Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven

Wie wir den Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven berechnen, kannst du dir wahrscheinlich schon denken; als Skalarprodukt der Tangenten im Schnittpunkt. Richtig!

\cos {\phi }={\frac {{\dot {\vec {x}}}_{1}\cdot {\dot {\vec {x}}}_{2}}{\left\|{\dot {\vec {x}}}_{1}\right\|\left\|{\dot {\vec {x}}}_{2}\right\|}}

Das lässt sich auch mithilfe der Fundamentalgrößen E, F, G ausdrücken. Hierbei sind die ${\vec {x}}_{i}$ jeweils durch $u_{i}(t)$ und $v_{i}(t)$ parametrisiert:

\cos {\phi }={\frac {E{\dot {u}}_{1}{\dot {u}}_{2}+F({\dot {u}}_{1}{\dot {v}}_{2}+{\dot {v}}_{1}{\dot {u}}_{2})+G{\dot {v}}_{1}{\dot {v}}_{2}}{\sqrt {(E{\dot {u}}_{1}^{2}+2F{\dot {u}}_{1}{\dot {v}}_{1}+G{\dot {v}}_{1}^{2})(E{\dot {u}}_{2}^{2}+2F{\dot {u}}_{2}{\dot {v}}_{2}+G{\dot {v}}_{2}^{2})}}}

${\dot {u}}$ bzw. ${\dot {v}}$ sind die Ableitungen der Funktionen u(t) und v(t) nach t.

Schnittwinkel von Parameterlinien

Die Schnittwinkel von Parameterlinien lassen sich direkt aus den Fundamentalgrößen berechnen:

\cos {\phi }={\frac {F}{\sqrt {EG}}}

Wenn $F\equiv 0$ , d.h. konstant 0 ist, schneiden sich die Parameterlinien in einem rechten Winkel. Man spricht dann von einer orthogonalen Parametrisierung.

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