Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log)

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Zurück zu Bestimmte Integrale

0.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.4[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.5[Bearbeiten]
Beweis

Aus

folgt .

0.6[Bearbeiten]
Beweis

Aus

folgt .

0.7[Bearbeiten]
Beweis

In der Formel setze .

Wegen

und

ist dann .

0.8[Bearbeiten]
Beweis

Differenziere .

.

und setze .

.

Dies ist nach Substitution gleich .

0.9[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.10[Bearbeiten]
Beweis

Betrachte die Formel .

Wegen

und ist .

Nach der Substitution erhält man das gesuchte Integral.

0.11[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.12[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.13[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.14[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.15[Bearbeiten]
Beweis

Wegen ist

.

0.16[Bearbeiten]
Beweis



0.17[Bearbeiten]
Beweis

,

wobei ist.

0.18[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.19[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.20[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.21[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.22[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.2[Bearbeiten]
Beweis

In der Formel setze und verschiebe um nach rechts.



Differenziere mal nach



Und setze

1.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.4[Bearbeiten]
Fontana-Zahlen genügen der Rekursion:
ohne Beweis


1.5[Bearbeiten]
Beweis

Die Funktion ist auf meromorph.
Eins durch Log.PNG
Die Polstellen liegen bei und . Dabei ist und .

Also gilt nach dem Residuensatz .

Aus und folgt .

Daher geht gegen null für .

Für , nahe bei 0, ist groß, und somit klein.

Daher geht für auch gegen null.

Im Grenzübergang ergibt sich:

.

Dabei ist , und somit gilt

.

1.6[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.7[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.8[Bearbeiten]
Beweis

ist nach Substitution gleich .

Also ist   .

Integriere nach :



Dass dabei ist, erkennt man, wenn man setzt.

1.9[Bearbeiten]
Beweis

In der Formel substituiere :

1.10[Bearbeiten]
Beweis

Definiert man als ,

so ist

.

Also ist .


Definiert man als ,

so ist



Also ist .


Mit den beiden Integralen erhält man .

Integriert man beide Seiten nach , so ist .

Dass die Konstante sein muss, erkennt man wenn man gehen lässt.

1.11[Bearbeiten]
Beweis

   



   

 

1.12[Bearbeiten]
Beweis

Setzt man ,

so ist

und



.

Nun ist

und somit ist

.

Daraus folgt .

1.13[Bearbeiten]
Beweis







1.14[Bearbeiten]
Beweis


2.1[Bearbeiten]
Beweis

Nach der Substitution wird das Integral zu

Also ist

.

2.2[Bearbeiten]
Beweis

Nach der Substitution wird das Integral zu .

Also ist

.