Die abzählbare Physik/ Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen

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Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen[Bearbeiten]

Das lokalisierte Photon ist im Resonator zwar ohne materielle Elektronen existent, die Elementarladung bleibt trotzdem die das elektrische Feld prägende Größe. Man kann daher die Problematik auf einen elektrischen Schwingkreis übertragen und es zeigen sich, wenn nur wenige Elektronen an den Schwingungen beteiligt sind, gegenüber der klassischen Darstellung zwei Probleme:

  1. Die Energien der elektrischen und magnetischen Felder bei statischer Aufladung von Kondensatoren und Spulen mit Elektronen und magnetischen Flussquanten unterscheiden sich gegenüber den Energiestufen des harmonischen Oszillators im schwingenden Fall um den Faktor .
  2. Während beim harmonischen Oszillator die mögliche Energie gestuft mit konstantem Abstand existiert, wächst die Energie eines Kondensators quadratisch mit der Anzahl der Elektronen, wie ein Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Entsprechend verhält sich eine Induktivität in Bezug auf die Energie des Magnetfeldes infolge magnetischer Flussquanten.

Diese Diskrepanzen verschwinden, wenn man annimmt, das die Felder im LC-Schwingkreis zwar auf die elementaren Quanten zurückzuführen sind, die zeitliche Existenz von den daraus folgenden Feldern und ihren Kombinationen aber in Einklang mit der Unbestimmtheit durch die digitale Struktur der Wirkung begrenzt ist. Für jede Kombination elektrischer und magnetischer Felder lässt sich abhängig von der vorhandenen Energie eine Lebensdauer angeben. Daraus folgt dann eine Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten während der Periode einer Schwingung und eine Struktur, die für große Anzahlen der Quanten in die bekannte klassische übergeht. Für kleine Anzahlen ist aber ein Abweichen von der bekannten Statistik der Besetzungszahlen des harmonischen Oszillators zu erwarten. Die in diesem Kapitel behandelten Wahrscheinlichkeiten haben ihre Ursache nicht im Zufall, sondern sind auf das Hamiltonsche Prinzip zurückzuführen. Auf dieser Basis kann nun auch das 1/f-Rauschen verstanden werden.

Das mechanische Analogon zum lokalisierten Photon, ein Phonon, sollte sich ähnlich verhalten. Für ein solches Phonon liegen experimentelle Befunde vor, die mit den prognostizierten feldabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die beteiligten Energien in Einklang sind. Als Folge der Ähnlichkeiten treten bei den mechanischen Oszillatoren zwei konstante Größen, eine Länge (die Auslenkung) und ein Impuls, auf, die den elektromagnetischen Größen Elementarladung und Flussquant entsprechen.

Wir sind auf der einen Seite mit Photonen vertraut, wir benutzen sie zum Übertragen von Information, bei der Fotografie und in der Messtechnik, auf der anderen Seite ist unsere Vorstellung sehr begrenzt, was ein Photon wirklich ist[1]. Einigkeit besteht sicher darüber, dass die elektromagnetischen Photonen und auch die mechanischen Phononen Größen sind, die es gestatten, den Energieaustausch mit den entsprechenden elektromagnetischen und akustischen Wellen zu beschreiben. Wenn aus einer elektromagnetischen oder akustischen Welle Energie übertragen wird, geschieht dies gequantelt[2][3], mit der Energie :

[3-1]

(mit dem Planckschen Wirkungsquant , der Geschwindigkeit der Wellen , der Frequenz , der Periodendauer , der Wellenlänge ). Der Energieaustausch der Welle tritt lokalisiert auf, zum Beispiel am Ort des Atoms, dessen Elektron das Orbital wechselt, wobei die Wechselwirkung dann in einem räumlichen Bereich erfolgt, der wesentlich kleiner als die Wellenlänge ist. Während des Ausbreitens stellen wir uns die Energie räumlich verteilt in Form elektrischer und magnetischer Felder oder in potentieller und kinetischer Energie vor, wobei die Position der Quanten dabei nur sehr begrenzt definiert ist. Einzelne Photonen beobachtet man sehr einfach im hochenergetischen Röntgenbereich, mit sichtbarem und infrarotem Licht schon durch den thermischen Hintergrund mit wachsender Wellenlänge zunehmend schwieriger und bei Radiowellen überwiegt das thermische Rauschen der Umgebung. Die einzelnen Photonen sind dann nicht mehr ohne weiteres aus dem Untergrund zu isolieren. Die Phononen treten gegebenenfalls lokalisiert an Molekülen und bei Fehlstellen in Festkörpern auf.

Das Photon im Resonator[Bearbeiten]

Um Eigenschaften eines Photons zu untersuchen, sollte es so konkret wie möglich betrachtet werden können. In einer sich frei ausbreitenden elektromagnetischen Welle findet man das Photon nur zufällig irgendwo. Wie kann man seine Position, den Ort eingrenzen ? Indem die elektromagnetische Welle zwischen Spiegeln hin- und herläuft, im Extrem als stehende Welle zwischen zwei Spiegeln im Abstand oder in einem entsprechenden Hohlraumresonator. Im Unterschied zur laufenden elektromagnetischen Welle, bei der sich elektrisches und magnetisches Feld in Phase ausbreiten, tritt im Resonator bekanntermaßen wegen der unterschiedlichen Phasendrehung bei der Reflexion und der daraus folgenden unterschiedlichen Interferenz ein periodischer Wechsel der Energie zwischen elektrischem und magnetischem Feld auf. Diesen Wechsel zwischen zwei Formen der Energie beobachtet man allgemein bei harmonischen Oszillatoren, Einzelheiten werden wir gleich ausführlich beim Schwingkreis behandelt. Ansonsten verhält sich das derartig lokalisierte Photon „normal“, so lässt sich bei Längenänderung des Resonators leicht zeigen, dass die damit verbundene Energie- und Frequenzänderung durch von außen geleistete Arbeit erreicht wird und das Ergebnis dieser Rechnung ist der bekannte Impuls p des Photons[4],

[3-11]

Interessant ist nun die Frage: Welche Größen von lokalisierten Photonen und Phononen ändern sich mit der Frequenz und welche nicht ? Dazu wird das Photon also in seinen Koordinaten auf das Volumen . begrenzt, wie es in Bild 3-1 zu sehen ist.

