wir aber nicht wahrnehmen können [70, S.7]. 1919 schickte er Einstein einen Brief, in dem er dessen Gravitationstheorie mit der Maxwellschen Theorie des Elektromagnetismus vereinigte, indem er eine fünfte Dimension einführte (Kaluza ging also von vier Raumdimensionen und einer Zeitdimension aus). In Anlehnung an frühere Arbeiten behauptete er, elektromagnetische Wellen seien Störungen, die durch die Krümmung dieser fünften Dimension hervorgerufen werden [31]. Einstein gefiel die Idee, jedoch veröffentlichte er, nachdem ihm gewisse Zweifel überkamen, Kaluzas Arbeit erst zwei Jahre später. Die Sache hatte allerdings einen Haken. Alle wissenschaftlichen Experimente hatten bisher ausnahmslos ein Universum mit drei Raumdimensionen bestätigt. Wo also befand sich diese fünfte Dimension [32]?

Eine Antwort darauf lieferte 1926 der schwedische Physiker Oskar Klein, der behauptete, die zusätzliche Dimension sei winzig klein und zu einem Kreis mit dem Radius der Plancklänge aufgewickelt [33]. Dies lässt sich an einem Beispiel verdeutlichen:

Aus einer gewissen Entfernung betrachtet erscheint ein Faden eindimensional, er besitzt also nur Ausdehnung entlang seiner Länge. Würde nun ein kleiner Käfer auf dem Faden krabbeln, so könnte er sich demnach nur in einer Dimension, nämlich nach links oder rechts, bewegen. Bei näherer Betrachtung allerdings wird noch eine zweite Dimension sichtbar, der Faden besitzt eine gewisse Dicke. Diese zweite Dimension ist zu einem Kreis mit kleinem Radius aufgewickelt und wird erst sichtbar, wenn man den Faden aus sehr kurzer Entfernung betrachtet. Somit wird klar, dass der Käfer nicht nur nach links oder rechts, sondern auch um den Faden herum krabbeln kann. Die beiden Dimensionen unterscheiden sich also: Während die eine zu einem winzigen Kreis aufgewickelt ist, ist die andere lang und ausgedehnt [34] [68] [70, S.8].

An diesem Beispiel wird deutlich, dass Dimensionen in zwei verschiedenen Arten vorkommen können, nämlich kompaktifiziert oder ausgedehnt. Laut Klein ist das Universum ähnlich der Oberfläche eines Fadens. Während die drei beobachtbaren räumlichen Dimensionen lang und ausgedehnt sind, ist die vierte räumliche Dimension klein und kompaktifiziert und somit derzeit (und in absehbarer Zeit) mit unseren Messgeräten nicht nachweisbar. Könnten wir in kleinste Bereiche vordringen, so würden wir feststellen, dass sich an jedem Punkt der Raumzeit eine aufgewickelte fünfte Dimension befindet. Diese Theorie war damals völlig neu, wurde jedoch zu einem denkbar schlechten Zeitpunkt veröffentlicht, da zu dieser Zeit gerade die Quantentheorie entstand, welche so bemerkenswerte Erfolge bei der Beschreibung der nichtgravitativen Kräfte erzielte, dass die Kaluza-Klein-Theorie für die nächsten 60 Jahre in Vergessenheit geriet, bis Stringtheoretiker sie wieder hervorkramten [35].

Weblink:  Kaluza-Klein-Theorie

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten

Strings auf der Oberfläche einer Kugel oder eines Torus

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten an jedem Punkt der Raumzeit

In der Kaluza-Klein-Theorie ist eine fünfte Dimension zu einem Kreis mit dem Radius der Plancklänge aufgewickelt. Nach diesem Schema lassen sich jedoch noch weitere (im Prinzip unendlich viele) Dimensionen kompaktifizieren. Hätte das Universum beispielsweise zwei versteckte Dimensionen, so wären diese entweder in Form einer Kugel oder eines Torus aufgewickelt. (Zu beachten ist hierbei jedoch, dass die Kugeloberfläche ein höheres Maß an Symmetrie besitzt als die eines Torus. Strings, die sich auf einer Kugeloberfläche bewegen, lassen sich in beliebig andere transformieren. Strings, die sich auf einem Torus bewegen, können entweder um das Loch oder nicht um das Loch gewunden sein (siehe Punkt 5.2) und lassen sich auch nicht gegenseitig ineinander transformieren, was einen Symmetriebruch bewirkt [68].) Nach diesem Prinzip sind auch die sechs zusätzlichen Dimensionen der Stringtheorie aufgewickelt. Das Besondere daran ist, dass sich die Anzahl der Dimensionen automatisch aus ihren Gleichungen ergibt. Darüber hinaus bestimmen diese auch die Form, in der die Zusatzdimensionen aufgewickelt sind, nämlich so genannte Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten oder Calabi-Yau-Räume (benannt nach ihren Entdeckern Eugenio Calabi und Shing-Tung Yau [37]).

