Die abzählbare Physik/ Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

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Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

Der Quotient von Spannung und Strom stellt die Impedanz dar. Die elektrische Spannung wird durch räumlich verteilte Ladungen und zeitliche Änderung des Magnetflusses bestimmt. Der elektrische Strom ist verknüpft mit bewegten Ladungen und dem ihn räumlich umgebenden Magnetfeld. Die mikroskopischen Größen, Elementarladung $e$ und magnetisches Flussquant $\Phi _{0}$, treten nur in ganzzahliger Form auf, es gibt keine halben Elektronen oder Flussquanten. Daher finden sich im Quotienten aus Spannung und Strom diese ganzen Zahlen in den Brüchen wieder, und wenn Impedanzen gemessen werden, kann dies auf ein Zählen dieser Quanten $e$ und $\Phi _{0}$ zurückgeführt werden. Dieses Zählen hat eine Genauigkeit, die durch die Natur der ganzen Zahlen auf $\Delta =\pm 1$ begrenzt ist.

Es wird gezeigt, dass daraus beim Messen die bekannten Rauschphänomene des Schrotrauschens, Weißes Rauschen und die Nyquist-Grenze folgen. Im Zusammenhang mit der Impedanz von Kondensatoren und Spulen treten Zeiteinheiten auf, die in Kombination mit den Eigenschaften des Klitzing-Widerstandes anschaulich mit dem Ladungstransport verbunden werden. Die Unschärfe beim Abzählen von Ladungen und magnetischen Flussquanten führt zu elektrischen und magnetischen „Nullpunktsfeldern“, deren Quelle die Größe der halben elementaren Quellen hat. Diese Felder treten auch im Zusammenhang mit einer elementaren Hysteresekurve des Memristors auf.

Ist die Welt digital ?

Wenn man sich fragt, ob unsere Welt eine digitale Struktur hat, denkt man normalerweise an Größen wie die Plancklänge $l_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}=1,6\cdot 10^{-35}\,{\text{m}}$ ($G$ Gravitationskonstante, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ Planckkonstante, $c=2,998\cdot 10^{8}\,{\text{m/s}}$ Lichtgeschwindigkeit) oder die Planckzeit $t_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}=5,4\cdot 10^{-44}\,{\text{s}}$, also sehr kleine Maße, die auf Naturkonstanten zurückgeführt werden. Aber schon in atomaren Strukturen kann man eine digitale Welt sehen, wenn Messwerte durch Abzählen erhalten werden, zum Beispiel die Anzahl der Elektronen in den Schalen der Atome. Die fortschreitende Miniaturisierung der elektronischen Bauelemente führt dazu, dass auch die beteiligten Felder und ihre Quellen immer kleiner werden. Erste Transistoren, die mit der Ladung eines einzelnen Elektrons gesteuert werden, wurden kürzlich demonstriert. Unsere experimentelle Erfahrung zeigt, dass die Beobachtungen wesentlich durch Abzählen gequantelter konstanter Größen bestimmt werden, beim Magnetismus ist beispielsweise die Addition der magnetischen Momente typisch. Die Energie, deren Quantelung uns bei Schwingungen begegnet, ist keine elementar abzählbare Größe. In vielen Experimenten begegnet sie uns zwar gequantelt (beim harmonischen Oszillator, beim Potentialtopf), diese Quanten können aber je nach Frequenz $f$ beliebige Größe haben ($E=h\cdot f$). Das Energiemittel eines abgeschlossenen Systems zählt zwar zu den Erhaltungsgrößen, allerdings kann nach aktueller Vorstellung die Energie für kurze Zeit im Rahmen der Unschärferelation $dE\cdot dt\geq h$ vom Mittelwert abweichen und in einem Raum-Zeit-Element mit konstantem Lichtstrom ist die Anzahl der Photonen keine Erhaltungsgröße.

Als Naturkonstante ist das „Plancksche Wirkungsquantum“ $h=6,626\cdot 10^{34}\,{\text{VAs²}}$ Basis einer „digitalen“ Struktur, was bedeutet, das die Wirkung $H=N\cdot h$ nur in diskreten Schritten wächst, in ganzzahligen Vielfachen von $h$. Außerdem kennen wir beim Elektromagnetismus die vier Quanten, die in Tabelle 1-1 zusammengefast waren.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Zahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit $t$ mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer eines definierten Zustandes, einer Messung oder Periode $T={\frac {h}{E}}$, als Quotient von Wirkung und Energie.

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, was die oben benannte Quantisierung für die Eigenschaften der elementaren elektronischen Bauelemente und deren einfachsten Kombinationen zur Folge hat.

Strom – Spannung – Impedanz

In den folgenden Überlegungen treten zeitliche und räumliche Komponenten auf. Wie in der speziellen Relativitätstheorie (Minkowskis vierdimensionale Welt $x_{1}=x$, $x_{2}=y$, $x_{3}=z$, $x_{4}=jct$) wird die zeitliche Komponente mit der Wurzel aus minus eins

$j={\sqrt {-1}}$

multipliziert, das wird dann im folgenden gebraucht, um schließlich zu bekannten Formeln zu gelangen. Es wird hier das in der Elektrotechnik übliche $j$ benutzt, um Verwechselungen mit $i$ als Zählgröße oder Index zu vermeiden. Die Größen Induktivität L und Kapazität C enthalten die Information, wie die magnetischen oder elektrischen Felder räumlich verteilt sind, die von einzelnen Strömen und Ladungen geliefert werden. Für die Spule mit dem effektiven Querschnitt $A$, der Windungszahl $N$ und der Länge $l$ gilt

$L=\mu \mu _{0}A\cdot N/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$ [Vs/A] [22-1]

und für den Kondensator

$C=\epsilon \epsilon _{0}A/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [As/ V] [22-2]

jeweils mit einem Quotienten $\lambda _{X}$ aus Feldfläche und -länge. Dieser Quotient sei durch eine jeweilige Länge $\lambda _{L}=A/l$, $\lambda _{C}=A/d$ im Folgenden abgekürzt verwendet, außerdem sei der Einfachheit halber $\mu =1=\epsilon$ es gebe also keine Wechselwirkung mit umgebender Materie.

Der elektrische Strom fließt in gequantelter Form mit einem Anteil, der von bewegten Ladungen herrührt und einem anderen induziert vom Magnetfeld. Beide sind unabhängig voneinander, dies wird mit der Darstellung als einer komplexen Zahl symbolisiert. Dabei ist der Realteil einer räumlichen Komponente zuzuordnen und der Imaginärteil einer zeitlichen.

$I=\Phi _{M}/L+dQ/jdt=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta n\cdot e/(j\Delta t)$ [A] [22-3]

Auch die Spannung wird durch solche elementaren Quanten geprägt:

$U=Q/C+d\Phi _{M}/(jdt)=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

In jedem Glied dieser Gleichungen treten die gequantelten Größen auf. Die stationären Größen Flussquant $\Phi _{0}$ und Ladung $e$ werden mit ihren Anzahlen $m$, $n$ gezählt. Änderungen dieser Anzahlen sind mit $\Delta m$, $\Delta n$ im dynamischen Fall im Zeitraum $j\Delta t$ zu beobachten. Der Strom enthält das ihn aufrecht erhaltende (im Raum statische) Magnetfeld und (dynamisch) die ihn transportierenden Ladungen. Die Spannung wird durch statische Ladungen im Raum und deren elektrischem Feld erzeugt sowie durch die Dynamik der Induktion, das sich ändernde Magnetfeld. Strom und Spannung sind dabei mit beliebigen Werten realisierbar, da jeweils variable Komponenten wie zeitlich das $j\Delta t$ (als imaginäre Anteile) und räumlich die die Geometrie der Felder charakterisierenden Größen $L$ und $C$ auftreten und beliebige analoge (Zwischen-)Werte ermöglichen.

Die räumlichen Komponenten sind die realen Anteile und lassen sich auch mit den beiden anderen elektromagnetischen Quanten darstellen

$I=m\cdot Q_{M0}/\lambda _{L}+e\cdot \Delta n/j\Delta t$ [A] [22-3]

$U=n\cdot \Phi _{E0}/\lambda _{C}+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

Eine Impedanz, die ein passives elektronisches Bauelement charakterisiert, wird allgemein durch das Verhältnis Spannung zu Strom gegeben. Aus den Gleichungen [22-4] und [22-3] kann man vier extreme Impedanzen separieren, die Quotienten der Realteile, der Imaginärteile und die entsprechend gemischten Glieder. Mit einer Matrixdarstellung der möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-1 die zwei Anteile der Spannung für die Spalten und die beiden Komponenten des Stroms für die Zeilen verwendet.

Tabelle 2-1: Vier ausgezeichnete Impedanzen

Z = U / I			Spannung (Im)	Ladung (Re)
		U =	Φ0 · Δm / j Δt	n · e / C
	I =	\
Strom (Im)	e · Δn / j Δt		R = Ui / Ii	C: = Ur / Ii
			Widerstand U/I	1/ Kapazität U/Q
Magnetfluss (Re)	m · Φ0 / L		L: = Ui / Ir	M = Ur / Ir
			Induktivität Φ/I	Memristor Φ/Q

Die Elemente der Matrix sind die Quotienten aus Spannung und Strom. Diese Quotienten sind, wie im folgenden gezeigt, die vier bekannten fundamentalen Bauelemente Widerstand, Kondensator, Spule und der erst vor vierzig Jahren entdeckte Memristor, der Widerstand mit „Gedächtnis“, dessen Widerstandswert von der Vorgeschichte seines Betriebs abhängt.