Bild 3-1: Photon (Mode) im Resonator, einem Würfel mit der Kantenlänge .

Unter dieser Annahme kann die maximale Energiedichte eines einzelnen Photons berechnet werden.

[3-12]

und weiter ergibt sich für die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldstärken entsprechend:

[E] ~ [B] ~ [3-13]

Die mit einem einzelnen Photon verbundene Information beträgt natürlich nur ein Bit, das Vorhandensein: ja oder nein. Mit verschiedenen Frequenzen ist allerdings eine unterschiedlich genaue Lokalisierung in der Zeit durch die Periodendauer und in drei Dimensionen des Raumes mit der Wellenlänge verbunden. Damit entspricht [3-12] der Vorstellung, dass die Energie E = h / T eine zeitliche Informationsdichte darstellt, auf die wir später noch zurückkommen werden.

[3-14]

Wenn man die sich abwechselnden Felder zu Zeiten misst, bei denen nur eine Sorte der Felder vorhanden ist, kann man diese mit solchen vergleichen, die von statischen Quellen erzeugt werden. Dann gilt für die dafür nötigen Ladungen oder Magnetflüsse mit passenden Geometriefaktoren , die die Inhomogenitäten der Felder berücksichtigen und bei einer von der Frequenz unabhängiger und durch die Geometrie bedingten Impedanz .

[3-15]

[3-16]

Beide sind also unabhängig von der Frequenz f !

Dieser Einfluss der Quellen der elektromagnetischen Felder ist also nur von der Geometrie des Resonators abhängig, d.h. von dessen qualitativen Proportionen, aber die Größe und Stärke der Quelle ist es nicht von der Frequenz der Photonen, die für deren quantitative räumliche Größe relevant ist. Mit steigender Frequenz werden die Abmessungen des Resonators immer kleiner und damit auch die räumliche (und auch zeitliche) Ausdehnung der Felder. Das führt zu den steigenden Feldstärken ~ der Gleichung [3-13] und den Energiedichten ~ in [3-12].

Diese Frequenzunabhängigkeit der Quellen ist eine zunächst sicher überraschende Tatsache, nun ist die Frage natürlich, wie groß diese Ladung und der magnetische Fluss sind. Einzelheiten sind in der soeben zitierten Arbeit zu finden, hier soll gleich die äquivalente und besonders anschauliche Darstellung des in einem elektrischen Schwingkreis extrem lokalisierten Photons, des Energiequants der elektromagnetischen Schwingungen, folgen.

Bei einem Atom, das ein Photon abstrahlt, gibt es die elementare Ladung an dieser Quelle, ein Elektron wechselt von einem Energieniveau zum anderen. Bei Radiofrequenzen mit strahlenden Antennen sind die bewegten Elektronen die ursprünglich die Felder tragenden Objekte. Beim Synchrotron und Speicherring kreisen elementare Ladungen. Es ist daher eigentlich nicht verwunderlich, wenn die Elementarladung auch in der Rolle einer virtuellen Ladung das Geschehen prägt.

Der Schwingkreis bei wenig Energie und mit wenigen Quanten[Bearbeiten]

Der LC-Schwingkreis ist ein bekanntes Beispiel eines harmonischen Oszillators, bei dem die Energie zwischen der des elektrischen Feldes im Kondensator und der magnetischen im Feld der Spule hin und her pendelt. Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist durch das Produkt der Größen von Kondensator C und Spule L bestimmt. In Kapitel 2 waren zwei Zeitdauern durch die Kapazität und die Induktivität charakterisiert, ,[2-54] und ,[2 76]. Ihre Kombination liefert die Periodendauer des Schwingkreises in folgender Weise:

[3-21]

Für jede Frequenz gibt es unendlich viele Kombinationen von und . Die Energie liegt, wie bei jedem harmonischen Oszillator zu sehen, gequantelt vor. Die einzelnen Anregungszustände unterscheiden sich um die konstante Differenz und es existiert eine Mindestenergie , die schon in Kapitel 1.1. als Digitalisierungsunschärfe interpretiert wurde. Wir wollen im einzelnen nun betrachten, was zusätzlich aus der Quantelung der für die Felder verantwortlichen Größen folgt, die bei statischen Feldern (elektrisch mit , magnetisch mit ) auf Grund von Ladungen und Magnetflussquanten beträgt.

Bild 32-1: Die vier möglichen gequantelten einzelnen Felder im energieärmsten Schwingungsfall

Mit den kleinsten möglichen Feldern treten während einer Schwingungsperiode die in Bild 32-1 gezeigten vier extremen Zustände I: (; 0), II: (0; e), III: (; 0), IV: (0; -e) auf, bei denen nur jeweils eines der Felder existiert, entweder das elektrische mit zwei möglichen Polarisationen oder das magnetische, ebenfalls mit zwei möglichen Richtungen. Für den Fall minimaler Energie existiert nur ein Ladungspaar () oder abwechselnd ein Flussquant (), anderes kann nicht gemessen werden. Es gilt also unter der Annahme statischer Felder, die für die Schwingung später korrigiert werden muss !

[3-22]

und daraus folgt

[3-23]

Damit ist eine Impedanz festgelegt[5], nicht aber eine Frequenz f = 1 / T ! Solche Systeme mit der Impedanz arbeiten mit den für diese spezielle L/C-Kombinationen typischen der Frequenzen .

Aus der Quantelung der Energiestufen (E = h \cdot f) [1-1], diese elektromagnetischen Energiepakete sind die Photonen) des harmonischen Oszillators mit , [3-21] folgt als kleinste Energiestufe aber

