Diffgeo: Flächentheorie: Parametrisierung

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Parametrisierung der Fläche

Im vorherigen Kapitel Kurventheorie haben wir gesehen, dass eine stetige Kurve mittels eines Parameters beschrieben werden kann. Als Verallgemeinerung bietet sich hier der Begriff der stetigen Fläche an. Anschaulich gesprochen ist eine stetige Fläche eine Fläche ohne Löcher und jeder Punkt der Fläche läßt sich mit den anderen Punkten der Fläche über Kurven verbinden, die Teilmengen der Fläche bilden.

Definition der Parametrisierung der Fläche

Eine stetige Fläche wird mittels der sogenannten Gaußschen Parameterdarstellung dargestellt. ${\vec {x}}(u,v)=x(u,v){\vec {e_{x}}}+y(u,v){\vec {e_{y}}}+z(u,v){\vec {e_{z}}}$ Die Gaußschen Parameter u und v sind jeweils auf einem reellwertigen Intervall definiert. Parametergleichung und Definitionsbereich bilden zusammen die Parametrisierung. Für ein und dieselbe Fläche gibt es im Prinzip unendlich viele Parametrisierungen.

Weitere Bedingung in der Differentialgeometrie

Differenzierbarkeit

Die Funktionen x(u,v), y(u,v) und z(u,v) sollen partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung besitzen. Für das Vektorprodukt zwischen den ersten partiellen Ableitungen nach u bzw. v soll gelten:

$\left\|{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial v}}\right\|=\|{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v}\|\neq 0$

Umkehrbare eindeutige Abbildung

Die durch die Parametrisierung gegebene Abbildung soll umkehrbar eindeutig sein. D.h. jedem Punkt der Fläche soll mittels einer Umkehrfunktion genau ein Parameterpaar zugeordnet werden können. Manche Flächen, die diese Forderungen für einzelne Punkte nicht erfüllen, können trotzdem durch Anpassung des Definitionsbereichs in die Differentialgeometrie einbezogen werden.

Beispiel

Geographische Koordinaten

Parametrisierung einer Kugeloberfläche (Erdoberfläche) u und v entsprechen den geographischen Koordinaten. u entspricht $\lambda$ und v $\phi$.

Verletzung der Eindeutigkeit: An den Polen mit v=90° bzw. v=-90° kann u jeden beliebigen Winkel annehmen. Den Polen lässt sich also kein eindeutiges Parameterpaar zuordnen.

Parametergleichung

${\vec {x}}(u,v)=R\cdot \cos {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{x}}}+R\cdot \sin {u}\cdot \cos {v}\cdot {\vec {e_{y}}}+R\cdot \sin {v}\cdot {\vec {e_{z}}}$

$v\in \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)\,u\in \left(-\pi ;\pi \right)$

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