Im Einzelnen betrachtet, ergibt sich als Quotient der auf zeitliche Änderungen bezogenen Imaginärteile (Spannung und Strom $R=U_{i}/I_{i}$) der normale ohmsche Widerstand mit

$R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)=(\Delta m/\Delta n)\cdot (R_{k}/2)$ [V/A] [22-5]

als Quotient der Änderung der Anzahl magnetischer Flussquanten m pro im gleichen Zeitintervall geänderter Anzahl der Ladungsquanten $\Delta n$ multipliziert mit dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)=\Phi _{0}/e$, dem Quotienten aus zwei elementaren elektromagnetischen Quanten.

Der zweite der reellen Quotienten ist der Memristor. So, wie ihn Leon Chua ursprünglich definiert hat, lässt er sich mit den elementaren elektromagnetischen Quanten wie folgt darstellen:

$M=\Phi _{M}/Q=(m\cdot \Phi _{0})/(n\cdot e)$ [V/A] [22-6]

Die Impedanz des Memristors ist unten als Quotient der Realteile von Gleichungen [22-3] und [22-4] zu finden.

Hier sind also nicht in die Änderungen der Quantenzahlen relevant, sondern deren absolute Werte $m$ und $n$, gegebenenfalls gezählt ab einem noch zu definierenden Startzeitpunkt. Wie später noch gezeigt wird, sind dies raumbezogene Anzahlen. Dieses Verhältnis der Anzahl magnetischer Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ zur Anzahl der Elementarladungen $n\cdot e$ ist der Widerstand mit Gedächtnis, mit dem man derzeit elektronische Datenspeicher entwickelt.

Die gemischten Quotienten ergeben die imaginären Impedanzen der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$.

Für die Kapazität ergibt sich (U-Real- / I-Imaginärteil) das Verhältnis der räumlich gespeicherten Ladungen zu deren zeitlicher Änderung

$Z_{C}=(n\cdot e/C)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=n\cdot j\Delta t/(\Delta nC)$ [22-9]

entsprechend der klassischen Formulierung

$Z_{C}=-1/(j\omega C)$ [22-9a]

mit der sich durch Vergleich ergebenden Kreisfrequenz

$\omega =-\Delta n/(n\cdot \Delta t)$ [22-10]

Man erhält also den bekannten Wechselstromwiderstand. Die Kreisfrequenz $\omega$ ist demnach ein Maß dafür, wie schnell sich die Anzahl der Elektronen $\Delta n/\Delta t$ pro Zeitintervall auf den Kondensatorplatten ändert, und das relativ in Bezug auf die Gesamtzahl $n$.

Und für die Induktivität (U-Imaginär- / I-Realteil, Anzahl der Flussquanten pro ihrer zeitlichen Änderung) gilt sinngemäß ebenfalls vertrautes.

$Z_{L}=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/j\Delta t)/(m\cdot \Phi _{0}/L)=-j\cdot L\cdot \Delta m/(m\cdot \Delta t)=j\omega L$ [22-11]

entsprechend mit der Kreisfrequenz $\omega$:

$\omega =-\Delta m/(m\cdot \Delta t)$ [22-12]

Anstatt der Elektronen $e$ beim Kondensator treten also bei der Induktivität die Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ bei im Prinzip gleicher Formelgestalt in Erscheinung.

Ausgehend von den Definitionsgleichungen der Kapazität und der Induktivität erhält man Formeln für deren Impedanzen, die sich wie bei den resistiven Elementen als Produkte aus dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)$ und Quotienten aus Anzahlen von Ladungen und Flussquanten darstellen lassen.

Kondensator:

$1/C=U/Q=\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t\cdot n\cdot e)=(\Delta m/(j\Delta t\cdot n))\cdot {R_{k}/2}$ [22-13]

Um dem elektrostatischen Potential hervorgerufen von $Q=n\cdot e$ Elementarladungen auf der Kapazität $C$ Paroli zu bieten, ist also die Spannung einer dynamische Änderung eines Magnetflusses auf induktiver Seite von $\Delta m$ magnetischen Flussquanten $\Phi _{0}$ pro Zeitintervall $j\Delta t$ erforderlich.

Spule:

$L=\Phi _{M}/I=m\cdot \Phi _{0}/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(j\Delta t\cdot m/\Delta n)\cdot m{R_{k}/2}$ [22-14]

Bei der Induktivität $L$ entsprechen $m$ Flussquanten $\Phi _{0}$ dem Stromfluss von $\Delta n/j\Delta t$ Elektronen $e$.

In der analogen Welt werden Widerstände und Impedanzen als Quotient von Spannung und Strom gemessen und das Ergebnis ist eine reelle oder komplexe Zahl. Aus obigen Überlegungen ergibt sich nun eine andere Betrachtung:

In der Welt dieser Quanten bedeutet das Messen einer Impedanz das Zählen von Elektronen, Flussquanten und deren Änderung während gegebenenfalls vom Experimentator definierter Zeiträume.

Die Gleichungen [22-3] und [22-4] liefern mit $R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)$

$I=m\cdot \Phi _{0}/L+e\cdot \Delta n/j\Delta t=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta m\cdot \Phi _{0}/(R\cdot j\Delta t)$ [22-3b]

sowie

$U=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t=n\cdot e/C+\Delta n\cdot e\cdot R/j\Delta t$ [22-4b]

und lassen sich jeweils als Kombination von elektrischen und magnetischen Anteilen interpretieren. Andererseits zeigen sie zeitlich betrachtet eine Kombination statischer und dynamischer Komponenten. Beides wird in den späteren Kapiteln eine Rolle spielen.

Unter diesem Aspekt sind der Widerstand $R=U_{i}/I_{i}$ und der Memristor $M=U_{r}/I_{r}$ Quotienten zeitlich gleichartiger Größen, während der Kondensator mit $C:U_{r}/I_{i}$ und die Spule mit $L:U_{i}/I_{r}$ statische und dynamische Anteile untereinander verbinden. Sortiert man nach den elektromagnetischen Eigenschaften, so verbindet der Kondensator die elektrischen Größen [22-4b], die Induktivität die magnetischen [22-3b], Widerstand und Memristor sind Kombinationen beider.

Koordinatensysteme

Im klassischen Koordinatensystem mit Strom I und Spannung U, wie es zum Beispiel in der Elektrotechnik für Kennlinien benutzt wird, Bild 23-1, finden wir in der Strom-Spannungsebene {U ; I} zunächst den ohmschen Widerstand $R={\Delta }U/{\Delta }I$als eine Gerade mit einer Steigerung (s. Steigungsdreieck), die den Wert des Widerstandes angibt, und die Verlustleistung P = U·I lässt sich als Rechteckfläche darstellen.

Bild 23-1: Strom-Spannungsebene, der ohmsche Widerstand R bzw. der Leitwert 1/R sind die Steigung einer Geraden, die Verlustleistung P ist eine Fläche.

An dieser Stelle sollte man dazu bemerken, dass unsere Vorstellung vom funktionalen Zusammenhang y=f(x) zweier Größen x und y ja in der Regel ein Denken mit Ursache (x) und deren Wirkung auf (y) beinhaltet. Bild 23-1 links beantwortet also die Frage: wie ändert sich die am Widerstand R abfallende Spannung U, wenn wir den Strom I der Quelle variieren ? Durch Vertauschen der Achsen im rechten Teil des Bildes können wir auch schauen, welcher Strom I sich bei einer angelegten Spannung U ergibt und erhalten dann als Steigung den Leitwert 1/R. Wir können hier also durch Wahl der Art unseres Denkansatzes oder wie das Experiment durchgeführt wird, Ursache und Wirkung tauschen. Die vorgegebene Größe einer Impedanz (R, C, L und M) liefert uns unabhängig von durch den Experimentator bestimmten Kausalitäten Zusammenhänge zwischen den beteiligten Größen U, I, Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{0}$.

Mit der Zeit t als dritter Koordinatenachse, wie sie in Bild 23-2 eingeführt wird, ergibt sich zunächst der Energieumsatz $E=\int P\cdot dt$ als Quader-Volumen über der Fläche $P=U\cdot I$, der Leistung. Das Volumen der Energie $E_{R}$, das die in dem Widerstand umgesetzte Wärme zeigt, die dem System elektromagnetisch verloren geht, wächst im Laufe der Zeit kontinuierlich an. $E_{R}$ wird deswegen in diesem Koordinatensystem über einen Zeitraum $t=0\ldots T$ ausgedehnt dargestellt.

Bild 23-2: Energieumsatz als Volumen über der Leistungsfläche in einer Impedanz $R=dU/dI$ während der Zeit $t=0\ldots T$.

Strom und Spannung sind jeweils zeitliche Ableitungen der gequantelten Größen Ladung e und Magnetfluss $\Phi _{0}$. Durch entsprechende Integration lässt sich obiges Koordinatensystem in solch eines umwandeln, bei dem die abzählbaren Größen die Achsen bilden, Bild 23-3. Nach der doppelten zeitlichen Integration jeweils von Strom- und Spannungsachse ist es praktisch, die Zeitachse zweimal durch die Zeit zu dividieren und in eine Frequenzachse umzuwandeln. Dann sind die Volumen in diesem neuen Koordinatensystem ebenfalls Energien.

Bild 23-3: Darstellung der Wirkungsebene mit den Achsen Ladung $Q=n\cdot e$ und magnetischer Fluss ${\Phi _{M}}=m\cdot {\Phi _{0}}$, beide gequantelt. Mit der dritten Achse Frequenz f stellen die dargestellten Volumen Energien dar.