[3-24]

also eine um den Faktor (2 / ) kleinere Energie als mit aus [3-22] erwartet. Wie im folgenden behandelt, ist diese Diskrepanz mit der Vorstellung vereinbar, dass zwar die mittlere Energie eine Erhaltungsgröße ist, ihre Größe aber für kurze Zeitintervalle nur begrenzt genau definiert ist. Die Vorstellung, dass man sie zu jedem Zeitpunkt messen könnte, ist falsch – es gilt die Unschärferelation und außerdem ist die Photonenzahl keine Erhaltungsgröße. Diese Unschärferelation wird keine Grundlage der im Folgenden entwickelten Vorstellungen sein, diese werden sich aber damit in Einklang befinden. Diese Unbestimmtheit begrenzt auch unsere zeitliche Vorstellung, was noch genauer im Kapitel zur Zeit ausgeführt wird. Die im folgenden betrachteten zeitlichen Abläufe sind mit entsprechender Unschärfe zu versehen. Es sollen keine Aussagen mit einer Genauigkeit gemacht werden, die über diese Unschärferelation hinausgeht. Mögliche zeitliche Angaben über Zustände innerhalb einer Periode sind daher in ihrer Präzision eingeschränkt. Die in der Welt der Physik definierte Genauigkeit hängt von der Energie ab. Bei der kleinsten Energie beträgt sie sogar im Mittel über viele Perioden etwa T/6, zeitlich genauer ist die Zeitangabe bei diesem System als einzelnem Objekt in der Natur nach meiner derzeitigen Vorstellung nicht definiert ! Aus Sicht der Information enthält der statische Zustand mit der Kenntnis, dass die Energie entweder im Kondensator oder der Spule gespeichert ist, auch mehr Präzision als der schwingende Fall, in dem eine solche Zuordnung nicht mehr möglich ist.

Bild 32-2: links: Der Schwingkreis in der (Q; ) - Ebene mit m = n = 1. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = ( entspricht dem Energieunterschied zwischen minimaler Energie der einzelnen Komponenten bei einem klassischen Schwingungsverlauf und der des Schwingungsquants. Rechts ist das Bild um die Frequenzachse ergänzt und zeigt ein Photon mit seiner Energie als Volumen.

Bild 32-2 zeigt die schon bekannte Ebene (Q; ), die eine Phasenraumdarstellung ist und bei der Geraden durch den Nullpunkt Impedanzen darstellen. Die gequantelten Ladungen Q auf dem Kondensator C und die Flüsse in der Spule L sowie mögliche Kombinationen der beiden bilden die Punkte der (Q; ) - Ebene. Das Bild 32-2 links stellt die Verhältnisse für alle möglichen LC-Kombinationen mit dar.

Die Unterschiede für verschiedene Werte von L und C bei gleichem Quotienten L/C würden sich dann nur in der Periodendauer T der Schwingungen zeigen. Diese tritt nur senkrecht daraus ragend als die Frequenzachse f, reziprok zu dem Produkt , in Erscheinung, wie mit Bild 32-2 rechts gezeigt. Nur in dieser dritten Koordinate, ihrer Frequenz f, unterscheiden sich Schwingkreise gleicher Impedanz (mit dem gleichen Verhältnis L/C) aber unterschiedlicher Größen der Komponenten L und C und entsprechend unterschiedlicher Resonanzfrequenz. Die Zeit tritt in diesem Koordinatensystem nur als „Dauer“ und nicht als ein ablaufendes Geschehen beschreibend auf, trotzdem werden wir gedanklich hinter den Koordinaten in der (Q; )-Ebene eine zeitliche Folge erwarten, die während der Schwingungen durchlaufen wird.

Der kleinste mögliche Schwingungszustand, das rote Quadrat in Bild 32-2, enthält die Punkte des feldfreien Zustandes (0; 0) und vier Feldzustände (0; 1),(1; 0), (0;-1), (-1; 0). Das aus den mit den Feldern verbundenen Eckpunkten gebildete Quadrat hat die Fläche . Klassisch würden die Schwingungen der kleinsten eingezeichneten Kreisbahn folgen, digital sind davon nur die Eckpunkte des Quadrats realisierbar. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = () entspricht genau dem oben beobachteten Unterschied zwischen der aus klassisch statischen Feldern abgeleiteten Energie , [3-2] und der mit der Quantenmechanik gefundenen Größe , [3-4]. Es liegt daher nahe, die fünf Feldzustände des roten Quadrates für realisiert zu halten und die Feldzustände entsprechend einer Pulsweitenmodulation auf die Periodendauer T so aufzuteilen, dass die mittlere Energie dem quantenmechanischen Ergebnis entspricht. Dies zeigt Bild 32-3. Darin sind die klassischen Sinus- und Kosinusfunktionen für Strom und Spannung oder die des elektrischen und des Magnetfeldes gezeigt. Die Summe ihrer Quadrate wäre die konstante gesamte Energie , denn es gilt sin² +cos² = 1. In Bild 32-3 wird dagegen orange die Differenz dieser Feldenergien gezeigt, die mit doppelter Frequenz auftritt. Die Annahme ist nun, dass es eine digitale Schwelle gibt, ab der die Energie entweder dem elektrischen oder dem Magnetfeld zugeteilt wird, unterhalb dieser Schwelle erfolgt die Zuordnung an keines dieser Felder, also im vorliegenden Beispiel ergibt sich dann die Feldstärke Null.

Bild 32-3: Geschaltete elektrische und magnetische Felder, N = 1, die Zeit ist hier eine Dauer, eine aktuelle, ablaufende Zeit innerhalb der Periode ist bei dieser kleinen Energie noch nicht scharf definiert !, wenn sie auch für die Anschauung hier so dargestellt wird.

Für eine den obigen Anforderungen an die mittlere Energie genügenden Pulsweitenverhältnis liegt eine solche Schwelle dicht bei der Energiedifferenz | | = ½. Unterhalb dieser Schwelle ist es digital nicht möglich, die Felder eindeutig zu unterscheiden, so dass sich dann die geschalteten magnetischen Felder (grün: ,0) oder elektrisch (blau: , 0) abwechselnd und mit unterschiedlicher Polarität, wie in Bild 32-3 gezeigt, ergeben. Man beachte die gemittelte ! Zeitunschärfe t ~ T/6 mit der in Kapitel zur Zeit behandelten Qualität einer Dauer und unterstelle keine darüber hinausgehende Aussagekraft !

Der nächste mögliche Energiezustand gehört zu zwei (N = 2) Wirkungsquanten h. Bild 32-4 zeigt einen prognostizierten zeitlichen Feldverlauf, rechts daneben die Feldkombinationen in der (Q; ) Ebene. Anstatt der feldfreien Zeiten mit (m; n) = (0; 0) in Bild 32-3 treten jetzt die Kombinationen (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) mit gleichzeitig vorhandenen elektrischen und magnetischen Feldern auf.

Bild 32-4: Geschaltete elektrische und magnetische Felder bei zwei Schwingungsquanten, N = 2.

