Diskussion:Mathematik: Topologie: Zusammenhang

Leito schrieb (12:05, 19 July 2008):

> Satz:
> Ist $X\!$ ein zusammenhängender Raum und $f:X\to Y$ stetig, so ist das Bild $f(X)\!$ von $X\!$ zusammenhängend.

> Beweis:
> Wäre $f(X)\!$ nicht zusammenhängend, so gäbe es zwei disjunkte, nicht leere und offene Mengen $U\!$ und $V\!$ in $Y\!$, so daß $f(X)\cap U\neq \emptyset ,f(X)\cap V\neq \emptyset$ und $f(X)\subseteq (U\cup V)$.

> $f^{-1}(U)\!$ und $f^{-1}(V)\!$ sind dann nicht leer, disjunkt [...]

Warum eigentlich disjunkt? Frank W ~@) R 22:28, 2. Mai 2011 (CEST)

Und überhaupt, schon zuvor: Warum denn nicht leer ?!

Nun -- ich bilde mir ein, dass ich das zumindest beweisen könnte (also das Lemma: $f^{-1}(U)\neq \emptyset$); wenn auch nur mit einiger Mühe, bzw. nur so, dass mein Versuch, diesen Beweis hier aufzuschreiben, sicher vergleichsweise sehr umständlich und kaum vorzeigbar erscheinen würde.

Könnte also jemand (geschickter und erfahrener als ich; erst recht jemand von den Autoren des vorliegenden Artikels Mathematik: Topologie: Zusammenhang) bitte einen vorzeigbaren Beweis für das Lemma $f^{-1}(U)\neq \emptyset$ im Rahmen des oben zitierten Satzen zur Verfügung stellen?

Und vor allem, sich auch der Eingangsfrage annehmen: Warum eigentlich disjunkt? Vielen Dank, Frank W ~@) R 20:57, 5. Mai 2011 (CEST)

p.s. Da ich nicht absehen kann, ob und wann irgendjemand diese Anfrage zur Kenntnis nimmt, geschweige denn ihr nachkommen würde, könnte ich früher oder später versuchen, ihr mit Mitteln des Qualitätsmanagements mehr Nachdruck zu verleihen.

Ich bin nicht mehr so häufig auf diesen Seiten, daher hat es mit der Antwort etwas länger gedauert.

Nun zum Beweis: Wegen $f(X)\cap U\neq \emptyset$ gibt es einen Punkt $y\in Y$ mit $y\in U$ und $y\in f(X)$. Wegen $y\in f(X)$ existiert ein $x\in X$ mit $f(x)=y$, also auch $f(x)\in U$. Daher ist dann $x\in f^{-1}(U)$, und das bedeutet $f^{-1}(U)\neq \emptyset$.

Jetzt zum zweiten Punkt: $U$ und $V$ sind disjunkt, es gibt also keine Punkte, die sowohl in $U$ als auch in $V$ liegen. Es kann also auch keine Punkte $x\in X$ geben, für die $f(x)\in U$ und $f(x)\in V$ ist. Das bedeutet aber, daß es keine Punkte $x\in f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$ gibt, und daher ist $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=\emptyset$.

Ich hoffe, die Frage damit ausreichend beantwortet zu haben.

--Leito 15:53, 25. Aug. 2011 (CEST)

Leito schrieb (15:53, 25. Aug. 2011 (CEST)):

> Ich bin nicht mehr so häufig auf diesen Seiten, daher hat es mit der Antwort etwas länger gedauert.

-- geht mir auch so; vielen Dank jedenfalls für die (wohl um so größere) Mühe.

> Nun zum Beweis: Wegen $f(X)\cap U\neq \emptyset$ gibt es einen Punkt $y\in Y$ mit $y\in U$ und $y\in f(X)$.

-- so weit so gut.

> Wegen $y\in f(X)$ existiert ein $x\in X$ mit $f(x)=y\!$

Entspricht der Ausdruck "$f(x)\!$" denn der (oben nochmals ausdrücklich angegebenen) Definition des Symbols "$f\!$" ?

> also auch $f(x)\in U$. Daher ist dann $x\in f^{-1}(U)$

Ist denn (z.B.) der Fall "$f(\emptyset )=\{y\}$" ausgeschlossen ? ...

> Jetzt zum zweiten Punkt: $U$ und $V$ sind disjunkt, es gibt also keine Punkte, die sowohl in $U$ als auch in $V$ liegen. -- Richtig. (Ein Punkt bzw. Element $y\in U$ gehört nicht zu $V\!$, und umgekehrt.)

> Es kann also auch keine Punkte $x\in X$ geben, für die $f(x)\in U$ und [...]

Hier stellt sich wieder die Frage nach der Bedeutung des Ausdruckes "$f(x)\!$" ...

(Ich hätte außerdem erwartet, dass die fraglichen Beweise ausdrücklich Bezug auf die Definition von "Stetigkeit" und deren ausdrückliche Vorgabe für $f:X\to Y$ nehmen.

Im entsprechenden Artikel http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Stetige_Abbildungen taucht allerdings ebenfalls der Ausdruck

"$f(x)\!$" auf, den zu verstehen mir Mühe bereitet ...) Nochmals vielen Dank, insbesondere auch in Erwartung weiterer Erläuterungen zu den fraglichen Beweisen Frank W ~@) R 12:14, 25. Sep. 2011 (CEST)

$X,Y$ sind topologische Räume, und $f:X\to Y$ ist eine stetige Abbildung. Durch $f$ wird also jedem Punkt $x\in X$ ein Punkt $y\in Y$ zugeordnet, den man auch als $f(x)$ bezeichnet. Das Symbol $f$ bezeichnet die gesamte Abbildung, und das Symbol $f(x)$ bezeichnet dasjenige Element aus $Y$, das dem Punkt $x\in X$ zugeordnet ist.

Die Abbildung ordnet jedem Element aus $X$ per Definition genau ein Element aus $Y$ zu. Für jedes $x$ ist also auch $f(\{x\})=\{y\}$. Das Bild der leeren Menge ist wieder leer, denn wenn man kein Element hat, kann man auch nichts zuordnen. Es ist also immer $f(\emptyset )=\emptyset$.

Der Beweis des Satzes nimmt doch explizit Bezug auf die Stetigkeit von $f$. Man braucht ja gerade die Stetigkeit, damit $f^{-1}(U)$ und $f^{-1}(V)$ als Urbilder offener Mengen offen in $X$ sind.

Leito 13:15, 28. Sep. 2011 (CEST)

Leito schrieb (13:15, 28. Sep. 2011 (CEST)):

$X,Y$ sind topologische Räume, und $f:X\to Y$ ist eine stetige Abbildung. Durch $f$ wird also jedem Punkt $x\in X$ ein Punkt $y\in Y$ zugeordnet, den man auch als $f(x)$ bezeichnet. Das Symbol $f$ bezeichnet die gesamte Abbildung, und das Symbol $f(x)$ bezeichnet dasjenige Element aus $Y$, das dem Punkt $x\in X$ zugeordnet ist.

Ach, richtig! -- ich merk ja jetzt erst, dass ich wegen der häufig gebrauchten Notationen "$f^{-1}(U)\!$" bzw. "$f(X)\!$" usw. einer falschen Vorstellung aufgesessen war.

Vielen Dank für den Hinweis. Vielleicht kann man an geeigneter Stelle auch darauf aufmerksam machen, dass

"$f^{-1}(U)\!$" sich als Abkürzung für

"$\{x\in X:f(x)\in U\}$" versteht, bzw.

"$f(X)\!$" als Abkürzung für "$Y\!$", und

"$f(A)\!$, mit $A\subset X$" etwa als Abkürzung für

"$\{y\in Y:f^{-1}(y)\in A\}$" oder

"$\{y\in Y:\exists x\in A|f(x)=y\}$".

Mit der Einsicht, dass ganz ausdrücklich $f:X\to Y$, sind die beiden oben (15:53, 25. Aug. 2011 (CEST)) angegebenen Beweise sehr gut nachvollziehbar und -- zugegebener Maßen -- zum Verständnis kaum erforderlich. Na schön ... Frank W ~@) R 19:55, 10. Okt. 2011 (CEST)

... aber (und da fange ich am besten einen neuen Absatz an):