Die aktuelle Zeit t ist durch das mehrfache Integrieren sozusagen versteckt worden. Die „aktuelle Zeit“ t weicht daher einem Zeitraum, Sekunden addieren sich zu Minuten oder Stunden. Einzelne Zeitpunkte verschwinden unlokalisiert in einem Zeitraum T definierter Dauer. Aus dieser Projektion betrachtet beschreiben Zeitkonstanten und Periodendauern die Natur (siehe die späteren Kapitel). Wir kennen so etwas in der klassischen Physik von der Fouriertransformation beim Umrechnen vom „ablaufenden“ Zeitbereich in den Frequenzbereich, der durch Periodendauern T = 1 / f gekennzeichnet ist, und zurück. Die Ebene mit den Koordinatenachsen Ladung Q und magnetischer Fluss $\Phi _{M}$, beide gequantelt, enthält Flächen der Wirkung H = Energie x Zeit, ebenfalls gequantelt.

Ladung Q, Magnetfluss $\Phi _{M}$ und Frequenz f sind hier skalare Größen. In diesem Koordinatensystem {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}. gibt es keine raum-zeitliche Darstellung. Es gibt weder ein räumliches hin und her oder davor und dahinter noch ein zeitliches vorher und nachher. Raum und ablaufende Zeit sind ausgeblendete Eigenschaften des hiermit dargestellten Teils der Realität.

Bei den in Bild 23-4 gezeigten Koordinatensystemen {U ; Q ; t} und {$\Phi _{M}$; I ; t} sind die ablaufende Zeit t, Strom I und Spannung U mit Richtungen in Raum oder Zeit verknüpft und nur eine Größe ($\Phi _{M}$ oder Q) ist jeweils durch eine natürliche Zahl, einen Skalar, charakterisiert; im System {U ; I ; t} waren alle Koordinaten in der Raumzeit gerichtet.

Bild 23-4: Aufladen eines Kondensators. Der Kondensator zeigt sich reziprok als Gerade 1/C, die gespeicherte Energie E als Dreiecksfläche. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider.

Das Volumen entspricht jetzt der Wirkung H. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider. Da die Ladung Q=n·e und die Wirkung H=N·h gequantelt sind, müssen auch die blauen Flächen, die einem Magnetfluss $\Phi _{M}$ entsprechen, gequantelt sein. Rechts daneben das entsprechende Koordinatensystem einer Spule.

Das „digitale“ Koordinatensystem

Das Koordinatensystem mit den Achsen $\Phi _{M}$ und Q ist durch die abzählbaren Größen Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ und Elementarladungen $n\cdot e$, die uns die Energie tragenden elektromagnetischen Felder liefern, digital strukturiert. Magnetfelder sind Dipolfelder, elektrische Felder haben als Quellen Monopole. Im folgenden wird jedenfalls, wenn von einem aufgeladenen Kondensator geredet wird, gemeint sein, das die Ladungsneutralität auch im betrachteten System gilt und das für jedes zusätzliche Elektron auf einer Elektrode (zum Beispiel einer der Kondensatorplatten) der gegenüberliegenden eines verloren gegangen ist, dort fehlt es und es gibt dort dann ein „Loch“ mit entgegengesetzter Ladung.

Bild 23-5: Die Digitalisierung mit der Wirkung h ermöglicht typische Kombinationen von Flussquanten $\Phi _{0}$ und Elementarladungen e (von links nach rechts:):
I- Flussquant $\Phi _{0}$ und Cooper-Paar 2e,
II- Flussquant $\Phi _{0}$ und Elektron-Loch-Paar +e /-e,
III- Elektron e ohne Magnetfeld +$\Phi _{0}$ /-$\Phi _{0}$,
IV-Elektron e beim Stromtransport im Klitzing-Widerstand Rk mit 2$\Phi _{0}$ pro e)

Das Produkt von Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{M}$ bildet auf der Grundfläche des Koordinatensystems {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}, Bild 23-3, wie in Bild 23-5 gezeigt, eine Fläche der Wirkung H, die ebenfalls als elementare Naturkonstante h quantisiert auftritt. Das kleinste Rechteck in der Ebene mit den Kanten Elementarladung e und Flussquant $\Phi _{0}$ hat allerdings nur die halbe Fläche dieser kleinsten Wirkungseinheit h. In der $H=Q\cdot {\Phi _{0}}$ Ebene findet sich das magnetische Flussquant $\Phi _{0}$ in Einklang mit der Mindestgröße h entweder mit zwei Ladungen von Elektronen, also zum Beispiel des „Cooper-Paars“ der Supraleitung (Bild 23-5, I, links), in diesem Zusammenhang wurde es ja das erste Mal experimentell nachgewiesen, oder mit einem Elektron-Loch-Paar, II, der ladungsneutralen Variante des Stromtransportes. Denkbar wäre auch ein Elektron-Positron-Paar, wie es bei der Paarbildung erscheint. Die statische Ladung des einzelnen Elektrons erfordert zwei sich kompensierende magnetische Flussquanten $\Phi _{0}$, Bild 23-5 III, oder die beim Ladungstransport auftretende Variante mit zwei Flussquanten $\Phi _{0}$ einer Richtung (Bild 23-5, IV, rechts). Dieses Bild begegnet uns bei der Impedanz des Klitzing-Widerstandes Rk. Alle gezeigten Beispiele haben noch das symmetrische Pendant, was vielleicht zum Verständnis der Hochtemperatursupraleitung beitragen würde. Nicht gezeigt sind also zum Beispiel die auf der entgegengesetzten linken Seite des Koordinatensystems noch möglichen Kombinationen zweier Löcher bzw. Positronen.

Der Widerstand und seine Messung

Der ohmsche Widerstand R ist durch die Proportionalität von Strom I und Spannung U charakterisiert, im Koordinatensystem {$\Phi _{M}$ ; Q ; f} gilt $e\cdot \Delta n/j\Delta t\sim \Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$. Außerdem wird Energie umgesetzt, nicht notwendigerweise in Wärme, auch durch Strahlung und mit Leitungen können die energietragenden Felder mit der ihnen innewohnenden Information abgeführt werden, ohne dabei in ungeordnete Bewegung unter Informationsverlust überführt zu werden. Mit einer idealen, unendlich langen Leitung bleibt die raum-zeitliche Struktur der elektromagnetischen Felder erhalten, nur ihre Position in Raum und Zeit verändert sich. Für solche Leitungen gilt die obige Proportionalität, und man kann eine Impedanz messen: $Z={\frac {U}{I}}={\frac {E}{H}}={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$, die sich aus dem Verhältnis Induktivität pro Länge [dL/dx] zu Kapazität pro Länge [dC/dx] ergibt (E und H sind die elektrischen und magnetischen Feldgrößen). Das Ersatzschaltbild zweier solcher Leitungen unterschiedlicher Impedanz zeigt Bild 24-1. Ersetzt man das Ende einer unendlichen Leitung (wie sie im oberen Teil des Bildes angedeutet ist) durch einen ohmschen Widerstand gleichen Wertes (wie an der unteren Leitung gezeigt), so ist dies links eingangsseitig nicht zu merken. Betrachten wir einen Widerstand R zum besseren Verständnis des folgenden zunächst als Strom und Ladung transportierendes und elektromagnetische Felder tragendes Element realisiert mit einer Leitung und ein Umsetzen von elektromagnetischer Feldenergie in Wärme erst als einen zweiten Schritt, dann sehen wir die elektromagnetischen Felder der folgenden Überlegungen anschaulich. Die beteiligten Felder weisen in diesem Bild zunächst noch eine Struktur und feste Beziehungen zueinander auf, die beim Umwandeln in Wärme dann verloren geht und der Unordnung weicht.

Bild 24-1: Ersatzschaltungen elektrischer Leitungen unterschiedlicher Impedanz $Z={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$.

Was passiert nun bei fest gewähltem Zeitintervall ${\Delta }t$, wenn der Strom I nicht kontinuierlich fließt, sondern aus einzelnen Ladungspaketen ${\Delta }n\cdot e$ besteht ? Man registriert dann Stromstöße und zählt die einzelnen Elektronen und magnetischen Flussquanten entsprechend obigen Überlegungen. Ein Widerstand ist dann durch das Verhältnis ${\Delta }m$ zu ${\Delta }n$ der Anzahlen magnetischer Flussquanten${\Delta }m\cdot {\Phi _{0}}$ (für die Spannung) zu den Ladungen ${\Delta }n\cdot e$ (für den Strom) während einer Messdauer T charakterisiert. Beim Verhältnis ${\Delta }m:{\Delta }n=1:1$ liegt der Wert des halben Klitzing-Widerstandes $R_{k}/2=\Phi _{0}/e$ vor und die Grafik Bild 24-2 zeigt ihn (schwarz, 45°) und andere Widerstände mit entsprechender Steigung. Aufgrund der gerasterten Struktur der Ebene gibt es nur rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes als Ergebnis.

Bild 24 -2: Verschiedene Widerstände in der Wirkungsebene und die Digitalisierungsunschärfe h an dem Beispiel ${\delta }m=3und{\delta }n=6,R_{6/3}={R_{k}/2}/2$.

Beim Messen von ${\Delta }m\Phi _{0}$ und ${\Delta }n\cdot e$ ergibt sich auch eine Grenze der Genauigkeit aufgrund der diskreten Struktur der gezählten Größen. Jede der natürlichen Zahlen ${\Delta }m$ und ${\Delta }n$ unterscheidet sich von der nächsten um eins, und daraus ergibt sich die bekannte fundamentale Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$. Die Größe (Fläche) dieser Unsicherheit ergibt sich für jeden Punkt des Diagramms, als Beispiel gezeigt am Quadrat um den Punkt (6;3) in Bild 24-2. Die Unsicherheitsfläche hat die Größe der Planck’schen Konstanten h, [12-1]. Dies ist wieder ein Beispiel dafür, dass die Heisenbergsche Unschärferelation eigentlich eine Digitalisierungsungenauigkeit bedeutet und des weiteren, dass die Plancksche Konstante die Informationseinheit 1 Bit darstellt.

