Gaußsches Dreibein

Durch die beiden Tangentenvektoren der Parameterlinien, aus denen der Normalenvektor der Fläche berechnet wird und den Flächenvektor n selbst wird das Gaußsche Dreibein gebildet. Das Gaußsche Dreibein bildet nur dann in jedem Punkt ein orthogonales System, wenn die Parameterlinien sich senkrecht schneiden.

${\vec {g}}_{1}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}={\vec {x}}_{u}$

${\vec {g}}_{2}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial v}}={\vec {x}}_{v}$

${\vec {g}}_{3}={\vec {n}}$

Das gaußsche Dreibein ist wichtig in der gaußschen Flächentheorie. Als Symbole werden indizierte kleine g verwendet.

Darbouxsches Dreibein

Ein weiteres Dreibein ist das Darbouxsche Dreibein für Flächenkurven. Ihm liegen der normierte Flächennormalenvektor n und der nach der Bogenlänge abgeleitete Tangentenvektor zugrunde.

{\vec {w}}_{1}={\vec {x}}'

{\vec {w}}_{2}={\vec {w}}_{3}\times {\vec {w}}_{1}

{\vec {w}}_{3}={\vec {n}}

Das Darbouxsche Dreibein ist orthogonal.

Zusammenhang mit Frenetschen Dreibein

Das für flächenunabhängige Raumkurven vorgesehenen Frenetsches Dreibein v_x hat mit dem Darbouxsche Dreibein w_x den Vektor v₁ gemeinsam. Durch eine Drehung um diese gemeinsame Achse können die beiden Beine ineinander überführt werden.

{\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}\\{\vec {v}}_{2}\\{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}=\mathbf {R} _{1}(\phi )\cdot {\begin{pmatrix}{\vec {w}}_{1}\\{\vec {w}}_{2}\\{\vec {w}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {w}}_{1}&0&0\\0&sin{\phi }\cdot {\vec {w}}_{2}&cos{\phi }\cdot {\vec {w}}_{3}\\0&cos{\phi }\cdot {\vec {w}}_{2}&sin{\phi }\cdot {\vec {w}}_{3}\end{pmatrix}}

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