Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,arctan)

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1.1

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan \left(\frac{x}{z}\right)}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{2}\log \left(\frac{z!e^z}{z^z\sqrt{2\pi z}}\right)\text{Re}(z)>0$

Beweis (Zweite Binetsche Formel)

Ersetze $\arctan \left(\frac{x}{z}\right)$ durch ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin (tx)\frac{e^{-zt}}{t}dt$ und vertausche die Integrationsreihenfolge.

Man erhält ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (tx)}{e^{2\pi x}-1}dx\frac{e^{-zt}}{t}dt$.

Nach der Formel ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (\alpha x)}{e^{\beta x}-1}dx=\frac{\pi }{2\beta }\coth \left(\frac{\alpha \pi }{\beta }\right)-\frac{1}{2\alpha }$

ist nun ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (tx)}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{4}\coth \left(\frac{t}{2}\right)-\frac{1}{2t}$.

Letzter Ausdruck lässt sich auch schreiben als $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{e^t-1})$.

Damit ist die zweite Binetsche Formel auf die erste zurückgeführt.