Daraus folgt nun, dass ein Widerstand nur so genau bestimmt werden kann, wie es die Anzahl der bei der Messung gezählten Quanten zuläßt. Wie viele Quanten erforderlich sind, entnehmen wir dem Bild 24-3. Mit 1 bis 3 Quanten können wir überhaupt keine Aussage treffen, außer dass gegebenenfalls ein Widerstand vorhanden ist. Die möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-2 aufgelistet. Unter der Annahme der maximalen Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$ für beide gezählten Größen ergibt sich für den Quotienten $m/n$ der komplette Bereich von 0 bis unendlich, mit drei Quanten sind vielleicht zwei unterscheidbare Klassen angedeutet.

Bild 24 -3: Die Genauigkeit der Widerstandsbestimmung ist abhängig von der Anzahl $L={\Delta }m+{\Delta }n$ der gemessenen Quanten. Unterscheidbar sind K = L -1 Klassen von Widerstandsgrößen.

Tabelle 2-2: Kombinationen von 1 bis 3 gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta m\pm 1,\Delta n\pm 1$) und die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$ , wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R = (Δm/Δn) · {Rk/2}
1	1	0 - 2	0	-1 - 1	$0-\infty$
	0	-1 - 1	1	0 - 2	$0-\infty$
2	0	-1 - 1	2	1 - 3	0 - 1
	1	0 - 2	1	0 - 2	$0-\infty$
	2	1 - 3	0	-1 - 1	$1-\infty$
3	0	-1 - 1	3	2 - 4	0 - 1/2
	1	0 - 2	2	1 - 3	0 - 2
	2	1 - 3	1	0 - 2	$1/2-\infty$
	3	2 - 4	0	-1 - 1	$2-\infty$

Mit vier Quanten entsprechend Tabelle 2-3 kann man mit dem aufrecht stehenden Fehlerquadrat bereits drei Widerstandsbereiche unterscheiden. Mit sechs Quanten sind es dann fünf Bereiche, mit acht Quanten sieben und so weiter… Für die Anzahl $K$ der unterscheidbaren Widerstandsklassen gilt bei einer Anzahl $L=\Delta m+\Delta n$ von gezählten elektromagnetischen Quanten,

$K=L-1$. [24-1]

Andererseits ist die Zahl $M$ der möglichen Kombinationen im Bereich von $m$ Flussquanten und $n$ Elektronen

$M=m\cdot n$ [24-2]

Tabelle 2-3: Kombinationen von vier gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta {m\pm 1},\Delta {n\pm 1})$. Die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$, wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird, ergeben drei unterscheidbare Klassen K (gelb, grün und blau) mit Überschneidung.

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R= (Δm/Δn) · {Rk/2}
4	4	3 - 5	0	-1 - 1	$4-\infty$
	3	2 - 4	1	0 - 2	$3/2-\infty$
	2	1 - 3	2	1 - 3	1/2 - 2
	1	0 - 2	3	2 - 4	0 - 2/3
	0	-1 - 1	4	3 - 5	0 - 1/4

Entsprechend ergibt sich für jede Steigung in dem m, n Diagramm eine Umgebung der Ungenauigkeit, Bild 24-3 rechts zeigt dies. Gemessen werden immer rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ mit definierter Ungenauigkeit. Jede Widerstandsgerade ist daher von einem „Schlauch“ des undefinierten Bereiches mit der von $\Delta =\pm 1$ vorgegebenen Breite umgeben. Jedenfalls könnte man schon jetzt mit einigem Rechenaufwand das für den Stromfluss mit gequantelten Ladungen typische Schrotrauschen (das Prasseln der an einem Detektor ankommenden Elektronen) ableiten, dies gelingt jedoch auf anderem Wege sehr viel einfacher, wie im Folgenden gezeigt werden wird.

Wegen der Größe des Unsicherheitsbereiches h ergibt sich aus dem Bild 24-3, dass mit diesen Quadraten alle möglichen Kombinationen abgedeckt werden und die Anzahl der Wirkungsquanten $N\cdot h$ damit identisch mit der Menge der Information ist. Die Größe Widerstand, die Steigung der Geraden, ist ein Teil dieser Information, der Abstand zum Ursprung ein anderer. Wie im Kapitel „Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film“ zur Messung gezeigt wird, enthält die Menge der Quanten weitere Information, dies tritt im Signal zu Rausch-Verhältnis, das gleich behandelt wird, zu Tage. Die Fläche der Kombinationsmöglichkeiten könnte auch mit Quadraten abgedeckt werden, bei denen die Anzahl L ungerade ist. Die Physik kennt den Unterschied von Bosonen und Fermionen. Das Abtasttheorem erfordert für das Erkennen von Strukturen mindestens zwei Abtastwerte, durch die ein Unterscheiden möglich wird. An dieser Stelle sei es daher bei geraden Werten für L belassen.

Der Energieaufwand beim Messen und das dabei auftretende Rauschen

Das Messen des Wertes eines Widerstandes liefert Information über seine Größe. Diese Information ist hier in der Kombination der beiden Anzahlen für magnetische Flussquanten und Elementarladungen mit der Beziehung eines Quotienten enthalten. Eine weitere mögliche Beziehung zwischen diesen Anzahlen wäre ihr Produkt. Das Produkt aus Spannung und Strom ist die Leistung. Spannung und Strom sind aber die zeitlichen Ableitungen dieser Anzahlen und das Produkt liefert daher die Leistung zweimal multipliziert mit der Dauer der Messung, $P\cdot \Delta t\cdot \Delta t=E\cdot \Delta t=H$, also eine Wirkung.

Strom I und Spannung U bestimmen zunächst die Leistung $P=U\cdot I$, die im Widerstand $R=U/I$ umgesetzt wird, multipliziert mit der Zeit t ergibt dies die Energie $E=\int Pdt$ . Wir werden jetzt den Energieaufwand $E$ berechnen, der nötig ist, um den Widerstandswert $R$ mit einer gewünschten vorgegebenen Genauigkeit zu bestimmen (Die Messdauer sei $T$; $\Delta m,\Delta n$ sind die Anzahlen der während dieser Zeit gezählten magnetischen und elektrischen Quanten). Die erreichbare Genauigkeit hängt von der Anzahl der gezählten Quanten $\Delta m$ und $\Delta n$ ab und damit von der durch ihre Anzahl aufgespannten Fläche, dem Maß für die Informationsmenge. Diese entspricht einer Anzahl $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ von Wirkungsquanten h = 2 e $\Phi _{0}$ [12-1]. Die aufzuwendende Energie $E=N\cdot h/T$ ist das in Bild 24-4 aus der Grundfläche $\Delta m\cdot \Delta n$ und der Höhe $f=1/T$, der Bandbreite, aufgespannte Volumen. Diese Energie entspricht der Datenrate [Bit/s]:

$E=U\cdot I\cdot T=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/T)\cdot (\Delta n\cdot e/T)\cdot T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot \Phi _{0}\cdot e/T=N\cdot h/T$ [24-3]

Der Energieaufwand beim Messen wächst also sowohl mit zunehmender Informationsmenge und damit gewünschter Genauigkeit bei gleicher Messdauer (das entspricht der Größe der Grundfläche dieses Volumens) als auch bei kürzerer Messdauer (der Bandbreite f = 1/T). Es besteht die durch das Zählen bedingte Unbestimmtheit der Messung, die mit dem diagonalen Quadrat an der Spitze jeder Grundfläche im Beispiel von Bild 24-4 angedeutet ist.

Bild 24-4: Energieaufwand zum Messen, $E=\Delta m\cdot \Delta n/T$ entspricht dem Volumen, die Maßquadrate der Grundfläche haben die Größe $h/2$.

Die Anzahl der Wirkungsquanten der Grundflächen $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ ist das halbe Produkt zweier Anzahlen von Quanten, $\Delta m$ und $\Delta n$, denn es gilt, wenn man die Quadrate der Ebene mit der Größe $h/2$ abzählt

$\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)\cdot 1/T=N\cdot h/T=E,N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ [24-4]

An dieser Stelle fällt auf, da die Zahl $N$ der Wirkungsquanten $h$ eine ganze Zahl ist, folglich einer der Faktoren $\Delta m$ oder $\Delta n$ gerade sein muss (siehe auch Bild 23-4 und die Bemerkung zu Bild 24-3).

Die Anzahl $\Delta n$ der zählbaren Ladungen e wächst mit der Stromstärke $e\cdot (\Delta n/\Delta t)$ und der Messdauer T. Bei gleicher Anzahl und kurzer Messdauer T wachsen die Verluste mit dem Quadrat der Stromstärke $I=\Delta n\cdot e/T$, während diese in die gesuchte Messgröße Widerstand (dem Signal S) nur linear eingeht.

Nun kann man auch über das Signal S und Rauschen R Aussagen machen. Die Energie $E_{s}$ des Signals S wächst mit der Grundfläche $S=\Delta m\cdot \Delta n\cdot h/2$ und mit 1/T, der Kürze der Messdauer.

$E_{s}=S/T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)/T=N\cdot h/T$ [24-5]

Bild 24-5: Nutzsignal S und Rauschen R - Schrotrauschen am Beispiel $\Delta m=5,\Delta n=10$. Der Umfang (das Rauschen) wächst mit der Wurzel aus der Fläche (dem Signal).

Die Energie $E_{r}=R/T$ des Rauschens $R$ wächst mit dem Umfang des Schlauches $d=+(\Delta m+\Delta n)/2$, Bild 24-5 zeigt den violetten Schlauch (Rauschen) der Unsicherheit auf Grund der Digitalisierung für das blau umrahmte Volumen (das Signal, die Menge der Information), die Unsicherheitsfläche h (violett) ist an der vorderen Ecke des blauen Quaders zu erkennen.