Ähnlich wie bei der gerade erläuterten Kompaktifizierung von einer oder zwei Dimensionen befinden sich an jedem Punkt der Raumzeit die sechs zusätzlichen Dimensionen aufgewickelt in Form von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten [68]. Weil diese so klein sind, konnten wir sie bisher nicht entdecken, da Strings jedoch die Größe der Plancklänge besitzen, schwingen sie auch in den sechs zusätzlichen Dimensionen, was deren Eigenschaften natürlich maßgeblich beeinflusst. Es gibt allerdings mehrere zehntausend verschiedene Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, die für den extra-dimensionalen Teil der Raumzeit in Frage kommen, und bis heute weiß niemand, welche davon die Richtige ist. Noch nicht einmal deren exakte Größe ist bekannt. Die Form der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bestimmt aber in höchstem Maße die Schwingungen der Strings und somit deren Teilcheneigenschaften, was die Entdeckung des richtigen Calabi-Yau-Raums zu einer Notwendigkeit macht [38]. Es gibt jedoch einen Aspekt, der die Zahl der in Frage kommenden Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten reduziert.

Wie bereits erwähnt, ist eine der großen Fragen der Physik die nach dem Grund der Existenz dreier Teilchenfamilien. Die Stringtheorie bietet hierfür eine Antwort. Ein Calabi-Yau-Raum kann Löcher enthalten, die ihrerseits eine Vielzahl verschiedener Dimensionen besitzen können. Wie sich gezeigt hat, ist jede Teilchenfamilie mit so einem mehrdimensionalen Loch assoziiert, woraus folgt, dass der Calabi-Yau-Raum, zu dem die Zusatzdimensionen aufgewickelt sind, drei Löcher besitzen muss. Somit folgt die Zahl der Teilchenfamilien in unserem Universum aus der Form der aufgewickelten Extradimensionen [39]. Eines der größten Ziele in der Stringtheorie ist nun, die exakte Form des Calabi-Yau-Raums zu bestimmen.

Weblink:  Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit

Windungen von Strings

Im Gegensatz zu den Punktteilchen des Standardmodells, können Strings sich auf zwei verschiedene Arten durch aufgewickelte Dimensionen bewegen. Man unterscheidet hier zwischen gewundenen und nichtgewundenen Strings, wobei erstere um die kompaktifizierten Dimensionen gewickelt sind. Diese gewundenen Strings besitzen die gleichen Eigenschaften wie nichtgewundene, haben aber im Gegensatz zu ihnen eine Mindestmasse, die von der Größe der kreisförmigen Dimensionen und ihrer Windungszahl abhängt. Die Windungszahl eines Strings bezeichnet die Anzahl seiner Windungen um die kompaktifizierte Dimension, wobei das Vorzeichen die Richtung festlegt [40] [68]. Da der Umfang eines Kreises direkt proportional zu seinem Radius ist, ist die Mindestmasse und somit auch die Mindestenergie eines gewundenen Strings direkt proportional zum Radius der kreisförmigen Dimension. Dies hat weitreichende Konsequenzen [40].

Die Geometrie des Universums bei kleinen Abständen

Die Energie eines Strings wird von zwei Faktoren bestimmt, seiner Windungsenergie und, wie bereits dargelegt, der Art seiner Schwingung. Wie zuvor erwähnt, ist die Schwingung eines Strings immer eine Kombination aus gewöhnlicher Schwingung und Schwerpunktschwingung. Nach der Unschärferelation verfügen die Anregungen der Schwerpunktschwingung eines Strings über Energien, welche dem Radius der kompaktifizierten Dimension umgekehrt proportional sind, da ein kleinerer Radius den String stärker eingrenzt und so den Energiegehalt seiner Bewegung erhöht. Ein großer Radius bedeutet also große Windungs- und kleine Schwingungsenergien, ein kleiner Radius kleine Windungs- und große Schwingungsenergien von Strings [68].