Wird der Schwingkreis nicht nur mit einem sondern mit zwei oder drei Elektronen gefüllt, so zeigt Bild 32-5 in der (Q; ) -Ebene größere Quadrate, deren Flächenverhältnis dem Energieverhältnis entspricht, N = 4 für zwei Elektronen – Flussquanten und N = 9 für entsprechend drei. Damit wären allerdings nicht alle Energiestufen des harmonischen Oszillators zugeordnet.

Bild 32-5: Der Schwingkreis in der - Ebene, links mit verschiedenem Füllstand (m=n = 1,2,3; = h* 1,4,9), rechts die klassischen Kreise mit den Flächen 1h...9h, die zu den Energiestufen des harmonischen Oszillators gehören.

Es gilt also nach Feldkombinationen ) zu suchen, die auch andere Besetzungsstufen der linearen Folge des harmonischen Oszillators als die schon erwähnten der Quadratzahlen N = i² realisieren. Die klassischen Lösungen dieses Problems zeigen die Kreise in Bild 32-5 rechts.

Für die ersten beiden Energiestufen N = 1 und N = 2 ist die jeweilige zeitliche Dauer der einzelnen Phasen aus der Periodendauer und den Energieverhältnissen eindeutig durch Lösen von Gleichungen mit Unbekannten zu bestimmen. Bei höheren Energiestufen ergeben sich dann aber mehrere Möglichkeiten für die dann zahlreichen möglichen Stufen der Feldkombinationen, die man als Ergebnis einer Messung ermitteln könnte, wenn man nur fordert, dass die mittlere Energie einer Stufe des harmonischen Oszillators entspricht. Unsere Darstellung der Wirkungsflächen zeigt dann auch, dass innerhalb der klassischen Kreise außer den Quadraten weitere Vielecke möglich sind, wie sie in Bild 32-6 angedeutet sind. Diese Möglichkeiten nehmen mit größerer Energie, also größerem mittlerem Radius, zu, im Zentrum ist die Nullpunktsenergie.

Bild 32-6: Feldkombinationen außerhalb der Quadrate innerhalb der klassischen Kreise bei größeren Anzahlen m,n mit der Nullpunktsenergie im Zentrum.
Bild 32-7: Mittlerer zeitlicher Feldverlauf für N = 25, m/n = 5/5.

Ein Beispiel für die Energiestufe N = 25 mit maximal 5 Flussquanten und fünf Elektronen zeigt Bild 32-7 mit einem möglichen zeitlichen Verlauf von vielen denkbaren. Gewählt wurde eine Folge von Feldkombinationen, die zeitlich aufeinander folgend angenommen auf der Umrandung des Quadrats der Fläche liegen, die orange Punkte in Bild 32-7 rechts oben. Der mittlere zeitliche Feldverlauf entspricht hier den roten und grünen dreiecksähnlichen Schwingungen, ist also einer Sinusschwingung durchaus ähnlich.

Bei maximalen Feldern () treten jeweils Energiemaxima auf, die deutlich oberhalb der mittleren Energie E liegen. Mit verschiedenen Kombinationen von kleineren Füllständen aus Elektronen und Flussquanten kann dies im zeitlichen Mittel ausgeglichen werden. Zuständig dafür sind die Flächen der Energie x Zeit = Wirkung, die zwischen der Kurve der momentanen Energie und dem Zeitmittel E liegen. Diese Wirkungsflächen zu minimieren macht Sinn. Jede Abweichung bedeutet, dass entweder im Feynmanschen Sinne Energie geborgt (E- rote Flächen) wird oder im Überschuss vorhanden ist (E+ grüne Flächen). Auch wenn wir alle Möglichkeiten der Feldkombinationen (; n \cdot e) zulassen, halten wir sie doch nicht alle für gleich wahrscheinlich, sondern favorisieren solche mit geringer Abweichung vom Mittelwert der Energie. Solange die Größe solcher Flächen kleiner als h ist, befinden sie sich im Einklang mit der Heisenbergschen Unschärferelation, im Sinne der vorliegenden Arbeit also im Bereich der digitalen Unsicherheit. Es müsste experimentell noch geprüft werden, ob größere Abweichungen als h im Rahmen der Naturgesetze überhaupt möglich sind. Unklar ist bisher also, ob die digitalen Grenzen echte Schranken sind oder nur Maßstäbe für statistische Aussagen liefern.

Wie verhält sich ein Schwingkreis bei einer vorgegebenen Energiemenge ? Die eingesetzte mittlere Energie sei E, die aktuelle Energie Em,n ist gegeben aus der Feldkombination (; n \cdot e). Bei vorgegebener Füllung des Schwingkreises mit der Energie und Vergleich mit den möglichen Energiewerten der elektromagnetischen Feldkombinationen, die wegen der Quantelung von magnetischem Fluss und Elementarladung möglich sind, treten Energiedifferenzen auf,

[3-25]

Eine daraus abgeleitete Zeit

[3-26]

ist in unserer herkömmlichen Vorstellung eine maximale Existenzdauer für ein Abweichen vom Energiemittel E. entspricht also der Lebensdauer einer bestimmten Feldkombination. Wenn diese Zeit kurz ist, bedeutet dies eine geringe Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zustand m,n (diese Kombination von elektrischen und magnetischen Feldern) auftritt, ist dagegen die Zeit lang, ist dies mit einer großen Wahrscheinlichkeit gleich zu setzen. Diese Wahrscheinlichkeit ist also nicht durch „Gottes Würfeln“ zufällig entstanden, sondern folgt aus einer sinnvollen Gesetzmäßigkeit, der „soliden Haushaltsführung“, sie ist im Grunde genommen bekannt als „Hamiltonsches Prinzip“. Diese hier eingeführte Wahrscheinlichkeit moduliert als Anteil die „totale“ Wahrscheinlichkeit, die mindestens noch die die Schwingung antreibenden Kräfte enthalten muss, die klassisch zu den Sinus- und Kosinus-Schwingungen führen.

Um die Eigenschaften des schwingenden Kreises zu analysieren, wurde die zugehörige Energie für jeden Knotenpunkt / jedes Element der Ladungs-Fluss-Ebene berechnet. Die Tabelle mit den Spalten „Elektronenzahl“ n und Zeilen „Flussquantenzahl“ m zeigen Bilder 32-8 und 32-9, zu sehen ist jeweils der IV. Quadrant der Ebene { ; Q }. In Bild 3LC-8 ist klar zu sehen, dass die diagonal angeordneten Quadrate der obigen Bilder längs ihrer Kanten deutliche Energieänderungen zeigen.

