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Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log)

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ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


Beweis

Aus

folgt .

Beweis

Aus

folgt .

Beweis

In der Formel setze .

Wegen

und

ist dann .

Beweis

Differenziere .

.

und setze .

.

Dies ist nach Substitution gleich .

ohne Beweis


Beweis

Betrachte die Formel .

Wegen

und ist .

Nach der Substitution erhält man das gesuchte Integral.

ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


Beweis

Wegen ist

.

Beweis



Beweis

,

wobei ist.

ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


ohne Beweis


Beweis

In der Formel setze und verschiebe um nach rechts.



Differenziere mal nach



Und setze

ohne Beweis


Fontana-Zahlen genügen der Rekursion:
ohne Beweis


Beweis

Die Funktion ist auf meromorph.

Die Polstellen liegen bei und . Dabei ist und .

Also gilt nach dem Residuensatz .

Aus und folgt .

Daher geht gegen null für .

Für , nahe bei 0, ist groß, und somit klein.

Daher geht für auch gegen null.

Im Grenzübergang ergibt sich:

.

Dabei ist , und somit gilt

.

ohne Beweis


ohne Beweis


Beweis

ist nach Substitution gleich .

Also ist   .

Integriere nach :



Dass dabei ist, erkennt man, wenn man setzt.

Beweis

In der Formel substituiere :

Beweis

Definiert man als ,

so ist

.

Also ist .


Definiert man als ,

so ist



Also ist .


Mit den beiden Integralen erhält man .

Integriert man beide Seiten nach , so ist .

Dass die Konstante sein muss, erkennt man wenn man gehen lässt.

Beweis

   



   

 

Beweis

Setzt man ,

so ist

und



.

Nun ist

und somit ist

.

Daraus folgt .

Beweis







Beweis


Beweis

Nach der Substitution wird das Integral zu

Also ist

.

Beweis

Nach der Substitution wird das Integral zu .

Also ist

.