R = 10

Schwingungszahl	Windungszahl	Gesamtenergie
1	1	1/10 + 10 = 10,1
1	2	1/10 + 20 = 20,1
1	3	1/10 + 30 = 30,1
1	4	1/10 + 40 = 40,1
2	1	2/10 + 10 = 10,2
2	2	2/10 + 20 = 20,2
2	3	2/10 + 30 = 30,2
2	4	2/10 + 40 = 40,2
3	1	3/10 + 10 = 10,3
3	2	3/10 + 20 = 20,3
3	3	3/10 + 30 = 30,3
3	4	3/10 + 40 = 40,3
4	1	4/10 + 10 = 10,4
4	2	4/10 + 20 = 20,4
4	3	4/10 + 30 = 30,4
4	4	4/10 + 40 = 40,4

R = 1/10

Schwingungszahl	Windungszahl	Gesamtenergie
1	1	10 + 1/10 = 10,1
1	2	10 + 2/10 = 10,2
1	3	10 + 3/10 = 10,3
1	4	10 + 4/10 = 10,4
2	1	20 + 1/10 = 20,1
2	2	20 + 2/10 = 20,2
2	3	20 + 3/10 = 20,3
2	4	20 + 4/10 = 20,4
3	1	30 + 1/10 = 30,1
3	2	30 + 2/10 = 30,2
3	3	30 + 3/10 = 30,3
3	4	30 + 4/10 = 30,4
4	1	40 + 1/10 = 40,1
4	2	40 + 2/10 = 40,2
4	3	40 + 3/10 = 40,3
4	4	40 + 4/10 = 40,4

Der entscheidende Punkt ist nun folgender: Für Windungsenergien bei einem großen Kreisradius gibt es gleich große Schwingungsenergien eines entsprechenden kleinen Radius und für Windungsenergien bei einem kleinen Radius existieren entsprechend große Schwingungsenergien eines großen Radius. Da die physikalischen Eigenschaften eines Strings von seiner Gesamtenergie (der Summe aus Windungs- und Schwingungsenergie) abhängen, gibt es physikalisch keinen Unterschied zwischen diesen beiden Radien [41].

Dies wird nun an einem Beispiel verdeutlicht, wobei der Radius der kompaktifizierten Dimension hier das Zehnfache bzw. ein Zehntel der Plancklänge sein soll. Bei R = 10 sind die Beiträge der Windungsenergien Vielfache von 10 und die der Schwingungsenergien Vielfache von 1/10, bei R = 1/10 sind die Beiträge der Windungsenergien Vielfache von 1/10 und die der Schwingungsenergien Vielfache von 10. Anhand der Schwingungszahl, der Windungszahl und des Radius lässt sich also die Gesamtenergie eines Strings ermitteln. Wie die Tabellen zeigen, bleibt die Gesamtenergie gleich, wenn man die Windungszahl und die Schwingungszahl vertauscht. Dies gilt für jeden beliebigen Radius und seinen reziproken Wert und für eine beliebige Anzahl kompaktifizierter Dimensionen [41].

Das lässt folgende unglaubliche Schlussfolgerung zu: In einem Universum mit dem Radius R sind Massen und Ladungen der Teilchen identisch mit denen in einem Universum mit dem Radius 1/R. Da die Physik maßgeblich von diesen beiden Größen bestimmt wird, sind diese geometrisch so ungleichen Universen physikalisch nicht zu unterscheiden [41] [68]. Nach der Stringtheorie ist unser Universum also identisch mit einem Universum, dessen ausgedehnte kreisförmige Dimensionen Radien von $10^{-51}$ Plancklängen besitzen.

Wie kann jedoch z.B. unser Sonnensystem in so ein kleines Universum hineinpassen, wo doch Strings, die fundamentalen Bausteine der Natur, die Größe der Plancklänge besitzen und somit kleinere Bereiche nicht sondieren können? Die Untersuchung der Art und Weise, wie man Entfernungen im Universum misst, liefert die Antwort. Nichtgewundene Strings können den vollständigen Radius R einer kompaktifizierten Dimension sondieren, da sie sich auf ihr frei bewegen können. Gewundene Strings hingegen können auch Abstände in einem dualen Raum mit dem Radius 1/R messen.

