Herleitung der klassischen Darstellung [ Bearbeiten ] Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie .
s
=
∫
t
0
t
‖
x
→
˙
‖
d
t
{\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}\left\|{\dot {\vec {x}}}\right\|\,\mathrm {d} t}
x
→
˙
=
d
x
→
d
t
{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}}
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
d
x
→
d
t
=
∂
x
→
∂
u
d
u
(
t
)
d
t
+
∂
x
→
∂
v
d
v
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}{\frac {du(t)}{dt}}+{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial v}}{\frac {dv(t)}{dt}}}
u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.
Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:
x
→
˙
=
x
→
u
⋅
u
˙
+
x
→
v
⋅
v
˙
{\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}}}
Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:
(
x
→
˙
)
2
=
(
x
→
u
⋅
u
˙
+
x
→
v
⋅
v
˙
)
2
=
x
→
u
⋅
x
→
u
⋅
u
˙
2
+
2
⋅
x
→
u
⋅
x
→
v
⋅
u
˙
⋅
v
˙
+
x
→
v
⋅
x
→
v
⋅
v
˙
2
{\displaystyle ({\dot {\vec {x}}})^{2}=({\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}})^{2}={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}\cdot {\dot {u}}^{2}+2\cdot {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {u}}\cdot {\dot {v}}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}\cdot {\dot {v}}^{2}}
Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:
E
=
x
→
u
⋅
x
→
u
{\displaystyle E={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}}
F
=
x
→
u
⋅
x
→
v
{\displaystyle F={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}}
G
=
x
→
v
⋅
x
→
v
{\displaystyle G={\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}}
Das Integral sieht jetzt so aus:
s
=
∫
t
0
t
E
u
˙
2
+
2
F
u
˙
v
˙
+
G
v
˙
2
d
t
{\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {E{\dot {u}}^{2}+2F{\dot {u}}{\dot {v}}+G{\dot {v}}^{2}}}\,\mathrm {d} t}
Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich
(
d
s
d
t
)
2
=
E
u
˙
2
+
2
F
u
˙
v
˙
+
G
v
˙
2
{\displaystyle \left({\frac {ds}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=E{\dot {u}}^{2}+2F{\dot {u}}{\dot {v}}+G{\dot {v}}^{2}}
Multiplizieren mit
d
t
2
{\displaystyle dt^{2}}
u
˙
{\displaystyle {\dot {u}}}
v
˙
{\displaystyle {\dot {v}}}
metrische oder erste Fundamentalform :
Definition der ersten Fundamentalform
d
s
2
=
E
d
u
2
+
2
F
d
u
d
v
+
G
d
v
2
{\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}}
E
=
x
→
u
⋅
x
→
u
{\displaystyle E={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{u}}
F
=
x
→
u
⋅
x
→
v
{\displaystyle F={\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}}
G
=
x
→
v
⋅
x
→
v
{\displaystyle G={\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{v}}
Definition der ersten Fundamentalform in neuer Schreibweise
I
=
d
s
2
=
g
α
β
d
(
u
α
)
d
(
u
β
)
{\displaystyle I=\mathrm {d} s^{2}=g_{\alpha \beta }\mathrm {d} (u^{\alpha })\mathrm {d} (u^{\beta })}
α
=
1
,
2
{\displaystyle \alpha =1,2}
β
=
1
,
2
{\displaystyle \beta =1,2}
Beim Einsetzen der Indizes werden alle möglichen Kombinationen aufaddiert. Dadurch entsteht die klassische Form.
Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch
(
u
α
)
{\displaystyle (u^{\alpha })}
(
u
β
)
{\displaystyle (u^{\beta })}
ersetzt . (D.h. für
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2}
β
=
2
{\displaystyle \beta =2}
u
α
=
u
β
=
(
u
2
)
{\displaystyle u^{\alpha }=u^{\beta }=(u^{2})}
nicht
u
⋅
u
{\displaystyle u\cdot u}
Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik .
G
=
(
g
11
g
12
g
21
g
22
)
{\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}}
Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:
für v=const:
s
=
∫
E
d
u
{\displaystyle s=\int {\sqrt {E}}\,\mathrm {d} u}
für u=const:
s
=
∫
G
d
v
{\displaystyle s=\int {\sqrt {G}}\,\mathrm {d} v}
Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:
x
→
u
=
−
R
⋅
sin
u
⋅
cos
v
⋅
e
x
→
+
R
⋅
cos
u
⋅
cos
v
⋅
e
y
→
{\displaystyle {\vec {x}}_{u}=-R\cdot \sin {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{x}}}+R\cdot \cos {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{y}}}}
x
→
v
=
−
R
⋅
cos
u
⋅
sin
v
⋅
e
x
→
−
R
⋅
sin
u
⋅
sin
v
⋅
e
y
→
+
R
⋅
cos
v
⋅
e
z
→
{\displaystyle {\vec {x}}_{v}=-R\cdot \cos {u}\cdot \sin {v}\cdot {\vec {e_{x}}}-R\cdot \sin {u}\cdot \sin {v}\cdot {\vec {e_{y}}}+R\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{z}}}}
Fundamentalgrößen
E
=
R
2
cos
2
v
{\displaystyle E=R^{2}\cos ^{2}{v}}
F
=
0
{\displaystyle F=0}
G
=
R
2
{\displaystyle G=R^{2}}
erste Fundamentalform
d
s
2
=
R
2
(
cos
v
2
d
u
2
+
d
v
2
)
{\displaystyle ds^{2}=R^{2}(\cos {v}^{2}du^{2}+dv^{2})}
Radius der Parameterlinien Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.
Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.
u-Parameterlinien
Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius
G
=
R
{\displaystyle {\sqrt {G}}=R}
v-Parameterlinien
Die v-Parameterlinien haben feste Breite v bzw.
ϕ
{\displaystyle \phi }
E
=
R
cos
v
{\displaystyle {\sqrt {E}}=R\cos v}