Bild 32-8: Energie an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene und farblich markiert die Diagonalen

Diese diagonalen Wege sind mit einem gleichzeitigen Wechsel der Anzahlen von Flussquanten und Ladungen bei einer konstant bleibenden Summe m+n von ihnen verbunden. Schon in den Bildern 32-3 und 32-4 war oben bei nur einem oder zwei Schwingungsquanten zu sehen, dass eine konstante Quantenanzahl m + n keine vorgegebene Gesetzmäßigkeit zu sein scheint. Kombiniert man dagegen ähnliche Energiewerte, dann nähert man sich den klassischen Kreisen, wie in Bild 32-9 deutlich wird.

Bild 32-9: Energie Em,n an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene farblich markiert ähnliche Energien

Die Wahrscheinlichkeit von Feldkombinationen[Bearbeiten]

Aus Matrizen (), die die Energie eines Schwingkreises für alle möglichen Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder angibt, kann man nun im nächsten Schritt bei zusätzlich vorgegebener mittlerer Energie E eine Matrix mit den Elementen () berechnen.

[3-31]

Eine Wahrscheinlichkeit wird außer von dieser Zeit (die eine Komponente der Lebensdauer der dazugehörigen Feldkombination ist, die aus der Differenz der Feldenergien zur mittleren Energie folgt) noch davon abhängen, wieviel Matrixelemente während einer Periode T (eines Umlaufs auf einem Weg in der aktuellen Zeit t als Folge des unten beschriebenen Antriebs [6]) durchlaufen werden. Diese Anzahl hängt vom Abstand zum Koordinatenmittelpunkt ab, also vom maximalen Füllstand mit Elektronen oder Flussquanten, deren Quadrat mit der Energie korreliert ist.

[3-32]

Als erster Versuch wird hier der Ansatz [3-33] verwendet. Dieser Ansatz wurde durch „intelligentes Raten und Probieren“ unter Berücksichtigung der ersten Energieeigenwerte, die Singularität bei (0,0) ausschließend und als Beginn einer Reihenentwicklung, gewählt. Eine genauere Beschreibung des behandelten Problems sei der Zukunft überlassen, da der physikalische Effekt der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch ohne die hier fehlende Normierung prinzipiell beschrieben wird.

[3-33]

Bild 33-1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Grundzustand ( mit einem Elektron oder Flussquant. Basis ist die (Q; )-Ebene mit dem feldfreien Zustand in der Mitte. Auf dieser Ebene ist die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Feldkombinationen logarithmisch skaliert errichtet. Im Grundzustand, Bild 32-2, tauchen die vier möglichen kleinsten elektrischen und magnetischen Felder auf, mit größter Wahrscheinlichkeit allerdings der feldfreie Zustand, da dieser im Gegensatz zu den jeweiligen elektrischen oder magnetischen Feldern viermal pro Periode auftaucht (Bild 32-3).

Bild 33-1: Die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen bei der niedrigsten Energiestufe N = 1; ein Elektron oder ein Flussquant tragen schon mehr Energie als im Mittel vorhanden ist.

Bei einem Füllstand () mit zwei Elektronen oder Flussquanten tritt die Kombination ein Elektron plus ein Flussquant gleichzeitig am häufigsten auf. Ein Magnetfeld und gleichzeitig ein elektrisches Feld sind am wahrscheinlichsten, wie Bild 33-2 zeigt.

Bild 33-2: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises auf der vierten Energiestufe E = 4 h f mit zwei Elektronen oder Flussquanten, N = 4.

Die Energieeinheiten elektromagnetischer Schwingungen sind Photonen. Die Zahl N entspricht ihrer Anzahl. Bei großer Energie und den zugehörigen großen Füllständen tritt die klassische Kreisform mit extrem großer Wahrscheinlichkeit in Erscheinung, wie in Bild 33-3 zu sehen.

Bild 33-3: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises mit vielen Photonen. Klassische Kreisform bei hoher Energie im Schwingkreis.

Die einzelnen Feldkombinationen, die man sich nacheinander durchlaufen denkt, treten nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, einige Kombinationen sind dem analogen Kreis der mittleren Energie näher und damit wahrscheinlicher als andere. Daher existieren die beobachteten „Krönchen“ mit den Spitzen hoher Wahrscheinlichkeit, es gibt eine Verteilung und Modulation der Wahrscheinlichkeiten.

Man kann nun für verschiedene Energien E die Summe WS der Wahrscheinlichkeiten über alle Wm,n bilden. Dabei zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeitssumme WS für die verschiedenen Energien E deutliche Unterschiede aufweist. Dies bedeutet, dass die Umläufe während einer Periode, während der die verschiedenen Feldkombinationen durchlaufen werden, für einige Werte der mittleren Energie eine geringeres durchschnittliches Abweichen von den realen Feldenergien auftritt und diese Umläufe daher wahrscheinlicher sind, andere dagegen, deren Feldkombinationen zu größerer Abweichung führen, sind weniger wahrscheinlich. Im Experiment sollte sich dies zeigen und so bemerkbar machen, dass es eine dadurch modulierte Struktur bei der Besetzungshäufigkeit der Energieleiter des harmonischen Oszillators gibt. Grund ist die Quantelung der Ladungen und Flussquanten und die daraus folgende Verteilung der Feldenergien beim LC-Schwingkreis. Diese erwartete Modulation der Besetzungshäufigkeit zeigt Bild 33-4. Zwischen den „Krönchen“-Strukturen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechend Bild 33-1 bis 33-3 und den Werten der Wahrscheinlichkeitssumme WS ist kein direkter Zusammenhang zu sehen, wie die Beispielbilder zeigen. Gezeigt wird mit Bild 33-4 die Summe der Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der mittleren Energie, die bei der Simulation im Rechner zunächst alle möglichen Werte annehmen darf, nicht nur die der Energieleiter des harmonischen Oszillators. Dieses Beispiel ist für die LC-Kombinationen mit m / n = 1 berechnet. Für andere Kombinationen von m / n (also andere Impedanzen) wird das Bild seitlich gestaucht oder gedehnt. Eine solche Struktur konnte im Experiment auch wirklich beobachtet werden, das Phononenbeispiel gleich noch zeigen wird.