$R=(m+n)\cdot h/2$ [24-6]

Beim Schrotrauschen gilt

$\Delta N=R/h\sim {\sqrt {N}}={\sqrt {S/h}}$ [24-7],

was hier unmittelbar aus Bild 24-5 ersichtlich ist. Die Energie des Signals wächst linear mit der Bandbreite f = 1/T, das Rauschen also ebenso, beide hängen nur von der Zahl der Quanten in der Wirkungsebene $H=Q\cdot \Phi$ ab, das Rauschen linear und das Signal quadratisch.

Zum Messen eines Widerstandswertes muss man Energie einsetzen. Man kann zum Beispiel den Strom $I=e\cdot \Delta n/\Delta t$ für die Dauer $\Delta t=T=1{\text{ s}}$ einer Sekunde messen, während eine Spannung $U=\Phi _{0}\cdot \Delta m/\Delta t$ von U = 1 V an den Widerstand gelegt wird. Die Energie dabei ist $E=U\cdot I\cdot T$. Zeitpunkte einer aktuellen Zeit t der einzelnen Quanten im Intervall T (einer Zeitdauer) gehen nicht in die Messung ein.

Bei gleicher Energie für die Messung, aber unterschiedlicher Messdauer $T_{1}$ oder $T_{2}$ beobachtet man folgendes: Bild 24-6 vergleicht als Beispiel den flachen Quader rechts mit $T_{1}$, m = 4, n = 8 gegenüber dem links mit $T_{2}$, m = 2, n = 4. Bei gleicher Energie (gleichem Volumen) des Signals gilt wegen der um den Faktor vier unterschiedlichen Grundfläche:

$T_{1}=4\cdot T_{2}$ [24-8]

also auch ein entsprechendes Verhältnis der Bandbreiten f1, f2.

$f_{1}=f_{2}/4$ [24-9]

das Verhältnis der Energien (Volumen des Kantenschlauchs) des Rauschens $R_{1}$, $R_{2}$ ist dagegen

$R_{1}=R_{2}/2$ [24-10]

Bild 24-6: Weißes Rauschen: Unterschiedliche Integrationszeit bei gleicher Energie des Signals, Beispiel m / n = 4 / 2 gegenüber m / n = 8 / 4.

Angewandt auf das obige 1V-1s-Beispiel bedeutet das: Bei einer Spannung von U = 1 Kilovolt flösse ein eintausendfacher Strom und die gleiche Energie wäre mit der Messdauer T = 1 µs eingesetzt. Die erreichbare Auflösung beim Messen des Widerstandswertes wäre geringer, da nur 1/1000 der jeweiligen Quanten e und $\Phi _{0}$ zum Zählen zur Verfügung stehen. Das Signal- zu Rauschverhältnis wäre um den Faktor ${\sqrt {10^{3}}}$ kleiner. Um das gleiche Signal- zu Rauschverhältnis wie bei der 1V-1s-Messung zu erreichen, müsste man T = 1 ms messen. Dann wäre die Anzahl der Elektronen, magnetischen Flussquanten und Wirkungsquanten e, $\Phi _{0}$, h die gleiche. Der Energieaufwand wäre allerdings um den Faktor $10^{3}$ größer als bei den ersten beiden Beispielen. Es sei schon hier auf einen im Kapitel zur Messung dann behandelten Zusammenhang hingewiesen: Verbunden mit der geringeren Auflösung der Widerstandsmessung ist eine größere Präzision der Zeitspanne, in der die Messung erfolgt, im Beispiel T = 1 µs anstatt T = 1 s bei gleicher Energie der Messung beziehungsweise T = 1 ms bei gleicher Auflösung und $10^{3}$-facher Energie (Datenrate).

Bei gleicher Energie (wie das zum Beispiel zeitunabhängig bei thermischem Rauschen mit $E_{th}=k_{B}T$der Fall ist) nimmt das Rauschen mit der Messdauer das heißt mit kleinerer Bandbreite ab. Durch die Mittelung über die Zeit $T$ ändert sich das Rauschen $R$ mit ${\sqrt {f}}$, es handelt sich um weißes Rauschen.

$R\sim {\sqrt {f}}$ [24-11]

Weißes Rauschen , , oder auch Johnson-Rauschen genannt, ist dadurch charakterisiert, dass die darin enthaltene Leistung nur von der Bandbreite des Systems, nicht aber von der Frequenz abhängt. Also keine gleiche Leistung pro Oktave (wie im vertrauten logarithmischen Bild), sondern gleiche Leistung bei absolut gleichem linearem Frequenzintervall. Ohne eine Frequenzbegrenzung würde dies zur „Ultraviolettkatastrophe“ führen: das heißt einer unendlichen Leistung des Rauschens. Nyquist fand quantentheoretisch die Grenzfrequenz $f_{q}$ als den Grund dafür, dass dieses Problem nicht existiert. Wenn thermisch die Energie (Boltzmann-Konstante $k_{B}$)

$E_{t}h=k_{B}T$ [24-12]

zur Verfügung steht, folgt in unserem Koordinatensystem für den Quader mit der kleinsten möglichen Grundfläche h und einer durch die Energie bestimmten Höhe $f_{q}$ sofort die quantentheoretische Grenzfrequenz

$f_{q}=E_{th}/h=k_{B}T/h$ [24-13]

der Nyquist-Formel, Bild 24-7.

$U^{2}=k_{B}\cdot T\cdot R\cdot \Delta f\cdot (f/f_{q})/(e^{f/f_{q}}-1)$ [24-14]

Bild 24-7: Grenzfrequenz nach Nyquist.

Auch das für tiefe Frequenzen relevante 1/f-Rauschen kann in dieser Gedankenwelt leicht abgeleitet werden, allerdings erst im nächsten Kapitel.

Zu bemerken ist noch einmal, dass hier während der Messdauer T keine zeitliche Struktur mit einer ablaufenden Zeit t gemessen wird, das Messintervall ist allein charakterisiert durch eine zeitliche Länge T, seine Dauer. Bei den diskutierten Messungen werden die Quanten während des Messintervalls gezählt, ohne eine Angabe des Zeitpunktes dafür zu registrieren.

Für die Menge der Information gilt:

$N\cdot h=E\cdot T$. [24-15]

Der Kondensator

Die Folgen der Quantelung der Ladung

Die Quantelung der Ladung liefert einen Effekt, dessen Prinzip uns ähnlich schon im Abschnitt „Information“ begegnet ist. Die Ladung Q auf den Platten eines Kondensators C führt zu einem elektrischen Feld E und dem elektrischen Fluss $\Phi _{E}$:

$Q=C\cdot U=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot U/d=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot E=\epsilon \epsilon _{0}\cdot {\Phi }_{E}$ [25-1]

Wegen der Quantelung der Ladung $Q=n\cdot e$ ergibt die graphische Darstellung in Bild 25-1, so wie es analog für die Wirkung $H=N\cdot h$ Bild 1-7 zeigte, dass die Anzahlen der Ladungseinheiten e zu Stufen bei jeder ganzen Zahl führen. Die Steigung dieser Stufen ist proportional zu der Fläche A, auf der die Quelle des Feldes E verteilt ist, wie sich aus Gleichung [25-1] ergibt. Verbindet man die Mitten der Stufen durch eine Gerade als Näherung durch eine einfache analoge Funktion, so wird der Anzahl von Null Ladungen ein Wert des elektrischen Feldes ungleich Null zugeordnet. Anstatt der Nullpunktsenergie im Abschnitt „Information“ ergibt sich hier ein mit dem Begriff Vakuumenergie beschriebener Effekt – eine Grundladung mit Größe der halben Elementarladung e liefert hier ein entsprechendes elektrische Feld. Die Stärke des daraus folgenden, als Mittelung über Fluktuationen auftretenden elektrischen Feldes $E_{0}$ hängt von der Steigung der Funktion ab, das heißt vom Material und der Größe der Fläche A, die von Feldlinien durchströmt wird. Je größer diese Fläche A ist, desto kleiner ist diese Feldstärke $E_{0}$, desto besser mitteln sich die „Schwankungen“, die räumliche Unsicherheit der Verteilung von Ladungen, als Quelle eines elektrischen Vakuumfeldes, heraus.

Bild 25-1: Die Quantelung der Ladung Q führt zu einer digitalen Stufung und damit definierter Unsicherheit in der Größe der Ladung und des verbundenen elektrischen Feldes E . Als Folge dieser Unsicherheit existiert auch ohne extra aufgebrachte Ladungen ein minimales mittleres Feld $E_{0}$. Die Steigung tan$\phi$ ist durch die vom Feld E durchströmte Fläche A und dem darin befindlichen Material charakterisiert.

Anders als bei der stets positiven Energie im Abschnitt „Der elektromagnetische Quader“, könnte man bei polaren Grundgrößen (+e oder –e) vielleicht den Mittelwert 0 für die Unbestimmtheit zwischen den ersten Stufen der Leiter und entsprechend das Fehlen eines Grundfeldes erwarten. Dem entgegen steht, dass dann auch das Quadrat dieser Größe, und die damit verbundene Energie fehlte und Überlegungen, die im Kapitel zur Bedeutung von „Information“ folgen werden. Diesen Effekt eines „Grundfeldes“ ohne definierte Richtung (oder in Analogie „Nullpunktfeld“ zu nennen, ein Vakuumfeld) muss im folgenden beim Kondensator, dem Memristor (Abschnitte „Die Spule“ und „Der Memristor“) und entsprechend mit einem „Grundmagnetfeld“ bei der Spule berücksichtigt werden.

