Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,arctan)

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1.1

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan \left({\frac {x}{z}}\right)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {z!\,e^{z}}{z^{z}\,{\sqrt {2\pi z}}}}\right)\qquad {\text{Re}}(z)>0$

Beweis (Zweite Binetsche Formel)

Ersetze $\arctan \left({\frac {x}{z}}\right)$ durch $\int _{0}^{\infty }\sin(tx)\,{\frac {e^{-zt}}{t}}\,dt$ und vertausche die Integrationsreihenfolge.

Man erhält $\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(tx)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,\,{\frac {e^{-zt}}{t}}\,dt$.

Nach der Formel $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\alpha x)}{e^{\beta x}-1}}\,dx={\frac {\pi }{2\beta }}\,\coth \left({\frac {\alpha \pi }{\beta }}\right)-{\frac {1}{2\alpha }}$

ist nun $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(tx)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\coth \left({\frac {t}{2}}\right)-{\frac {1}{2t}}$.

Letzter Ausdruck lässt sich auch schreiben als ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)$.

Damit ist die zweite Binetsche Formel auf die erste zurückgeführt.