Bild 33-4: Wahrscheinlichkeitssumme für verschiedene Photonenzahlen bei m/n = 1 und die dazugehörige „Krönchen“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wie man sieht, nimmt die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen außerhalb eines relevanten Bereiches in der Nähe des der mittleren Energie entsprechenden Kreises (oder bei anderer Impedanz einer Ellipse) schnell um mehr als 20 Größenordnungen ab. Das rechtfertigt, dass nur einige 10.000 Matrixelemente in die numerische Abschätzung einbezogen wurden. Trotzdem ist ein Fehler nicht auszuschließen, denn im unendlichen ist ja mit allem zu rechnen. Weitere Einzelheiten[7] sind im Internet beschrieben.

Die Analogie Photon - Phonon, zwei neue mechanische Quanten[Bearbeiten]

Parallel zu obigen Gedanken für die elektromagnetische Energieeinheiten, die Photonen, soll nun das mechanische Gegenstück, das Phonon betrachtet werden. In der mathematischen Beschreibung von elektromagnetischen und mechanischen Problemen gibt es zwei gleichwertige Analogien, die hilfreich verwendet werden können[8][9]. Kinetische und potentielle Energien in der Mechanik entsprechen dabei denen von elektrischen und magnetischen Feldern. Beide denkbare Kombinationen sind für Vergleiche möglich und führen zum gleichen Ergebnis. Massen M und Federn (Federkonstante f und ng = 1 / f Nachgiebigkeit) entsprechen dabei so oder so Spulen L und Kondensatoren C.

Mit solch einer Analogie ist es möglich, den Wechsel der Energie vom elektrischen zum Magnetfeld in einem schwingenden System auf ein mechanisches übertragen, bei dem potentielle mit kinetischer Energie abwechselt.

So wie am Anfang des Kapitels die frequenzunabhängigen Größen Ladung und Magnetfluss beim Schwingkreis festgestellt wurden, gibt es bei mechanischen harmonischen Oszillatoren mit schwingenden Massen und gespannten Federn eine von der Frequenz unabhängige maximale Auslenkung und einen entsprechenden Maximalimpuls , wenn bei verschiedenen Schwingern das Verhältnis Feder zu Masse das gleiche ist. Dieses Verhältnis wird durch die Größe Kraft pro Geschwindigkeit, die mechanische Impedanz

, [3-41]

bestimmt. Sie ist materialabhängig und außerdem vom Querschnitt des Wellen leitenden Systems, also vom Durchmesser des Schallfeldes beeinflusst. Damit sind die mechanischen Größen maximale Auslenkung , eine Länge, und Maximalimpuls zwar als gequantelte Größen existent, sie sind aber nicht solche universellen Quanten für alle mechanischen Probleme, wie die von der Materie unabhängigen elektromagnetischen Ladungen und Flussquanten[10]. Das mechanische „Impulsquant“ ist

[Ns] [3-42]

und das „Auslenkungsquant“

[m] [3-43]

Für eine dem Klitzing-Widerstand entsprechende mechanische Größe gilt

[Ns/m] [3-44]

Dass hier der Faktor Zwei auftaucht, ist mit den Gleichungen [3-42] und [3-43] vorauszusehen, da in den Formeln der einzelnen Quanten ja nur h/2 auftaucht und ohne den Faktor 2 die Quantenstufen der Wirkung nicht realisiert werden können. Im mechanischen System macht die mathematisch völlige Symmetrie zwischen Auslenkung und Impuls kein Problem, so dass man eine „Leitfähigkeit“ als zum Widerstand inverse Größe problemlos akzeptiert und den Faktor 2 auch im Nenner beim Viertel der Klitzing-Impedanz genauso hinnimmt. Wie früher erwähnt, erfordert die Größe h eine Kombination von zwei Quanten der einen Sorte mit einem der anderen, um ganzzahlig zu sein.

Im elektromagnetischen Fall bereitet die elektrisch-magnetische Monopol-Dipol-Unsymmetrie der Maxwellgleichungen einer verbreiteten Schönheitsvorstellung von Naturgesetzen Schwierigkeiten, im mechanischen Denkansatz taucht dieses Problem nicht auf.

Das M-Zentrum in Zinksulfid, ein experimentelles Beispiel[Bearbeiten]

Im Zinksulfidkristall ZnS ist jedes Atom von vier Atomen der anderen Sorte umgeben, wie es Bild 34-1 links zeigt. Ein besonderes Phonon an der Grenze des von den Phononen des Wirtskristalls erreichbaren Frequenzspektrums ist das LO-Phonon. Bei ihm handelt es sich um eine stehende Welle, bei der die unterschiedlichen Atome (Zn und S) gegeneinander schwingen. Die Knoten (blau gezeichnet in Bild 34-1) der Schwingung liegen jeweils zwischen den benachbarten unterschiedlichen Atomen (Zn und S) und dichter aneinander, als bei den im folgenden betrachteten lokalen Schwingungen des M-Zentrums. Die Frequenz (10,15 THz) lässt sich mit spektroskopischen Experimenten messen, die Massen der beteiligten Atome sind bekannt und folglich kann man die aus den Bindungskräften resultierenden Federwirkungen berechnen. Daraus folgt das Modell einer linearen Kette, im Bild 34-1 Mitte links gezeigt.

Bild 34-1: Atomanordnung in Zinksulfid (ZnS), Schwingung des LO-Phonons und Modell der linearen Kette, links. Zu sehen sind die gegenseitige Schwingungsrichtung der Atome und die Knoten (blau)dieser stehenden Welle. Rechts die Fehlstelle das M-Zentrum mit einer lokalen Schwingung.