Die Abzählbarkeit der elektrischen Ladungen und der dazugehörigen Flussquanten lässt sich in Bild 25-12 darstellen. Aus Sicht der Information gehört zu den Punkten der identischen Anzahlen ein Unsicherheitsbereich, diesen stellen die grünen Quadrate dar. Die Fläche dieser Quadrate entspricht dem Produkt aus Ladung und Flussquant

$e\cdot \Phi _{E0}=e\cdot e/\epsilon _{0}=h\cdot v_{\Phi }$ [VAms] [25-1a]

Dieses Produkt ist gleich der Planckschen Konstante multipliziert mit der im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ erwähnten Geschwindigkeit $v_{\Phi }$ mit der Einheit [VAms]. Die magnetische Analogie liefert als Produkt die Plancksche Konstante multipliziert mit der Geschwindigkeit $v_{Q}$, siehe dann Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“.

Bild 25-12: Die Anzahl von Ladungen und Flussquanten ist identisch, es gibt Bereiche der Unsicherheit mit der Fläche $h\cdot v_{\Phi }$ (grün) und der Hälfte davon (blau).

Die Ladung auf dem Kondensator

Betrachten wir nun einen Kondensator. Dabei wird uns zunächst der aufgeladene statische Zustand interessieren und dann aber auch die Dynamik des Aufladens. Im statischen Fall beobachten wir die Quantelung der Ladung und des elektrischen Flusses, im dynamischen kommt die Quantelung des magnetischen Flusses dazu, die mit dem Lade- und Entladestrom verbunden ist.

Auf einer Kondensatorelektrode können einzelne Elektronen aufgebracht werden, auf der Gegenseite fehlen sie dann natürlich, wenn die Ladungsneutralität für das gesamte System gilt. Die gespeicherte Energie nimmt mit der Anzahl der getrennten Elementarladungen zu, und zwar mit dem Quadrat der Elektronenanzahl.

Für die Energie des Kondensators, der mit n Elektronen geladen ist, gilt, wenn man die Grundladung e / 2 berücksichtigt,

$E_{Cn}=Q^{2}/(2C)=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/(2C)$, [25-2]

Diese Energie ist auf das Kollektiv der Elektronen verteilt. Das einzelne Elektron liefert das Feld für den Bruchteil 1/n . Die Größe dieses Anteils hängt von der Gesamtzahl n ab, ist also vom Ladezustand und der Kapazität C abhängig. Stellt man sich die Fläche A=a² der Elektrodenplatten des Kondensators auf die einzelnen Elektronen aufgeteilt vor, wie in Bild 25-2 gezeigt, dann sieht man, dass für das einzelne Elektron um so weniger Platz ist, mit je mehr Elektronen es sich die Fläche teilen muss. Entsprechend sinkt sein Anteil an der Kapazität $C_{n}$ = C / n, was gleichbedeutend mit entsprechend höherer Energie $E_{n}$ des anteiligen Feldes ist:

$E_{n}=n\cdot e^{2}/(2C)$ [25-3]

Bild 25-2: Verteilte Ladungen auf den Elektroden des Kondensators und deren Flächenanteile.

Die Energiezustände für die verschieden großen Anzahlen von Ladungsträgern entsprechen dem Energieschema des Teilchens im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Die geometrische Analogie ist offensichtlich, die Ladungen sind auf den Elektrodenflächen des Kondensators eingesperrt.

Typische Zeitspannen

Aus den vorherigen Gedanken folgend ist es für unsere Vorstellung einleuchtend, dass es gegebenenfalls räumliche Bezüge und Koordinaten für die Ladungen gibt. Für die anschließenden Gedanken wird es sich als praktisch erweisen, diesen Ladungen auch eine zeitliche Dauer zuzuordnen. So ergibt sich in der Kombination mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ die für Auf- und Entladen typische Zeitkonstante

$\tau _{C}=R_{k}\cdot C$ [25-4]

Beim Füllen mit n Elektronen gilt für das letzte hinzugekommene Elektron der Energieanteil

$\Delta E_{Cn}=E_{Cn}-E_{Cn-1}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C=n\cdot e^{2}/C$ [25-5]

Die charakteristische Zeitdauer $T_{C_{n}}$ für ein Elektron aus dem Kollektiv von n Elektronen (die Lebensdauer beim Entladen über den Klitzing-Widerstand, die Zeit ungestörter Bewegung auf der Elektrode, die Zeitdauer bis zu einer Änderung) verbunden mit der Energiedifferenz $\Delta E_{C_{n}}$ ist dann wegen des Bezuges zwischen dem Wirkungsquant h, Energie E und Zeit T

$T_{Cn}=h/{\Delta }E_{Cn}=\tau _{C}/n$ [25-6]

Aus den anteiligen Kondensatorflächen $A/n=A_{n}=r_{C_{n}}^{2}$ der Elektronen folgen freie Weglängen $r_{C_{n}}$ zwischen den Stößen mit anderen Elektronen und mit der Zeit $T{C_{n}}$ als Stoßzeit folgt eine mittlere Elektronengeschwindigkeit

$v_{C_{n}}=r_{C_{n}}/T_{C_{n}}$ [25-7]

Die Abhängigkeit dieser Geschwindigkeit von dem Ladungszustand ergibt sich

$v_{C_{n}}={\sqrt {A/n}}/(\tau _{C}/n)={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-8]

sie wächst also mit der Wurzel aus der Anzahl n der Elektronen. Eine dieser Geschwindigkeit entsprechende kinetische Energie würde mit der Geschwindigkeit zum Quadrat, also ebenfalls der Anzahl n der Elektronen proportional wie das folgende Potential [25-9] wachsen. Mit dieser Geschwindigkeitsvorstellung kann man das Elektronenkollektiv auf der Kondensatorplatte als Elektronengas verstehen . Da die Energie $E=Q^{2}/2C$ im elektrischen Feld des Kondensators mit dem Quadrat der Elektronenzahl n² steigt, werden die einzelnen Stufen [25-2] beim Füllen energetisch immer größer. Die Spannung Un am Kondensator wächst beim Laden linear mit der Menge n der Ladungen e, natürlich ebenfalls gestuft.

$U_{n}=n\cdot e/C={\sqrt {2n\cdot E_{n}/C}}$ [25-9]

Bei Zimmertemperatur (T = 300 K) und C = 1 pF reicht für $dE_{n}=n\cdot e^{2}/C>k_{B}\cdot T$ eine Anzahl von etwa n = 2000 Elektronen schon aus, um mit einer Spannung von größenordnungsmäßig U = 0,3 mV aus dem thermischen Rauschen deutlich herauszuragen. Die Kapazitäten in heutigen integrierten Schaltungen sind wegen der kleinen Strukturen deutlich geringer, so dass es möglich ist, Signale mit wenigen Ladungseinheiten trotz des thermischen Untergrundes zu erkennen. Die damit verbundenen Stufen begrenzen allerdings die Signaldynamik und als Folge können wir uns die Natur nicht mehr stetig mit beliebig genau-großem Informationsgehalt vorstellen.

Die für den Kondensator typische Zeitkonstante $\tau _{C}$ zeigt im Zusammenhang mit der durch ein Ladungspaar vorhandenen Energie $E_{C_{1}}$ noch die Eigenschaft

$E_{C_{1}}\cdot \tau _{C}=(e\cdot e/2C)\cdot R_{k}\cdot C=h$ [25-10]

als Produkt aus Energie und Zeit das Wirkungsquantum zu ergeben.

Die Elektronen als Welle auf den Elektroden

Die Idee, eine Vielzahl von Elektronen über die Elektrodenfläche zu verteilen, kann man auch unter dem Gesichtspunkt betrachten, dass die Elektronen eine Wellennatur zeigen. Diese Wellen sind durch die Ränder der Elektrodenplatten begrenzt, dort sind Knoten der Schwingungen. Die Elektronen bilden also stehende Wellen, deren Wellenlänge im Zusammenhang mit der Kantenlänge steht, Bild 25-3 zeigt ein Beispiel. Ein einzelnes Elektron hat dann im niedrigsten Energiezustand nur eine halbe Schwingungsperiode pro Flächendurchmesser. Viele Elektronen verteilen sich auf der anteiligen Flächen der Elektrode oder es bilden sich entsprechend viele Knoten und Bäuche auf der gesamten Fläche, was wir als Oberwellen bei verschiedensten Schwingungstypen kennen. Aus der Energie En jedes einzelnen Elektrons ergibt sich mit n Elektronen eine zugehörige Frequenz $f_{n}$ mit $E_{n}=h\cdot f_{n}$

$f_{n}=E_{n}/h=n\cdot e\cdot e/(2C\cdot h)=n\cdot e/(4\cdot C\cdot \Phi _{0})=n/2\tau _{C}$ [25-11]

Bild 25-3: Elektronen auf den Elektroden als stehende Wellen.

Ein Elektron beansprucht als Welle (als Teil des Kollektivs aller Elektronen) die Elektrodenfläche A = a² / n mit der Kantenlänge $a={\sqrt {(A/n)]}}$ und hat entsprechend die Wellenlänge $\lambda =2a/{\sqrt {n}}$ . Wegen der Relation zwischen Wellengeschwindigkeit $v_{C_{E_{n}}}$ , Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $f_{n}=E_{n}/h$ ergibt sich mit [25-10]:

$v_{C_{E_{n}}}=\lambda _{n}\cdot f_{n}=(2a/{\sqrt {n}})\cdot n/2\tau _{C}={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-12]

Dies ist die Geschwindigkeit von Elektronen, wie sie sich oben schon aus der Stoßzeit $T_{C_{n}}$ ergab, [25-8].