Wenn man nun mit Strings den Radius einer kreisförmigen Dimension misst, dann messen nichtgewundene R und gewundene 1/R [68] [87]. Wir benutzen im Alltag deshalb nur eine der beiden Messmethoden, weil die andere außerordentlich schwer durchzuführen ist, da die auf ihr beruhenden gewundenen Strings aufgrund der Proportionalität ihrer Mindestmasse zum Radius unseres Universums viel zu schwer sind. Bei Abständen unterhalb der Plancklänge werden die nichtgewundenen Strings aufgrund der Unschärferelation nun schwerer als die gewundenen, so dass letztere zur Entfernungsmessung verwendet werden. Die Frage also, wie unser Sonnensystem in ein so kleines Universum hineinpassen soll, beinhaltet zwei verschiedene Entfernungsbegriffe und ist somit sinnlos [42].

Die Tatsache verschiedener Methoden zur Entfernungsmessung führt zu einer bemerkenswerten Konsequenz. Es gibt eine Hypothese, die besagt, dass die Expansion des Universums irgendwann stoppt und in eine Kontraktion umschlägt, bis das Universum im großen Endkollaps auf die Größe Null zusammenstürzt. Untersucht man die letzten Momente vor dem Kollaps im Kontext der Stringtheorie, so stellt man Verblüffendes fest: Während das Universum schrumpft, werden die gewundenen Strings leichter (da die kompaktifizierten Dimensionen kleiner werden) und die nichtgewundenen aufgrund der Unschärferelation schwerer. In dem Moment, wo der Radius des Universums die Plancklänge erreicht, haben Windungs- und Schwingungsmoden der Strings ähnliche Massen und beide Methoden zur Messung von Entfernungen lassen sich anwenden. Sobald das Universum weiter schrumpft, werden die nichtgewundenen Strings erheblich schwerer als die gewundenen, so dass letztere nun zur Entfernungsmessung angewendet werden müssen.

Da diese 1/R messen und der Radius kleiner als die Plancklänge ist, beschreiben diese nun ein Universum mit einem Radius, der größer als die Plancklänge ist und weiter anwächst. Das Universum federt bei der Größe der Plancklänge demnach zurück und expandiert wieder. Da also ab der Plancklänge die leichtere Methode zur Entfernungsmessung wechselt, wird ein Kollaps bis zur Größe Null und die damit verbundenen mathematischen Probleme vermieden [42]. Dieser Zusammenhang zwischen Universen mit den Radien R und 1/R wird als T-Dualität bezeichnet.

An dieser Stelle sei noch einmal betont, dass die vorangegangenen Überlegungen nur gelten, wenn man davon ausgeht, dass die vier ausgedehnten Alltagsdimensionen zu einem riesigen Kreis mit einem Radius von ca. 15 Milliarden Lichtjahren aufgerollt sind. Der experimentelle Beweis steht bis heute leider aus.

Risse in der Raumzeit

Weltvolumen eines Strings umhüllt Riss in der Raumzeit

Die räumliche Ausdehnung von Strings hat eine interessante Auswirkung auf die Raumzeit. Da die allgemeine Relativitätstheorie auf einer glatten Raumzeit basiert, schließt sie von vornherein die Möglichkeit von Löchern und Rissen im Universum aus. Bei einer auf Punktteilchen basierenden Theorie gibt es keine Möglichkeit, dieses Prinzip zu umgehen, allerdings hat der Physiker Edward Witten 1993 gezeigt, dass in der Stringtheorie Risse in der Raumzeit durchaus vorkommen können.

Das liegt daran, dass sich Strings entweder wie Punktteilchen am Riss entlang bewegen, diesen aber auch umwinden können, so dass ihr Weltvolumen diesen umschließt. Wie Witten zeigen konnte, schirmt ein solcher String das Universum gegen die katastrophalen Folgen dieses Risses ab. Nach dem Physiker Richard Feynman legt ein Teilchen (also auch ein String) auf seinem Weg von A nach B alle möglichen Wege gleichzeitig zurück. Sollte die Raumzeit also reißen, so müssen auch die Wege (im Prinzip unendliche viele) von Strings berücksichtigt werden, die den Riss umschließen, auch wenn sich zu diesem Zeitpunkt keine Strings in der Nähe befinden. Die Beiträge dieser Wege heben die katastrophalen Auswirkungen des Risses exakt auf [43]. Somit können im Universum jederzeit Risse auftreten, was Spekulationen über Wurmlöcher und Zeitreisen auf einer physikalischen und mathematischen Grundlage ermöglicht.

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