Resonanzen an Kristallbaufehlern können Frequenzen aufweisen, bei denen sich im Kristall keine Schallwellen ausbreiten können. Dadurch sind dann Phononen genauso lokalisiert wie oben Photonen im Resonator. Ein solches System mit drei unterschiedlichen lokalen Phononen ist das M-Zentrum in ZnS – die Doppel-Schwefel-Fehlstelle[11]. Die Fehlstelle ist von Zinkatomen umgeben, die in unterschiedlicher Form gegeneinander schwingen können. Die Schwingungen mit der höchsten der drei dabei auftretenden Frequenzen zeigt Bild 34-1 rechts. Da die Eigenschaften der Federn mit dem LO-Phonon berechnet werden konnten, sind auch die Schwingungen um das M-Zentrum herum bekannt, wie die Übereinstimmung von Experiment und Rechnung zeigten[12]. Ursache dieser Fehlstelle ist wahrscheinlich ein größeres Fremdatom an zentraler Stelle (orange), vermutlich Wolfram[13], das den benachbarten Schwefelatomen wegen seiner Größe den Platz nimmt. Dessen gegenüber dem Zinkatomen größere Masse macht sich aber bei der Analyse der Schwingungen kaum bemerkbar, da es nur einen kleinen Teil der Masse des schwingenden Komplexes beisteuert und von der Position her, zwischen den Fehlstellen, die Resonanzfrequenzen von allen Atomen am wenigsten beeinflusst.

Tabelle 3-1: Phononenenergien und -impedanzen des M-Zentrums in ZnS

wavenumber

Wellenzahl

energy

Energie

frequency

Frequenz

Spring

Feder Zn

Spring

Feder f

impedance

Impedanz Zn

impedance

Impedanz S

Phonon nr. 1 /cm meV Thz kg / s² kg / s² N s / m N s / m
Monopol 2 264,30 32,77 7,92 270 5,41E-12
Dipol 1 124,20 15,40 3,72 59 2,54E-12
Dipol 0 85,50 10,60 2,56 28 1,75E-12
LO 338,60 41,98 10,15 440 217 6,92E-12 3,40E-12

Die an den Schwingungen beteiligten Atome sind alle die gleichen, die Lage der Knoten und damit die Länge der beteiligten Federn ist unterschiedlich, wie früher bereits gezeigt. Für die Analyse hier ist wichtig, dass daraus unterschiedliche mechanische Impedanzen für jede der Schwingungen folgen und hilfreich, dass das Problem eindimensional als lineare Kette zu betrachten ist (siehe Tabelle 3-1).

Bild 34-2: Emission des M-Zentrumkomplexes in Zinksulfid (ZnS) im nahen Infrarot (IR), rot: gemessenes Spektrum;
schwarz: Simulation aus den Phononen;
grün: Bei der Differenz zeigen sich die nicht zur Phononenbande gehörenden Linien;
ganz unten die bei der Simulation beteiligten Phononenleitern ausgehend von den 0 Phononübergängen bei 1479meV (I) und 1482meV (II).

Die Phononen treten bei einer Emission eines an der Fehlstelle angeregten Elektrons im nahen Infrarotbereich als Satelliten elektronischer Übergänge auf. Jede Sorte der Phononen bildet eine Leiter mit Energiestufen, die ein ganzzahliges Vielfaches seiner Energie darstellen. Dabei wird diese Energie von der des Photons abgezogen und eine niederenergetische Seitenbande des elektronischen Emissionsspektrums aus all den möglichen Phononen Kombinationen gebildet. In der roten Linie von Bild 34-2 zeigen sich Zusammenstellungen von auswertbar bis zu 8 Phononen einer Sorte.

Während in einer früheren Arbeit nur die Energiewerte ausgewertet wurden, um die energetische Lage der Emissionslinien den unterschiedlichen Schwingungskombinationen ausgehend von zwei elektronischen Übergängen zuzuordnen, wird jetzt hier versucht, auch die Amplituden der einzelnen Linien auszuwerten. Folgende Annahmen dienten der Anpassung eines synthetischen Spektrums an das gemessene:

  1. Die Linien sind gaußförmig
  2. Jedes der drei lokalen und des LO-Phonons hat eine individuelle Linienbreite, die für beide Phononenbanden gleich ist
  3. die Linienbreite nimmt bei Mehrphononenprozessen gering und gleichartig zu

Mit diesen minimalen Anpassparametern wurde per Hand ein Spektrum ausgehend von den zwei Hauptlinien bei 1479 und 1482 meV synthetisiert, die schwarze Linie in Bild 34-2, das bis auf einige, zu diesen beiden Phononenbanden nicht gehörende Linien (grün die Differenz, es gibt weitere Übergänge), dem gemessenen Spektrum sehr ähnlich ist. Die beobachtete Empfindlichkeit des Verfahrens liegt in der Größenordnung 10% der einzelnen Amplitudenwerte.

Bild 34-3 zeigt die Amplituden innerhalb der Leitern der beteiligten Phononen 0 (10,61meV), 1 (15,41 meV) und 2 (32,8 meV) in Abhängigkeit von der beteiligten Leiterstufe. Ohne die in diesem Kapitel gefundenen Quanteneffekte, den Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Photonenzahlen, würde man erwarten, dass die Amplitude innerhalb der Phononenleitern bei Mehrphononenprozessen mit der Anzahl der beteiligten Phononen gleichmäßig abnimmt. Das Ergebnis der Phononen 1 und 2 kann so noch im Rahmen der Fehlergrenzen interpretiert werden, auch wenn bei Phonon 1 für sechs und sieben Schwingungsquanten die Amplituden davon merkbar abweichen. Das Phonon 0 zeigt dagegen bei beiden voneinander unabhängigen Phononenbanden gleichartig für drei und vier Phononen deutlich kleinere Amplitude als bei Schwingungen mit sechs bis sieben Phononen. Ein solches Verhalten ist, wie bei der Überlegung zum Schwingkreis gezeigt, zu erwarten, wenn sich die mechanischen Quanten (Ort und Impuls) entsprechend der oben in Bild 33 - 4 diskutierten Verteilung für elektrische und magnetische Feldanteile verhalten. Bei dem Ergebnis des Experiments mit Phononen machen sich die zu Ladung und Flussquant beim elektromagnetischen Schwingkreis parallelen Eigenschaften des mechanischen Systems Auslenkung und Impuls bemerkbar. Die zu den gequantelten Auslenkungen und Impulsen gehörenden Energien passen mehr oder weniger gut mit der Energie des Phonons zusammen, und daraus folgen die Wahrscheinlichkeiten ihrer Existenz.

Bild 34-3: Amplitude der Emissionslinien in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Phononen. Für jede der Leitern der Phononen 0, 1 und 2 gibt es zwei Werte, jeweils ausgehend von den beiden größten Linien (Nr. 10 und 11 im Originalspektrum). Phonon 0 zeigt die erwartete Anomalie deutlich, bei Phonon 1 wird sie schon angedeutet und bei Phonon 2 sind zu wenige Messpunkte erreicht. Oben rechts ist die Kalkulation aus Kapitel 3.3. eingeblendet, deren Breite von der Impedanz abhängt.