Das Entladen eines RC-Gliedes

Wenn man einen Kondensator C über einen Widerstand R entlädt, erfolgt dies klassisch nach einem Exponentialgesetz. Für die auf dem Kondensator befindliche Ladung gilt

$Q=Q_{0}\cdot e^{-t/RC}$ [26-1]

und für die Energie entsprechend

$E=E_{0}\cdot e^{-2t/RC}$ [26-2]

mit einer Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$, dem Produkt aus Widerstand und Kapazität, während deren Dauer die Ladung auf $1/e$ und die Energie auf $1/e^{2}$ reduziert sind. Das Produkt dieser Zeitkonstante mit der Energie ergibt eine Wirkung,

$\tau \cdot E=R\cdot C\cdot Q^{2}/2C=R\cdot n^{2}e^{2}/2=H$ [26-3]

die unabhängig von der Größe der Kapazität C ist. Diese Wirkung H ist also unabhängig von der durch die Kapazität konkret beschriebenen räumlichen Verteilung der Ladungen, diese ist allerdings noch in der Größe der Energie enthalten. Beim Entladen des n-ten Elektrons wird die Energiedifferenz

$\Delta E_{C_{n}}=E_{n}-E_{n-1}=\left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right)\cdot e^{2}/2C=ne^{2}/C$ [26-4]

abgegeben. Damit verbunden ist dann die Wirkung

$H=R\cdot n\cdot e^{2}$ [26-5]

für deren Größe sich mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ beim letzten Elektron (n = 1)

$R_{k}\cdot e^{2}=e^{2}\cdot 2\phi _{0}/e=h$ [26-6]

das Plancksche Wirkungsquantum ergibt. Die Zeitkonstante der Entladung $\tau$ entspricht dann der oben definierten charakteristischen Zeitdauer des Kondensators $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$, [25-4]. Für den mit n Elektronen gefülltem Kondensator ergab sich eine typische Lebensdauer dieses Zustandes zu $\tau =T_{C_{n}}=\tau _{C}/n$, [25-6] , was für die Wirkung der jeweiligen Entladung über den Klitzing-Widerstand dann bedeutet, dass diese in allen Fällen ebenfalls gleich dem Planckschen Wirkungsquantum ist.

$\tau \cdot {\Delta }E_{C_{n}}=(\tau _{C}/n)\cdot ne^{2}/C=R_{k}\cdot e^{2}=h$ [26-7]

Eine solche Entladung ist im Bild 26-1 gezeigt. Weitere Einzelheiten zum Thema Entladung sind im Internet abgelegt .

Bild 26-1: Entladungszeiträume für die einzelnen Elektronen auf einem mit sechs Elektronen gefülltem Kondensator. Das Umladen findet innerhalb der schraffierten Flächen statt. Die Zahlen geben die Anzahl der Elektronen auf den Elektroden an. Die Flächen sind beim Entladen über den Klitzing-Widerstand elementare Wirkungsquanten h.

Andere Zeitkonstanten mit anderen Widerständen als $R_{k}$ kann man durch Kombination von Klitzing-Widerständen $R_{k}$ in Reihe oder parallel geschaltet erhalten. In Reihe geschaltet ergeben sich keine gedanklichen Probleme, ein Elektron passiert alle Widerstände, den Fall von vier Klitzing-Widerständen mit $R=4R_{k}$ zeigt Bild 26-2.

Bild 26-2: Vergleich der Entladung über den Klitzing-Widerstand $R_{k}$ mit der über einen viermal so großen.

Die Behinderung durch die Flussquanten nimmt in diesem Beispiel $R=4R_{k}$ um den Faktor vier zu, entsprechend verzögert sich das Entladen eines Elektrons um den Zeitfaktor vier. Die beim Entladen verloren gehende Energie ist unabhängig von der Größe des Widerstandes. Entsprechend sind die beiden die Energie repräsentierenden Volumen für den Fall des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ (mit der Höhe $f_{R_{k}}=1/2\tau _{C}$) und den vierfachen Wert $R=4R_{k}$ davon (mit der Höhe $f_{4R_{k}}=1/8\tau _{C}$) über den durch den Widerstand gegebenen Grundflächen ($h$ oder $4h$) gleich. Die Grundfläche ist dabei für den vierfachen Entladewiderstand aber um den Faktor vier vergrößert. Dies entspricht einer vierfachen Menge an Informationseinheiten, allerdings gekoppelt mit jeweils viermal größerer zeitlicher Ungenauigkeit. In diesem Fall kann eindeutig mit „ ja“ oder „nein“ beantwortet werden, dass das Elektron durch einen der in Reihe geschalteten Klitzing - Widerstände geflossen ist. Ein Teil dieser Information steckt in der Genauigkeit, mit der der Entladewiderstand und die Entladezeit zueinander in Relation stehen. Die Energie als Ableitung der Wirkung nach der Zeit ist in beiden Fällen gleich. Die Menge der abzählbaren Quanten pro Zeitintervall bleibt identisch.

Die Spule

Das Gegenstück zur Ladung e des Kondensator, ist bei der Spule das Flussquant $\Phi _{0}=h/2e$ . Entsprechend gilt für die Energie analog [25-2] ein quadratischer Zusammenhang mit der Anzahl m der Flussquanten $\Phi _{0}$ .

$E_{Lm}=L\cdot I^{2}/2=\Phi ^{2}/2L=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\Phi _{0}^{2}/2L$, [27-1]

Diese Gleichung entspricht wie beim Kondensator den Energiestufen des Potentialtopfes zwischen unendlich hohen Wänden. Für jede Änderung eines von m Flussquanten gilt dann entsprechend der Gleichung [26-4] für die Ladung beim Kondensator

$\Delta E_{Lm}=m\Phi _{0}^{2}/2L$ [27-2]

Analog zum Kondensator gibt es wieder charakteristische Zeiten $T_{Lm}=h/\Delta E_{Lm}$ , diesmal charakteristisch bei der Induktivität L für die Änderung der Anzahl von insgesamt m vorhandenen Flussquanten um ein Flussquant $\Phi _{0}$ entsprechend der Ladungsänderung beim Kondensator in Gleichung [25-6]:

$T_{Lm}=h\cdot 2\cdot L/(m\Phi _{0}^{2})=8\cdot L/(m\cdot R_{k})$ [27-3]

Die Größe des Magnetflusses $\Phi$ hängt von der Induktivität L (der Strom- und Feldverteilung im Raum) und der Größe des Stroms I ab.

$\Phi =L\cdot I=L\cdot {\Delta }Q/{\Delta }t$ [27-4]

Wenn die am Stromfluss I beteiligten Elektronen beim Passieren der Induktivität L zwei Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ erzeugen, dann ist die Dauer $\tau _{L}$ charakteristisch für ihre zeitliche Folge und es gilt

$2\Phi _{0}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

Diese charakteristische Zeit ist entsprechend der Gleichung [25-4] für $\tau _{C}$ beim Kondensator

$\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}=L/R_{k}$ [27-6]

und daraus ergibt sich ein Zusammenhang mit der Zeit $T_{Lm}$ aus der Gleichung [27-3]

$T_{Lm}=8\cdot \tau _{L}/m$ [27-7]

Wegen der Ähnlichkeit und Symmetrie der Gleichungen können wir sicher auch die übrigen Überlegungen, die wir zum Kondensator getroffen haben, auf die Spule übertragen. Dies betrifft auch die Einzelheiten der Referenz12,13, in der Auf- und Entladevorgänge diskutiert werden. Wenn wir anstatt $R_{k}$ für das Bestimmen der charakteristischen Produkte ${R_{k}/2}=(\Phi _{0}/e)$ eingesetzt hätten, ergäbe sich eine Kollision zur Quantelung der Wirkung $h=2e\cdot \Phi _{0}$. Wie beim Kondensator ergibt sich für das Produkt aus der charakteristischen Zeit und der Energie zweier Flussquanten das Wirkungsquantum.

$E\cdot \tau _{L}=h$ [27-8]

Für die Flussquanten gilt eine Quantelung, wie sie in Bild 25-1 für die Ladung gezeigt wurde, dem elektrischen Feld E entspricht dann in einer Spule das Magnetfeld H und die Steigung der Funktion ist proportional zur der von den Windungen umschlossenen Fläche A, in der das Magnetfeld gebildet wird (d entspricht der Länge der Spule). Bild 27-1 zeigt die aus der Quantisierung folgenden Stufen und die klassische Ausgleichsgerade. Basis für die Abbildung ist der Zusammenhang zwischen Magnetfluss und erzeugendem Strom und dessen räumlicher Verteilung, wobei das Abweichen von der Formel im Lehrbuch (die üblicherweise nur für die „lange“ Spule gezeigt wird) die sonst vernachlässigten Inhomogenitäten im „Geometriefaktor“ enthält.

$\Phi =L\cdot I=(\mu \mu _{0}\cdot Geometriefaktor\cdot A/d)\cdot I\sim A\cdot I/d\sim A\cdot H$ [27-9]

Wegen der Digitalisierungsunschärfe zeigt sich wieder für m = 0 ein diesmal magnetisches „Grundfeld“ $H_{0}$, es wird induziert von der Größe des Flussquants $\Phi _{0}$, wie gleich bei den Landau-Niveaus zu sehen sein wird.

Bild 27-1: Quantelung des Magnetflusses und Grundfeld $H_{0}$, m ist eine gerade Zahl.

