Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen

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Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen.

Optische Achse[Bearbeiten]

Optische Achse

Die optische Achse beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems.

Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt.

Hauptebenen[Bearbeiten]

Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt

Hauptebenen stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den Objektraum links der Hauptebene vom Bildraum rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen (paraxialer Strahlengang mit Gaußschen Strahlen).

Bei konvergenten Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei divergenten Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt.

Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse Schnittweiten, Brennweiten, Objektweiten und Bildweiten gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als Hauptpunkte bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen Hauptstrahlen und werden nicht abgelenkt.

Linsen haben zwei Hauptebenen, deren Hauptpunkte mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen können. Meist liegen sie jedoch zwischen der Mitte und den Scheitelpunkten der Linse. Bei hinreichend dünnen Linsen fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn der Radius der Oberflächen und somit auch die Brennweite deutlich größer sind als die Dicke der Linse entlang der optischen Achse.

Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei Retrofokusobjektiven oder teleskopischen Objektiven.

Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen die Lage der Hauptebenen zueinander.

Bildwinkel[Bearbeiten]

Zusammenhang zwischen Bildwinkel , Bildweite und Bilddiagonale mit Berücksichtigung der Objektgröße und der Bildgröße

Der Bildwinkel ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der Bildebene vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen.

Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die Bildgröße (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) beziehungsweise der Radius des Bildkreises von der optischen Achse aus gemessen ist und die Bildweite zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt:

,

wobei der Radius des Bildkreises gleich dem halben Bildkreisdurchmesser ist:

Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen:

Der Objektwinkel ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der Objektebene (respektive in der Schärfeebene) vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel identisch. Daher können unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs auch die Objektgröße (sie wird auch als Gegenstandshöhe oder Gegenstandsgröße bezeichnet) beziehungsweise der Radius des Objektkreises von der optischen Achse aus gemessen und die Objektweite (sie wird auch als Gegenstandsweite bezeichnet) zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden:

Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind:

Daraus folgt:

Brennweite[Bearbeiten]

Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung
Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse

Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher Objektweite . In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen Brennpunkt und die Bildweite ist identisch mit der Brennweite :

Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist.

Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die Brennebene, die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe wie folgt:

Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels zu:

Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel als Funktion der Brennweite :

Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet.

Wegen der Dispersion kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen (siehe auch Farblängsfehler).

Normalbrennweite[Bearbeiten]

Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der Bilddiagonale beziehungsweise des Bildkreisdurchmessers geschloessen werden kann.

Es kann eine empirisch zu bestimmende Normalbrennweite definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt.

Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite.

Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20. Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite von 36 Millimetern und einer Bildhöhe von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite von

etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser von:

Bildsensorgrößen im Vergleich

Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50 Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde.

Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt Bildsensoren). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt:

Anhand der effektiven Bilddiagonalen kann somit die Normalbrennweite berechnet werden:

Beim Sonderfall unendlicher Objektweite sind Bildweite und Brennweite identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite kann leicht aus der Brennweite und dem Radius des Bildkreises berechnet werden:

Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite also wie folgt:

Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden.

Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden:

Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann:

Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt Schärfentiefe) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt Blendenzahl) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16 Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt Punktabstand), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl 2,0 (siehe auch Abschnitt Fokussierungsfehler) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt Beugungsbegrenzung):

Bildsensorgröße
Bezeichnung
Bilddiagonale
in Millimetern
Normalbrennweite
in Millimetern
Schärfentiefe in mm
bei Blendenzahl 2,0 und
Objektweite 1 m
Bildpunktgröße
auf dem Bildsensor in µm
bei 16 Millionen Bildpunkten
Maximal zulässiger Fokussierungsfehler
auf dem Bildsensor in µm
bei Blendenzahl 2,0
Maximale Blendenzahl
ohne Beugungsbegrenzung
auf dem Bildsensor
1/3,2″ 5,6 6,5 360 0,99 2,0 0,74
1/2,7″ 6,0 7,0 330 1,06 2,1 0,79
1/2,5″ 6,4 7,5 310 1,13 2,3 0,84
1/2,3″ 7,7 8,9 260 1,4 2,7 1,0
1/1,8″ 8,9 10 240 1,57 3,1 1,2
2/3″ 11,0 13 170 1,94 3,9 1,4
1" 15,9 18 130 2,8 5,6 2,0
4/3″ 21,6 25 90 3,8 7,6 2,8
APS-C 26,8 bis 28,4 31 bis 33 70 5 10 3,5
Kleinbildformat 43,3 50 44 8 15 5,6
Mittelformat 50 bis 70 60 bis 80 30 11 20 8,0

Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt Bildauflösung):

Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann.

