Diskussion:Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log)

2.3

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\xlog“): {\displaystyle \int_0^\infty \frac{\xlog x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\, dx=\frac{\log^2(a)-\log^2(b)}{2\, (a^2-b^2)}}

Beweis

Nach der Substitution $x\mapsto {\frac {ab}{x}}$ wird das Integral zu Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\xlog“): {\displaystyle I=\int_0^\infty \frac{\xlog(ab)-\xlog x}{(b^2+x^2)(a^2+x^2)} \, dx} .

Also ist Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\xlog“): {\displaystyle 2I=\int_0^\infty \frac{\xlog(ab)}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\, dx=\frac{\log(ab)}{a^2-b^2}\int_0^\infty \left(\frac{x}{x^2+b^2}-\frac{x}{x^2+a^2}\right)\, dx}

$={\frac {\log(a)+\log(b)}{2(a^{2}-b^{2})}}\,\underbrace {{\Big [}\log(x^{2}+b^{2})-\log(x^{2}+a^{2}){\Big ]}_{0}^{\infty }} _{\log(a)-\log(b)}={\frac {\log ^{2}(a)-\log ^{2}(b)}{a^{2}-b^{2}}}$.

123.120.72.195 20:51, 16. Apr. 2014

Die vorstehende Ergänzung wurde durch die Eingabeprüfung 11 zu Unrecht verhindert. Ich habe den Filter ergänzt und stelle den Beitrag hier zur Verfügung. -- Die Parser-Fehler \xlog habe ich nicht korrigiert, weil ich nicht weiß, ob das nur ein Versehen war, ob der Autor den Logarithmus zur Basis x angeben wollte oder eine andere Absicht hatte. -- Jürgen 09:53, 18. Apr. 2014 (CEST)