Diffgeo: Flächentheorie: erste Fundamentalform

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Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge / erste Fundamentalform[Bearbeiten]

Herleitung der klassischen Darstellung[Bearbeiten]

Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie.

unterscheidet sich allerdings, da in Abhängigkeit von u und v gegeben ist und deswegen auch nach u und v abgeleitet wird.

u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.

Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:

Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:

Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:

Das Integral sieht jetzt so aus:

Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich

Multiplizieren mit (steckt in und drin!) ergibt die metrische oder erste Fundamentalform:


Definition der ersten Fundamentalform



Neue Darstellung[Bearbeiten]


Definition der ersten Fundamentalform in neuer Schreibweise

Beim Einsetzen der Indizes werden alle möglichen Kombinationen aufaddiert. Dadurch entsteht die klassische Form.


  • Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
  • Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
  • Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch und ersetzt.

(D.h. für oder  :   bedeutet u mit Index 2 und nicht )

erster Fundamentaltensor[Bearbeiten]

Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik.

Bogenlängen der Parameterlinien[Bearbeiten]

Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:

für v=const:

für u=const:

Beispiel für Kugel[Bearbeiten]

Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:

Fundamentalgrößen

erste Fundamentalform

Erkenntnisse[Bearbeiten]

Radius der Parameterlinien

Parameterlinien senkrecht[Bearbeiten]

Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.


Radius der Parameterlinien[Bearbeiten]

Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.


u-Parameterlinien

Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius . Sie entsprechen den Meridianen mit fester Länge (u-Parameter) und variabler Breite (v-Parameter).


v-Parameterlinien

Die v-Parameterlinien haben feste Breite v bzw. . Die Länge u ist variabel. Jede Parameterlinie hat ihren eigenen Radius .



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