Öffnung[Bearbeiten]

Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)

Die Öffnung (oder auch Apertur) eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch die mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als Öffnungsweite bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der Aperturblende beschrieben werden, die auch wirksame Eintrittspupille beziehungsweise wirksame Austrittspupille genannt wird.

Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der reellen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der reellen Öffnung.

Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden.

Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine Feldblende, die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte Eintrittsluke (objektseitig) beziehungsweise Austrittsluke (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen.

Blendenzahl[Bearbeiten]

Die dimensionslose Blendenzahl eines Objektivs mit der Brennweite und der Öffnungsweite ist wie folgt definiert:

Der Kehrwert der Blendenzahl wird als Öffnungsverhältnis bezeichnet.

Die Änderung der Blendenzahl um eine Blendenstufe kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal soviel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen und unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen :

Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen:

1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32
Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel , Bildgröße und Bildweite bei konstanter Öffnungsweite

Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl ohne die Angabe der gewählten Bildgröße wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel und konstanter Öffnungsweite ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragenden Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße und Bildweite konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl gemacht werden.

Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt:

Aber:

Öffnungswinkel[Bearbeiten]

Objektseitiger Öffnungswinkel und bildseitiger Öffnungswinkel in Abhängigkeit von Objektweite beziehungsweise Bildweite zur Öffnungsweite

Der Öffnungswinkel ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite eines Objektivs erscheint.

Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den objektseitigen Öffnungswinkel :

Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch Aperturwinkel genannt.

Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den bildseitigen Öffnungswinkel :

Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch Feldwinkel genannt.

Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden !

Siehe dazu auch Bildwinkel

Sinusbedingungen[Bearbeiten]

Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler keine Rolle spielen, über Sinusbedingungen in Beziehung. Im folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung mit der Objektgröße und der Bildgröße außerhalb des optischen Systems vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Luft, Flüssigkeit oder Vakuum) mit demzufolge konstanter Brechkraft umgeben ist.

Die Abbesche Sinusbedingung gilt für die in Bezug auf Öffnungsfehler korrigierte Abbildung von Flächen, die senkrecht auf der optischen Achse stehen, und lautet wie folgt:

Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der Helmholtz-Lagrange-Invariante geschrieben werden:

Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können:

Daraus folgt:

Bei großer Objektweite ist die Bildweite annhähernd gleich der Brennweite , und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite und Objektweite ausgedrückt werden:

Daraus folgt:

Aus der Beziehung

folgt:

Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl ausgedrückt werden:

In Worten ausgedrückt: die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen minimal den Wert 0,5 annehmen.

Numerische Apertur[Bearbeiten]

Die numerische Apertur dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt, und sie bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel und die Brechzahl des optischen Mediums außerhalb des Objektivs.

Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich:

Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend:

Aus der bildseitigen numerischen Apertur kann die minimale Blendenzahl berechnet werden, mit der eine optische Abbildung gemacht werden kann. Hierbei kann der Sinus des halben bildseitigen Öffnungswinkels aus dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse wie folgt bestimmt werden:

Wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht () und wird die Blendenzahl eingesetzt, dann vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:

Für große Blendenzahlen () und gilt dann näherungsweise:

Abbildungsmaßstab[Bearbeiten]

Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang

Bei photographischen Aufnahmen lässt sich immer der Abbildungsmaßstab berechnen. Dieser kann bei gegebener Brennweite mit Hilfe der Abbildungsgleichung

sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite zu Objektweite (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße zu Objektgröße (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden:

Umgeformt nach der Bildweite lautet der Formelzusammenhang:

Und umgeformt nach der Objektweite lautet der Formelzusammenhang:

Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt Telezentrie).

Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe:

Brennweite
Objektweite
Abbildungsmaßstab
Abweichung der
Abbildungsmaßstäbe
10 100 0,1111 11,1%
110 0,1000
100 1090 0,1010 1,0%
1100 0,1000
1000 10990 0,1001 0,1%
11000 0,1000

Relativer Abbildungsmaßstab[Bearbeiten]

Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite gebildet werden, der sogenannte relative Abbildungsmaßstab :

Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins.