Da uns jeweils zwei beobachtete Linien zur Verfügung stehen, die zu gleichartigen Phononenkombinationen aber unterschiedlichen elektronischen Übergängen gehören, ist es sicher zulässig, das Abweichen der beiden äquivalenten Kurven zueinander als Fehlermaß einzuschätzen. Der beobachtete Effekt ist deutlich größer. Daraus lässt sich dann schließen, dass auch die mechanischen Quanten Auslenkung und Impuls den Phasenraum digital skalieren. Das bedeutet, dass nur bestimmte Auslenkungen und Impulse sowie ihre ganzzahligen Vielfachen existieren und analoge Zwischenwerte nicht vorkommen oder mit besserer Genauigkeit nicht definiert sind. Zum Vergleich der mechanischen Ergebnisse mit den Überlegungen beim Schwingkreis ist oben rechts die obige Kalkulation der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Energie und Amplitude eingeblendet. Je nach Impedanz des schwingenden Systems ist diese Kurve seitlich zu dehnen oder zu stauchen, wäre also für alle beobachteten Phononen entsprechend Tabelle 5-1 passend.

Das 1/f-Rauschen[Bearbeiten]

Auch das 1/f-Rauschen lässt sich mit obigen Wahrscheinlichkeitsüberlegungen verstehen. Wenn die Energiedifferenz zwischen der mittleren Energie und der einer Feldkombination verschwindet, (das heißt dE = 0), und auch von anderer Seite keine treibende Kraft existiert !, ergibt sich für solche Feldkombinationen eine dazugehörige unendliche Zeitspanne . Dies bedeutet, dass das damit zusammenhängende Ereignis irgendwann zwischen und auftritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis nimmt also proportional zur Zeitspanne der Beobachtung zu. Wegen ist dies genau das, was wir beim 1/f-Rauschen beobachten.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. The nature of light, ed Chandrasekhar Roychoudhuri, A. F. Kracklauer, Katherine Kreath, CRC Press(2008)
  2. Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. In: Annalen der Physik. 322, Nr. 6, 1905, S. 132–148
  3. Max Planck: "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum", Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2 (1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
  4. Dies und weitere Einzelheiten in: Rudolf Germer: Die abzählbare Physik 5 Lokalisierte Photonen und Phononen, [1]
  5. Die Genauigkeit, mit der diese Impedanz definiert ist, folgt allerdings den in Kapitel 2 betrachteten Regeln, erst mit vielen Quanten lassen sich Impedanzwerte merklich oder fein unterscheiden.
  6. Der zeitliche Antrieb der Schwingung
    Dadurch, dass Spule und Kondensator zusammengeschaltet sind, ergibt sich ein Gleichgewicht der elektrischen und der magnetisch induzierten Spannungen, [22-4]
    [33-1]
    und der Ströme, [22-3]
    [33-2]
    Die statische Spannung am Kondensator ist genauso groß wie die induzierte Spannung der Spule, diese ist allerdings mit der Änderung des Magnetflusses pro Zeitintervall verbunden und bedingt daher einen Ladungstransport. Mit
    , [25-4]
    aus dem vorigen Kapitel erhalten wir
    [33-3]
    und
    [33-4]
    Da der Strom durch die Spule dem Ladestrom des Kondensators entspricht ergibt sich daraus ebenfalls eine zeitliche Veränderung der Situation. Mit , [27-6] aus dem vorigen Kapitel und [33-2] erhalten wir
    [33-5]
    [33-6]
    Mit dem aus der klassischen Physik bekannten gegenseitigen Einsetzen von [33-1], [33-2] und deren Ableitungen nach
    [33-7]
    [33-8]
    erhalten wir die bekannten Schwingungsgleichungen
    [33-9]
    und
    [33-10]
    mit der Periodendauer
    [33-11]
    Betrachten wir noch einmal die Gleichungen [33-4] und [33-6]. Darin finden wir ein Zeitintervall , dass zwischen den ganzzahligen Sprüngen in der Anzahl der Ladungs- oder Magnetflussquanten liegt.
    [33-12]
    und
    [33-13]
    Die Größe dieser Zeitintervalle hängt zum einen von der Größe der Bauelemente und ab, die sich in deren elementarer Zeitzahl spiegelt. Zum anderen wird sie von der Größe der Sprünge abhängen und von der Zahl m, n der schon vorhandenen Anzahl von Quanten, also von der vorhandenen Energie und den daraus resultierenden Feldern. Damit haben wir für jede Feldkombination eine begrenzte Lebensdauer auch ohne den zusätzlich zu berücksichtigenden Einfluss der Energiedifferenzen [32-2] und außerdem eine Richtung der Feldänderung. Die für größere Intervalle größere Zeitdauer bedeutet, dass die kleinen Schritte schneller erfolgen und damit wahrscheinlicher sind. Energiereiche Zustände mit großen m- und n-Werten haben kürzere Lebensdauer als kleinere, wechseln sich also schneller ab, sie sind dafür während einer Periode ja auch zahlreicher.
  7. Die abzählbare Physik 3 Die digitale Struktur des LC-Schwingkreises [2]
  8. E. Zwicker und M. Zollner, Elektroakustik, Springer 1993
  9. Richard P. Feynman, R.B Leighton und M. Sands, Vorlesungen über Physik Bd.2, Oldenbourg 2001
  10. Versucht man, die von der Impedanz abhängige Größe der mechanischen Quanten auf eine dahinterliegende allgemein konstante Größe zurückzuführen, so gelangt man zum Planckschen Wirkungsquantum.
  11. Immanuel Broser, Rudolf Germer, F. Seliger & H. J. Schulz, Luminescence of an M Center in ZnS? J.Phys.Chem.Solids 41 (1980), 101 – 107
  12. Rudolf Germer, Local Vibrations at Vacancies and the Nature of the Tl SO Emission Band of M Centers in ZnS, Phys. Rev. B15, 27, 4 (1983), 2412 – 2418
  13. R. Heitz, P. Thurian, A. Hoffmann, and I. Broser, Luminescence of a 5d-centre in ZnS