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ wurde festgestellt, dass die Information über die Größe Strom $I=e/T_{E}$ im zeitlichen Abstand $T_{E}$ von aufeinanderfolgenden Ladungsträgern zu finden ist. Wenn ein solcher Strom nun einen kreisförmigen Leiter mit der Induktivität L durchfließt, ist ein Magnetfeld mit dem Fluss $m\cdot 2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}$ die Folge. Für die kleinstmögliche Menge von Flussquantenpaaren gilt mit $\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}$ [27-6]

$2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

und damit $\tau _{L}=T_{E}$, oder allgemein $m=\tau _{L}/T_{E}$. Die Anzahl 2m der Flussquanten ist also ein Maß für den mittleren zeitlichen Abstand $T_{E}$ der Elementarladungen beim Stromfluss. Die für die Induktivität typische Zeitkonstante $\tau _{L}$ ist identisch mit dem zeitlichen Abstand der Elementarladungen zum Erzeugen eines magnetischen Flussquantenpaars. Andererseits denkt man bei der Induktivität eher an $L=\mu \mu _{0}A/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$., also an ihre räumlich geometrische Struktur. Unter diesen statischen Verhältnissen spielt die reale Anzahl der den Strom tragenden elektrischen Ladungen keine Rolle.

Landau-Niveaus und Flussquanten

In der „Physik für Ingenieure“ findet man eine halbklassische anschauliche Beschreibung eines zweidimensionalen Elektronengases, der Landau-Niveaus und des Quanten-Hall-Effektes, aus der folgende Zusammenhänge übernommen sind. Die Elektronen mit der Energie $E=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ bewegen sich in einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld $B_{z}$ auf Kreisbahnen mit dem Radius a und der Umlauffrequenz $f=B_{z}\cdot e/(2\pi m_{e})$, die klassische Rotationsenergie $E_{rot}=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2$ entspricht den gequantelten Energiestufen $E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ der Landau-Niveaus folgend aus der Wellenfunktion.

$a^{2}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/(\pi ^{2}\cdot m_{e}\cdot f)$ [27-10]

Der magnetische Fluss innerhalb solcher Kreisbahnen ist

$\Phi _{z}=B_{z}\cdot \pi \cdot a^{2}$ [27-11]

Eingesetzt kürzen sich dann die Elektronenmasse $m_{e}$ u.a. heraus, so dass übrig bleibt

$\Phi _{z}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/e=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot 2\Phi _{0}$ [27-12]

was bei n = 0 die Existenz eines Grundflusses $\Phi _{0}$ zeigt.

Der Memristor

Im Unterschied zum ohmschen Widerstand hängt die Leitfähigkeit des Memristors davon ab, welche Spannung und welcher Strom bereits in der Vergangenheit auftraten.

$M={\frac {\Phi _{M}}{Q}}={\frac {m(t)}{n(t)}}\cdot {\frac {R_{k}}{2}}$ [28-1]

Ein konstantes Verhältnis würde den Memristor nicht vom ohmschen Widerstand unterscheiden lassen. Die technisch interessante Eigenschaft ist die Möglichkeit, dass die Vorgeschichte des Stromtransportes einen Einfluss auf das aktuelle Verhalten hat. Als Informationsspeicher kann der Memristor dienen, wenn die Kennlinie eine Hysterese vergleichbar zu dem Zusammenhang zwischen magnetischem Feld und Induktion beim Permanentmagneten hat oder wie sie die induzierte räumliche Verschiebung von Ladungen bei einem ferroelektrischen RAM (Random Access Memory) zeigt, so dass man durch eine differentielle Messung erfahren kann, wie der Memristor in der Vergangenheit betrieben wurde. Im Memristor können zum Beispiel beim Ladungstransport Ladungen längs ihres Weges hängen bleiben und die Leitfähigkeit beeinflussen, wie das bei der sogenannten „Verstärkung“ des Photowiderstandes passiert, oder eine magnetisierbare Umgebung ändert feldbedingt seine Permeabilität, was technisch genutzt wird, den Wechselstromwiderstand von Stellgliedern in Spannungsstabilisatoren zu steuern. Mit einer aus solchen Effekten folgenden Hysterese versucht man derzeit Information speichernde Memristoren herzustellen. In unserem Koordinatensystem bedeutet dies, dass das Verhältnis von Flussquanten pro Elektron davon abhängt, wie viele Elektronen oder Flussquanten vorher „geflossen“ sind. Die differentielle Steigung der Kurve in der $(Q|\Phi )$-Ebene hängt also von der Vorgeschichte ab. Ein mögliches Beispiel zeigt Bild 28-1.

Bild 28-1: Der Memristor in der Wirkungsebene. Feldabhängige differentielle Widerstände führen zu einer Hysteresekurve, mit der man Information speichern kann. Gezeigt ist die kleinste Hysteresekurve mit der Fläche (h + h/2) beim Memristor unter Einbeziehen von elektromagnetischen Vakuumfeldern.

Bei großen vorhandenen Magnetflüssen $\Phi$ ist hier die Anzahl der Elektronen e pro Fluxon $\Phi _{0}$ groß, bei kleinen Magnetflüssen umgekehrt. Das ganze kann natürlich auch aus der Sicht des Elektrons betrachtet werden, dann gehört zu kleinen Elektronenanzahlen eine große Zahl von Flussquanten. Die Steigungen der feldabhängigen (differentiellen) Widerstände müssen bei einem passiven Bauelement positiv sein, negative Widerstände sind bekanntermaßen mit Verstärkung verknüpft. Da waagerechte oder senkrechte Steigungen unendlich großen Leitwerten oder Widerständen entsprechen, kommen solche Konstruktionen an dieser Stelle nur für Ein-Aus-Schalter in Frage. Die in dieser Hysteresekurve enthaltene Fläche charakterisiert die zum Hin- und Herschalten zwischen den stabilen Feldzuständen benötigte Energie (das außerdem von der Zeit abhängige Volumen über dieser Hysteresekurve).

Die Annahme ganzzahliger Quanten $m,n$ war zur Beschreibung des einfachen ohmschen Widerstandes R sicher richtig, da bei diesem Änderungen der Quantenzahlen/Zeit $(\Delta m\cdot \Phi _{0})/(\Delta n\cdot e)$ maßgeblich waren. Für den Memristor ist eine solche Annahme falsch. Bei den für den Memristor $M$ wichtigen absoluten Werten $(m(t)/n(t))$ ist der in Bild 25-1 und Bild 27-1 gezeigte Effekt für die Nullpunktsgrößen analog zu berücksichtigen, die elektromagnetischen Vakuumfelder dürfen nicht vernachlässigt werden. Mit den daraus folgenden zusätzlichen halben Ladungen und Flussquanten ist dann eine kleinste, zum Nullpunkt symmetrische, mit elementaren Schritten umlaufbare Fläche denkbar, wie sie in Bild 28-1 dargestellt ist. Sie hätte die Größe $(h+h/2)$, diese entspricht einer Informationseinheit $h$ plus deren Digitalisierungsunschärfe $h/2$, was in Analogie zu 1 Bit Information auch vernünftig wäre. Der gleiche Gedanke begegnet uns später bei einem Photon und der Nullpunktsenergie wieder und tangiert auch die Fragen des Kapitels zu Messen und Information. Bild 28-2 zeigt Möglichkeiten ausgedehnterer Hysteresekurven. Die mit steigendem Informationsinhalt wachsende Anzahl der Strukturen soll an dieser Stelle nicht weiter diskutiert werden.

Bild 28-2: Verschiedene Strukturen von Hysteresekurven mit mehr Informationsinhalt, ganz links Beispiele für Schalter, daneben Memristoren mit unterschiedlichen Quantenkombinationen.

Zählen und Impedanz

Die Impedanzen können gemessen werden, indem man Ladungs- und magnetische Flussquanten zählt. Der ohmsche Widerstand ist charakterisiert durch das Verhältnis von der zeitlichen Änderung des Magnetflusses, die eine Stromvariation behindert, zum elektrisch beschleunigten Stromfluss, der pro Zeitintervall bewegten Elektronenzahl, [22-5]. Der Memristor zeigt das Verhältnis der pro Volumen vorhandenen magnetischen Flussquanten zu den im Raum befindlichen elektrischen Ladungsträgern, [22-6], ein Verhältnis von Dynamik zu Statik. Induktivität und Kapazität sind durch die räumliche Verteilung der magnetischen und elektrischen Felder bestimmt, wobei die Induktivität sich auf die Anzahl m der magnetischen Flussquanten bezieht, die mit einer Menge $\Delta n/\Delta t$ passierender Ladungsträger pro Zeitintervall in Relation stehen, [22-14]. Die Kapazität zeigt, wie groß die Spannung ist, die eine Menge n gespeicherter Ladungsträger erzeugt, und wie viele Flussquanten zur Balance mit dem elektrischen Feld die Energie ihres Magnetfeldes durch die zeitlichen Änderung ihrer Anzahl $\Delta m/\Delta t$ übertragen müssen, Gleichungen [22-13] . Einzelheiten und Dynamik werden beim LC Schwingkreis zu sehen sein. Damit haben wir, zusammengefasst in Tabelle 2-4, die elementaren passiven elektronischen Bauelemente in unserem neuen Koordinatensystem und die Vorschriften für ihre Messung kennengelernt und auch die Unbestimmtheit, die sich abhängig von den gemessenen Anzahlen ergibt.

Tabelle 2-4: Messvorschrift (Zählparameter) und Impedanzen der klassischen passiven Bauelemente

Bauelement	Einheiten	* {$\Phi _{0}/e$} [Ω]	Impedanz [Ω](ω)	Kreisfrequenz [s-1]
Widerstand	R [Ω] = [V/A]	(Δm / Δn) (j Δt / j Δt)
Memristor	M [Ω] = [Vs/As]	(m+½) / (n+½)
Kondensator	1/C [1/F] = [V/As]	Δm / (j Δt·n)	n·j Δt / (Δn C)	w = -Δn / (n·Δt)
Induktivität	L [H] = [Vs/A]	m·j Δt / Δn	-j L·Dm / (m·Δt)	w = -Δm / (m·Δt)

Anmerkungen

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

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