Zoomfaktor[Bearbeiten]

Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.

Der Zoomfaktor von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben:

Dieser Wert ist bei unendlicher Objektweite identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe:

Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor.

Die folgenden Tabelle gibt für eine Objektweite von Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von , einer Bildweite von , einer Bilddiagonale von , wenn die Normalbrennweite des Systems ist, und einem Bildwinkel von ) an:

Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000

Brennweite

Bildweite
Abbildungs-
maßstab

Bildwinkel
in °
Verhältnis der
Brennweiten
Verhältnis der
Abbildungsmaßstäbe
Verhältnis der
Bildwinkel
0,999 1,000 1/1000 154 0,100 0,099 0,303
1,996 2,000 1/500 131 0,200 0,198 0,358
4,975 5,000 1/200 82,3 0,498 0,495 0,568
9,901 10,00 1/100 47,2 0,990 0,990 0,991
10,00 10,10 1/99 46,8 1,00 1,00 1,00
19,61 20,00 1/50 24,7 1,96 1,98 1,90
38,46 40,00 1/25 12,5 3,85 3,96 3,75
100 111,1 1/9 4,51 10 11 10,4
200 250,0 1/4 2,00 20 24,75 23,4
250 333,3 1/3 1,50 25 33 31,1
333 500,0 1/2 1,00 33,3 49,5 46,7
400 666,7 2/3 0,751 40 66 62,3
500 1000 1 0,501 50 99 93,4
667 2000 2 0,250 66,7 198 187
750 3000 3 0,167 75 297 280
833 5000 5 0,100 83,3 495 467
1000 0,000 100

Hier ist klar zu sehen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich.

Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel auf 180° begrenzt ist. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu:

Ferner ist unbedingt zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass die Brennweite gegebenenfalls variiert wird.

Modulationsübertragung[Bearbeiten]

Modulation[Bearbeiten]

Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.

Die Modulation (auch Michelson-Kontrast genannt) ist ein Maß (lateinisch: modulatio) für relative Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten und (siehe auch Kapitel Leuchtdichte), das unter den Voraussetzungen und wie folgt berechnet werden kann:

Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied

zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also

,

der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann:

Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert eins hat, die genau dann erreicht wird, wenn ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese.

Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben , so ergibt sich immer eine Modulation von null (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert).

Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor verändert, bleibt die Modulation erhalten:

Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt (Weißwert) und der dunkelste Bildpunkt (Schwarzwert) zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann:

Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50 Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33 Prozent beträgt.

Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Farbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben rot, grün und blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend:

Ortsfrequenz[Bearbeiten]

Die Ortsauflösung entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann.

Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben.

Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat der Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, Linienpaare pro Bildhöhe (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe :

Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis dann entsprechend:

Siehe hierzu auch: Bildseitenverhältnis

Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem (auch Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem) für die maximal darstellbaren Ortsfrequenzen , wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen:

Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe).

Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss.

Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz[Bearbeiten]

Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.

Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden.

Beim Siemensstern wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen.

Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum.

In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum zur Modulation im Objektraum in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz wird Modulationsübertragungsfunktion (englisch: modulation transfer function = MTF) oder auch Kontrastübertragungsfunktion genannt:

Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt.

Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch:

, wenn

Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann.

Beispiele siehe Fourier-Transformation.

Kontrastempfindlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen
Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.
Oben: fünffache Vergrößerung (500%)
Unten: einfache Vergrößerung (100%)
Vollmond.36x36.png

Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der Contrast Sensitivity Function (CSF, zu deutsch: Kontrastempfindlichkeitsfunktion) überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts).

Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch Heynacher-Zahl genannt. Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität.

Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden.

Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden:

Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt:

Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2
Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion . Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.

Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge können die Kontrastübertragungsfunktion und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion miteinander multipliziert werden:

Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung  :

Digitalzoom[Bearbeiten]

Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen.

Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann.

In Unterkapitel MTF-Simulation wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht.

Siehe auch Kapitel Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe.

Kantenüberhöhung[Bearbeiten]

Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.

Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird.

In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation.

Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann:

Farbauflösung[Bearbeiten]

Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein.